Cours 2 Méthode des différences finies Approche stationnaire Technique de discrétisation en 1D Construction du système Prise en compte des conditions aux limites Notion de convergence Extension au 2D Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Méthode des différences finies Objectif : transformer une équation « continue » valable sur un domaine continu en un système à N équations pour N inconnues associées à un domaine discret appelé maillage Méthode : écrire sous forme discrète (i-1, i, i+1 …) tous les termes de dérivées présents dans l’équation d’équilibre appliquée en i ainsi que dans les C.L. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Différences finies 1D : méthode générale Reprenons l’exemple de thermique 1D régi par : On discrétise le domaine en « N » nœuds (maillage) : On applique alors cette équation au nœud « i » : A ce stade, il nous faut donc discrétiser le terme de dérivée seconde ! A domaine discret, équation « discrète » ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Discrétisation des termes de dérivées Utilisation des développements limités : On combine ces deux équations. Par exemple, la somme de (1) et de (2) : permet d’isoler : notation indicielle représentatif de l’ordre de tous les termes tronqués Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Principales formes discrètes à connaître En combinant de différentes manières, on obtient ainsi les approximations discrètes suivantes : Précision du schéma Nouvelle notation : T(i+1)=Ti+1 Termes tronqués Type Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Interprétation graphique Discrétisation centrée : relation dans laquelle les contributions des valeurs nodales de part et d'autre du point considéré (noeud i)  sont équivalentes. Discrétisation décentrée : relation dans laquelle les contributions des valeurs nodales de part et d'autre du point considéré (noeud i)  ne sont pas équivalentes. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Construction globale du système La relation discrète finalement obtenue s’écrit : Elle est applicable seulement aux nœuds i=2, …, N-1 : ou encore : Écriture sous forme matricielle Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Condition à la limite de type DIRICHLET On a la condition suivante : Méthode : on ajoute : un terme unité « 1 » sur la diagonale du nœud concerné la valeur connue dans le 2nd membre Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Condition à la limite de type CAUCHY (1/2) avec noeud fictif ! On a la condition suivante : Méthode : on discrétise le terme de dérivée présent dans la condition à la limite (aussi appelée condition de type « flux »). Avec noeud fictif : plus long mais précis ! On applique la relation d’équilibre discrète en N car le nœud N+1 existe : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Condition à la limite de type CAUCHY (2/2) sans noeud fictif ! Sans noeud fictif : rapide mais perte en précision ! On a recours à une formule décentrée pour la CL : conduisant ainsi à : (précis ordre 1) + : rapide à mettre en oeuvre - : on diminue la précision globale du schéma Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Système final à résoudre Rem : ce système est basé sur le traitement de la CL avec nœud fictif Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Affichage et post-traitement de la solution Pour des systèmes de tailles supérieures à 3-4, on a généralement recours à des outils informatiques dédiés à la résolution et l’affichage. Apprentissage de l’outil Matlab lors des séances TP de NF04 Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Pour résumer … Mailler le domaine Discrétiser l’équation d’équilibre et les conditions aux limites : En remplaçant toutes les dérivées par leur forme discrète Construire le système global En appliquant les équations discrètes sur les nœuds concernés Résoudre le système (voir TP et TD encadrés sous Matlab) Post-traiter : Tracer la solution Calculer les variables dérivées : flux (thermique), contrainte (méca) … Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Fiabilité du modèle : notion de convergence mathématique (continu) Modèle numérique (algébrique) Erreur introduite en négligeant les termes des développements limités à partir d’un certain ordre Question : comment s’assurer que l’équation discrète est représentative, en termes de phénomènes physiques, de l’équation de départ ? Méca. Flu., thermique : transport, diffusion … MMC : traction, flexion, dynamique … Idée : le comportement du modèle numérique doit converger vers le comportement du modèle mathématique (censé être proche du réel …). Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Convergence = consistance + stabilité Notion de convergence Méthode : s’assurer de la propriété de CONVERGENCE de l’équation discrète. Théorème de LAX : Convergence = consistance + stabilité Comportement numérique proche du « réel » Absence d’oscillations parasites Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Notion de consistance Définition : on appelle erreur de troncature t, l’ensemble des termes négligés dans les développements limités lors de l’obtention d’une équation (ou schéma) discrète Il est en effet possible d’écrire : Équation continue = Équation discrète + t Définition : un schéma est dit consistant si son erreur de troncature tend vers 0 lorsque le pas Dx tend vers 0 Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Exemple de calcul de l’erreur de troncature Considérons les développements limités suivants : que l’on injecte dans l’équation discrète. Ce qui conduit à : soit : Conclusion : le schéma est bien consistant avec l’équation de départ Remarque : la solution par différences finies sera mathématiquement exacte dans ce cas précis. La solution math. est quadratique d’où t = 0 ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Effets « visibles » de l’erreur de troncature Le comportement graphique de la solution est un indicateur des effets de l’erreur de troncature Le schéma est dit DISPERSIF si des dérivées impaires apparaissent. Effets néfastes pouvant entraîner l’instabilité des résultats Le schéma est dit DIFFUSIF si des dérivées paires apparaissent. Effets bénéfiques mais pouvant diminuer la précision des résultats Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

« Notion » sur la stabilité d’un schéma Définition : la stabilité est la propriété de contrôler toute perturbation (numérique dans notre cas) introduite de manière accidentelle. Un schéma est dit STABLE si la perturbation diminue ou mieux, disparaît. Un schéma est dit INSTABLE si la perturbation augmente. Concrètement, apparition d’oscillations parasites (changement du signe de la pente d’un nœud à l’autre). (L’étude de la stabilité sera développée ultérieurement.) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Extension à 2 dimensions (2D) Thermique : exemple d’une plaque rectangulaire soumises à différentes conditions aux limites. Définition du contour du domaine et génération d’un maillage quadrillé : Rem : est le flux normal à la paroi (normale vers l’extérieur) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Différences finies 2D : L’équation de la chaleur 2D est la suivante : La loi de comportement est : Insertion de éq.(2) dans éq.(1) : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Construction du système Balayer les lignes les unes après les autres et appliquer l’équation discrète si possible Appliquer les conditions aux limites discrètes Résoudre et post-traiter les solutions K F Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC