Cours 3-a Méthode des éléments finis 1D Notion d’affaiblissement : formes forte et faible Approximation par éléments finis Traitement des conditions aux limites Résolution Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Étude comparative : différences finies et éléments finis Différences finies (rappels) Équation d’équilibre + C. aux L. = Forme FORTE Obtention forme faible intégrale Générer le maillage du domaine Nœuds équidistants Maillage Nœuds Éléments (connectivité) Obtention de l’équation discrète Formules « toutes faites » Idem pour les C. aux L. Discrétisation de la forme intégrale sur chaque élément (matrice et vecteur élémentaires) Construction du système = Assemblage Résolution du système Post-traitement Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Formes forte et faible Particularité de la méthode des éléments finis (MEF) : Discrétiser, non pas la relation d’équilibre, mais une forme « affaiblie » de cette équation. Vocabulaire : cette forme est appelée sous des noms divers: Forme faible Forme intégrale Forme variationnelle … affaiblir pour réduire certaines contraintes mathématiques (discontinuités …) empêchant l'utilisation d'outils classiques pour sa résolution. Motivation : la solution d’une forme faible correspond à une solution approchée ou « faible » en termes de continuité. Conséquence : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Illustration du principe d’affaiblissement Discontinuité sur la dérivée exacte Continuité sur la dérivée « affaiblie » Continuité sur la forme « affaiblie » Continuité sur la forme « affaiblie » Solution « forte » : traits pleins noirs Solution « faible » : traits pointillés rouges Avec affaiblissement : dérivées ordre 1 et 2 sont désormais continues et donc discrétisables et intégrables ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Technique d’affaiblissement par la Méthode des résidus pondérés Reprenons l’exemple de thermique 1D régi par : Définition : nous appelons résidu (noté Res), l’expression mathématique de la forme forte du problème étudié. Soit, dans notre cas : Ce résidu s’annule quand T(x) est solution. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Méthode des résidus pondérés Méthode générale : Pondération du résidu par une fonction-test Intégration sur le domaine Intégration par parties Introduction des conditions aux limites Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application : équation de la chaleur en 1D 1. Pondération du résidu par une fonction-test : 2. Intégration sur le domaine Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

3. Intégration par parties : Avantages : Réduction de l’ordre maximum des dérivées présentes Introduction « naturelle » des conditions aux limites Rappels : intégrations par parties en 1D Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Technique d’affaiblissement par la Méthode des résidus pondérés 4. Introduction des conditions aux limites : Traitement de : Deux possibilités : Introduction du flux inconnu en x=0 : Élimination en choisissant : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Discrétisation par éléments finis Maillage avec un seul élément fini à deux noeuds : Forme faible (ou intégrale) : L’intégration requiert une approximation des variables : et de leurs dérivées : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Approximation par éléments finis (Galerkin) Définition : une approximation au sens des éléments finis d’une variable T(x) sur un élément à deux nœuds, s’écrit : Vocabulaire : sont appelées fonctions d’approximation ou fonctions de forme (fonctions polynomiales) Propriétés : les fonctions de formes vérifient la relation générale : Utile pour les calculer Application : pour un élément fini à deux noeuds Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul des fonctions Ni : élément à deux noeuds Choisir l’ordre d’approximation : deux nœuds ordre 1 Construction des deux systèmes d’équations Résolution : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Approximation de la fonction-test Plusieurs formulations sont possibles : Collocation par points ou par sous domaines Moindres carrés Galerkin Hors programme NF04 Méthode des éléments finis La fonction-test est approximée avec les mêmes Ni que T(x) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Discrétisation de la forme intégrale Réécriture des approximations sous la forme : La fonction-test est approximée de la même manière : Les dérivées se calculent selon : Vecteur ligne Vecteur colonne Vocabulaire : si la variable inconnue et la fonction-test utilisent les mêmes fonctions Ni, l’approximation est alors dite de type GALERKIN. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Discrétisation de la forme intégrale Rappel : Introduction des approximations dans la forme intégrale : soit Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Obtention du système Soit : Pour le terme des conditions aux limites : En regroupant les deux expressions : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Obtention du système D’où : avec : Prise en compte de la condition à la limite : T(x=0)=T1=30 Vocabulaire : [K] = matrice de « rigidité » {F} = vecteur des sollicitations externes {R} = vecteur des réactions (ou flux) externes inconnus {R} disparaît avec cette méthode ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Affichage et post-traitement de la solution Résolution : outil informatique Matlab (séances TP de NF04) Post-traitement : Affichage de la température Calcul des réactions ou flux externes (ie inconnus) Calcul du flux à l’intérieur du domaine Premier élément de validation : Respect ou non des conditions aux limites ? Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Pour résumer … Mailler le domaine Obtention de la forme faible : En pondérant par une fonction-test quelconque En intégrant par parties avec les conditions aux limites Approximation des variables et des dérivées au sens éléments finis Calcul des fonctions d’approximations Discrétisation de la forme intégrale et calcul des matrices et vecteurs Résoudre le système (voir TP et TD encadrés sous Matlab) Post-traiter : Tracer la solution Calculer les variables dérivées : flux (thermique), contrainte (méca) … Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC