Cours 5-b Problèmes spatio-temporels d’ordre 1 en temps Calcul des matrices de masse (1D et 2D) Schémas explicite et implicite Approche globale de la stabilité Approche locale de la stabilité : décomposition de Neumann notion de positivité Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Problèmes spatio-temporels Le problème étudié est désormais variable en temps et en espace. La forme générale d’un système d’équations au 1er ordre en temps s’écrit : Avec : [M] : matrice globale de masse [K] : matrice globale de rigidité (voir précédents cours de NF04) {F} : vecteur global des sollicitations (idem) Ces matrices résultent de techniques de discrétisation telles les : Différences finies Eléments finis … Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul de la matrice masse [ M ] (1 dimension) Equation « de la chaleur » en 1D Forme faible associée : Fonction-test ne dépendant que de x bien que le problème soit instationnaire ! Pas d’intégration par parties sur le terme instationnaire ! [K ]{T } {F } Neumann Cauchy Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Matrice masse : thermique 1D Approximation par éléments finis : RAPPEL : les fonctions d’approximation ne dépendent pas du temps ! d’où : Le terme temporel s’écrit ainsi : Avec : La procédure d’assemblage reste identique ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul de la matrice masse [ M ] (2 dimensions) Equation « de la chaleur » en 2D Forme faible associée : Fonction-test ne dépendant que de x,y bien que le problème soit instationnaire ! Pas d’intégration par parties sur le terme instationnaire ! [K ]{T } {F } Neumann Cauchy Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Matrice masse : thermique 2D Approximation par éléments finis : Soit : Le terme temporel s’écrit ainsi : Avec : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Phase d’assemblage + conditions aux limites De manière générale : Avec : A l’issue de la phase d’assemblage : L’introduction des conditions aux limites de type Dirichlet s’effectue dans la boucle temporelle. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Discrétisation temporelle La discrétisation du terme temporel est analogue au cas scalaire : Schéma EXPLICITE : Schéma IMPLICITE : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Stabilité L’analyse de la stabilité du schéma temporel (explicite, implicite …) d’un système d’équation peut être traitée selon deux approches : Approche globale : utilisation des matrices [M] et [K] Approche locale : équation scalaire discrète en temps et en espace Pour cette dernière approche, deux techniques possibles : Stabilité au sens de la décomposition de Neumann (approche mathématique) Concept de positivité (approche « physique ») (+) généralisable (-) « lourde », condition de stabilité avec oscillation (+) facile, rapide, stabilité sans oscillation (-) pas toujours généralisable Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Approche globale de la stabilité (1) Quel que soit le schéma utilisé, explicite, implicite … il est toujours possible de ramener le système sous la forme récurrente suivante : Par analogie avec l’étude de la stabilité d’une équation scalaire, on définit : [G] : matrice d’amplification du schéma {…} : autres termes du système ne faisant intervenir ni {T }n , ni {T }n+1 Définition : la stabilité sans oscillation du schéma est alors assurée si Taille du système Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Approche globale de la stabilité (2) Application au cas d’un schéma EXPLICITE soit : La matrice d’amplification est : On pose li, les valeurs propres de la matrice , avec Nous avons donc : Schéma STABLE si Car [M] et [K] définies positives ! Matrice identité CONDITION DE STABILITE Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Approche globale de la stabilité (3) Application au cas d’un schéma IMPLICITE soit : La matrice d’amplification est : On pose li, les valeurs propres de la matrice , avec Nous avons donc : Schéma STABLE si TOUJOURS VERIFIE ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Approche locale de la stabilité La démarche consiste cette fois-ci à analyser la stabilité d’une équation discrète et non plus du système dans sa globalité Où trouver l’équation ? Deux possibilités : Extraire la jème ligne du système : Obtenir l’équation discrète par différences finies Remarque : un schéma aux différences finies centrées en 1D est identique à celui obtenu par une approche éléments finis linéaire 1D où la matrice de masse serait diagonalisée. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application à la thermique 1D Equation de « la chaleur » en 1D Phase de discrétisation en espace : Phase de discrétisation en temps : La stabilité requiert l’écriture sous la forme : Question : que faire des variables indicées en j-1 et j+1 ? Indice temporel Indice spatial Même indice en espace ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Stabilité au sens de Neumann Objectif : exprimer toutes les variables indicées en j-1 et j+1 en fonction de la variable indicée en j pour aboutir à : Méthode : décomposition en séries de Fourier (voir principe sur transparent suivant) Principe : si la solution est stable, alors chacun de ses modes est aussi stable. Application : on considère donc un seul mode m quelconque On montre alors que : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Décomposition en séries de Fourier Principe : « n’importe quel signal, aussi bien en temps qu’en espace, est décomposable en séries de Fourier » Séparation des variables : Illustrations : Fonction de l’espace Fonction du temps Reconstruction du signal pour un nombre de modes croissant m=1 m=2 m=5 m=50 Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Stabilité de Neumann pour un schéma EXPLICITE Le schéma explicite en temps pour l’équation de « la chaleur » en 1D est : On introduit : Soit : La stabilité est assurée pour toujours vérifié ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Concept de POSITIVITE Ecriture générale du schéma discret d’un problème spatio-temporel : Un tel schéma est dit POSITIF s’il vérifie : La démonstration est basée sur le choix de profils de type choc en n : Application : le schéma explicite (ther. 1D) est positif si A≥0 B≥0 C≥0 Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC