Modélisation et calcul scientifique Jocelyne Erhel Equipe SAGE - INRIA et IRISA - Rennes Équipe commune avec le CNRS et l’université de Rennes 1 Travail en collaboration avec Géosciences Rennes (CNRS et université de Rennes 1) avec le laboratoire PPRIME (CNRS et université de Poitiers) Avec le laboratoire CDCSP (CNRS et université de Lyon)

Comprendre (ex: astrophysique) Prédire (ex: météo) Modélisation et simulation Comprendre (ex: astrophysique) Prédire (ex: météo) Gérer (ex: ressources pétrolières) Décider (ex: finances)

http://www.surfrider.eu/uploads/pics/Cycle-de-l-eau.jpg

L’eau potable en Bretagne:  70% eaux de surface ©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html L’eau potable en Bretagne:  70% eaux de surface  Quelques captages profonds ©Yves Chaux

©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html

©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html

Variables physiques Lois de conservation Lois de comportement Modélisation Variables physiques Lois de conservation Lois de comportement

Charge hydraulique H H = P/ρg + z Cascade: l’eau tombe par gravité Puits artésien : l'eau jaillit par pression. H = P/ρg + z P pression, ρ densité, g constante de gravité, z profondeur

Gradient de charge hydraulique © http://www.u-picardie.fr/~beaucham/cours.qge/du-7.htm

Gradient de charge hydraulique En dimension 1: position x et fonction H(x) Points x et x+dx H’(x) est le gradient de H au point x

Gradient de charge hydraulique En dimension 2: position (x,y) et fonction H(x,y) Points (x,y) et (x+dx,y); points (x,y) et (x,y+dy) Vecteur gradient Grad(H)

Vitesse de l’eau Loi de la conservation de la masse: Ce qui sort du tuyau y est entré Arrosage : les bons tuyaux ! | © Olivier Desvaux En dimension 1: position x; vitesse V(x); source Q(x) Conservation de la masse: V’(x)=Q(x)

Vitesse de l’eau En dimension 2 : vecteur V(x,y) avec deux composantes Divergence de V: flux de vitesse en un point

Notion de perméabilité Type de roche Perméabilité (m/s) graviers 3 10-1 sables 6 10-4 limons 3 10-8 vase argileuse 5 10-10 1m=3 s 1m=28 mn 1m=386 j 1m=63 ans

Loi de Darcy V = -K * grad(H) La vitesse est proportionnelle au gradient de charge Le coefficient K est la perméabilité de l’aquifère HISTOIRE DES FONTAINES PUBLIQUES DE DIJON. APPENDICE. - NOTE D. Détermination des lois d'écoulement de l'eau à travers le sable. HENRY DARCY INSPECTEUR GENERAL DES PONTS ET CHAUSSEES. 1856

Modèle de l’écoulement H = charge Hydraulique ; V = vitesse ; K = perméabilité Flux nul Conservation de la masse div(V) = Q Loi de Darcy V = -K * grad(H) Conditions aux limites H=0 H=1 Il existe une solution H et elle est unique Flux nul En général, on ne sait pas calculer la solution H

Discrétisation du domaine Problème approché Analyse de convergence Discrétisation numérique On sait calculer une solution approchée Discrétisation du domaine Problème approché Analyse de convergence

Solution approchée : discrétisation spatiale On superpose une grille de calcul, comme les pixels d’une photo numérique div(V) = Q V = -K * grad(H) Conditions aux limites Plus la grille est fine, plus la solution approchée est précise Et plus le volume de données et le temps de calcul augmentent

Modélisation de l’écoulement : système d’équations approché On écrit les équations dans chaque petit carré de la grille On obtient un système d’équations linéaire H1 H2 H3 H4 Les inconnues sont H1,H2,H3,H4

Algorithme de résolution Développement d’un logiciel Validation Simulation numérique Algorithme de résolution Développement d’un logiciel Validation

système d’équations linéaires N mailles : N équations avec N inconnues Algorithme de résolution par éliminations successives des inconnues Stocker 8N2 octets Faire N3 opérations (Flops) N=1000 : 8 Mega-octets et 1 Giga-Flops N=100000=105 : 80 Giga-octets et 1015 Flops (1 Peta-Flops)

Système d’équations linéaires 0 + a = a et 0 x a = 0 On ne stocke que les éléments non nuls de la matrice On ne fait les opérations qu’avec ces éléments non nuls Une matrice creuse Temps de calcul en fonction de la taille N Les algorithmes sont plus compliqués

Calcul parallèle et distribué Grappe de PC Inria Grid’5000 ©INRIA/Photo Jim Wallace Modèle numérique 16,8 millions d’inconnues en 76 secondes avec 32 processeurs

Cas compliqué hétérogène Validation et visualisation Cas simple homogène Cas compliqué hétérogène

Charge H et vitesse V dans un milieu homogène

Charge H et vitesse V dans un milieu hétérogène C:\Documents and Settings\erhel.irisa\Mes documents\Mes doc\EXPOSES\DEMO-HYDROGRID\matlab Lancer hydro

Charge dans un réseau 3D de fractures

Pour en savoir plus http://www.eaubretagne.fr/article/les-eaux-souterraines http://www.cnrs.fr/cw/dossiers/doseau/decouv/rubrique.html http://www.brgm.fr/divers/nappes.htm http://www.u-picardie.fr/~beaucham/ http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html http://ga.water.usgs.gov/edu/watercyclefrench.html http://www.irisa.fr/sage http://www.geosciences.univ-rennes1.fr/