NF04 Modélisation numérique des problèmes de l’ingénieur Intervenants : E. Lefrançois (4988) : resp. UV M. Rachik A. Rassineux Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

En quelques mots … Fournir des outils dédiés pour la résolution informatique des phénomènes physiques Structure Thermique Fluide Source : ONERA Source : technoscience Modèle réel Modèle numérique Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Pourquoi NF04 ? Passage incontournable dans la boucle de conception d’un produit industriel Automobile, aéronautique, acoustique, génie civil … 1 emploi ingénieur sur 3 concerné par le numérique 99 % de la physique sous la forme d’E.D.P. « Outils » mathématiques actuels valables pour moins de 1 % des cas !! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Présentation générale Déroulement sur 15 semaines: Cours TD/TP sur machines (Windows et Unix) Moyens à disposition: Ensemble de scripts de calculs sous Matlab Ideas Site web nf04 : http://www4.utc.fr/~nf04 Mecagora : http://www.utc.fr/~mecagora Évaluation: Devoirs (10%), médian (30%), final (40%) Mini projet (20%) (20-30 h) Acoustique automobile, musicale Transport-diffusion d’un polluant Portance profil porteur … Acoustique automobile Pollution d’un lac Portance aile d’avion Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Bagages nécessaires … Mathématique : Physique : ? Équations différentielles ordinaires Techniques d’intégration standard Opérations matricielles de base Notion d’interpolation Physique : ? Ingénieur : développer le bon sens et un esprit critique Informatique : apprentissage de l’outil Matlab Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Site web Mecagora : portail UTC « ouvert » Accès au cours Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Site web Mecagora : page d’accueil Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Site web Mecagora : accès aux exemples Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Site web Mecagora : lecture d’un exemple Boucle de modélisation Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Site web Mecagora : 300 fiche-notions type cours Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Plan du cours Introduction générale Différences finies 1D, 2D Éléments finis 1D, 2D Médian Problèmes temporels du 1er ordre Problèmes temporels du 2nd ordre Analyse de stabilité Analyse modale Final Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Cours 1 Introduction générale Généralités Concept de la boucle de modélisation Apprentissage « simple » par l’exemple : thermique 1D Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Principe des méthodes numériques Objectif : fournir une solution approchée du comportement réel d’un phénomène physique. On parle ainsi de « modèles numériques » La physique possède un caractère: Tridimensionnel Temporel Non linéaire (HPP, matériaux …) Le rôle du modélisateur est de simplifier suffisamment le problème tout en conservant l’essentiel de la physique à l’origine du phénomène étudié Donc : Approchée = simplifiée Mais chaque hypothèse simplificatrice doit être justifiée, d’où une remise en cause possible des modèles numériques ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Généralités Équilibre Stationnaire Valeurs propres Discret Instationnaire Système physique Linéaire Non linéaire Différences finies Éléments finis Équilibre Stationnaire Valeurs propres Continu Instationnaire Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Exemples d’hypothèses simplificatrices (1/3) Dimension du problème : 1, 2 ou 3 dimensions Existence ou non de dimensions négligeables devant les autres ? Comportements linéaires ou non : HPP vérifiée ? Caractéristiques matériaux bien identifiées ? Hauban : 1D Tablier : 2D Pile de pont : 3D ou 1D ? Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Exemples d’hypothèses simplificatrices (2/3) Problème temporel ou non : Réponse liée aux échelles de temps caractéristiques : … des sollicitations externes … du fluide, du matériaux … Solution recherchée sur une courte ou longue période ? Air environnant (très affecté) : analyse instationnaire Source : ldeo.columbia ensoleillement Sol (peu affecté) : analyse quasi-statique Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Exemples d’hypothèses simplificatrices (3/3) Présence ou non de couplages multi physiques ? Échelle des temps caractéristiques : fluide (~10-6s), structure (~10-2s), thermique (~10s) ... Réponse en fonction du rapport des temps : Réservoir en ballottement Acoustique musicale (fluide ~ immobile % solide) Ouvrages génie civil (pont …) (fluide et solide se « voient ») Aéroélasticité supersonique (solide ~ immobile % fluide) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Complexité : multi compétences Fluide: Aérodynamique Traînée Acoustique … Intérieur: Capacité transport Confort passagers … Structure: Tenue Fatigue Aéroélasticité Fréquences Commandes … Moteurs: Combustion Poussée Acoustique environmentale … Source : futura-sciences Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Chaîne de conception « industrielle » Aérodynamique Aéroélasticité Tenue mécanique Conception Simulation Expérimental Production Sources : engineering.swan ONERA Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

« Boucle de modélisation » Démarche en 4 étapes (ou modèles) distinctes : NF04 Modèle physique Modèle mathématique (continu) Modèle numérique (algébrique) Modèle informatique Sources d’erreurs Écart entre solution réelle et solution exacte du problème mathématique Écart entre solution exacte du problème mathématique et solution du système discret Écart entre solution exacte du système discret et solution informatique = + + Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

« Boucle de modélisation » NF04 Observation du phénomène Définition des objectifs Modèle physique Modèle mathématique Modèle discret Modèle informatique L’idéal est d’avoir une approche indépendante : de la physique étudiée ; de la dimension géométrique du problème ; du régime (stationnaire ou non) ; de la méthode de discrétisation et des schémas employés. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Analyse des sources d’erreurs Mathématique : 3D 1D, 2D? temporel ? grands déplacements et grandes rotations ou HPP ? loi de comportement du matériaux absence de couplage ? Algébrique : choix du découpage, de l’élément choix de l’algorithme de résolution … Informatique : précision machine programmation … estime et contrôle Question : qu’est-ce qu’un bon modélisateur ? il annule les erreurs Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Apprentissage par l’exemple … « Isolation thermique d’un mur » Objectif : Réduire les pertes caloriques par une meilleure isolation : il nous faut donc connaître le profil de température au travers du mur et en déduire le flux. Méthode : Différences finies Simplifications du modèle : Stationnaire : à justifier ! Un seul isolant Rayonnement négligeable : à justifier ! Monodimensionnel : à justifier ! Source : www.isover.be - Saint Gobain Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle physique Pertes caloriques = flux thermique : q(x) (W/m2) Fonction des matériaux employés Conductivité thermique : k (W/°C-m) Fonction du champ de température : T(x) (°C) Loi de comportement entre flux et température (Fourier) Fonction des échanges avec l’extérieur : h (W/°C-m2) et Text Objectifs : Calculer la température en tout point En déduire les valeurs de flux pour déterminer les pertes Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle mathématique L Définition du domaine d’étude : Équilibre thermique régi par : Loi de comportement : Conditions aux limites (CL) : Température imposée en x=0 (CL type Dirichlet) : Condition en flux en x=L (CL type Cauchy) : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle numérique (1/4) Discrétisation du domaine d’étude : Notion de discrétisation : nombre fini de nœuds de calcul Nœud fictif pour traiter la condition à la limite en dérivée en x=L On associe une variable inconnue par nœud : soient 5+1=6 inconnues Objectif suivant : trouver 6 équations ! 1 2 3 4 5 6 T1 T2 T3 T4 T5 T6 Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle numérique (2/4) Discrétisation des termes de dérivées (démonstration au prochain cours) : Précision du schéma Termes tronqués Type Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle numérique (3/4) L’équation d’équilibre devient : Les conditions aux limites deviennent : 4 eq. 6 inconnues 2 eq. Au total : 6 équations pour 6 inconnues Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle numérique (4/4) Réorganisation matricielle Plus qu’à résoudre ce système …. Astuce : on a éliminé T6 Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle informatique (langage Matlab) clear all close %----- Paramètres géométriques et physiques L = 1; % longueur m k=2; % coeff. de conductivité W/°C-m h=3; % coeff. d’échange convectif W/°C-m2 f0=10; % production W/m3 T0=30; Text=10; % conditions aux limites %----- Paramètres numériques nnt=input('entrer le nombre de points: '); dx = L / (nnt - 1); % pas de discrétisation vkg=zeros(nnt,nnt); % initialisation de la matrice vfg=zeros(nnt,1); % initialisation du second membre c=k/dx^2; % Schéma aux différences finies [-1 2 -1]*k/dx^2 for i=2:nnt-1 vfg(i) = -f0; vkg(i,[i-1 i i+1])=[c -2*c c]; end %---- Condition de Dirichlet vkg(1,1)=1; vfg(1)=T0; %---- Condition de Cauchy vkg(nnt,[nnt-1 nnt])=[2*h/dx^2 –2*(k/dx^2+h/dx)]; vfg(nnt)=-f0-2*h*Text/dx; %----- Résolution vsol = vkg\vfg %---- Affichage vcorg = 0:dx:L; % Coordonnées des noeuds plot(vcorg,vsol,'b -o') % trace solution calculée … Post-traitement des résultats Puis analyse … Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC