GRAPHES FONCTIONNELSANR-GRAAL Serge Burckel avril 2007

Graphes pour lInformatique Informatique pour les Graphes

Motivations : Réconcilier les maths et linfo…. Calcul Clos A:=A B B:=A B A:=A B dimension=2 Exemple de léchange E(A,B) = (B,A) Calcul Classique C:=A A:=B B:=C dimension=3 Maths : hautement parallèles Info : fortement séquentielle

SCopie de S N étapes Image E(S) N étapes

S Image E(S) RAM cache UC OBJECTIFS

Applications Processeurs In Situ Zero-Delay Flat-tech Compilateurs Pré-Comp Post-Comp Faisabilité DATA Space = Comp. Space Traitement dimages

Cas facile : linfini Axiome du choix => (Tarski 1926) lensemble S admet un « pairing » càd une injection de S² dans S. Toute application E sur S N se calcule en N+1 étapes dassignations. Exemple : calcul de E sur 5 x 1 := 2 x1. 3 x2. 5 x3. 7 x4. 11 x5 x 2 := E 2 (d 2 (x 1 ), d 3 (x 1 ), d 5 (x 1 ), d 7 (x 1 ), d 11 (x 1 )) x 3 := E 3 (d 2 (x 1 ), d 3 (x 1 ), d 5 (x 1 ), d 7 (x 1 ), d 11 (x 1 )) x 4 := E 4 (d 2 (x 1 ), d 3 (x 1 ), d 5 (x 1 ), d 7 (x 1 ), d 11 (x 1 )) x 5 := E 5 (d 2 (x 1 ), d 3 (x 1 ), d 5 (x 1 ), d 7 (x 1 ), d 11 (x 1 )) x 1 := E 1 (d 2 (x 1 ), d 3 (x 1 ), d 5 (x 1 ), d 7 (x 1 ), d 11 (x 1 )) où d p (x) = max{ k : p k | x }

Cas difficile : {0,1} Puisque : si on peut calculer in situ pour {0,1} N alors on peut aussi le faire pour F N. Codage/décodage binaire : x i [ i b 1 i b 2 …. i b k ]

Résultats par les graphes : 1. Toute application E sur la structure {0,1} N a un calcul clos. (SB) Graphes Eulériens de De Bruijn + un peu dArithmétique Le modèle standard de Calcul :

3. Toute application linéaire E sur une structure K N a un calcul clos en au plus 2N-1 opérations linéaires. (Marianne Morillon, SB) Par les matrices : 2. Toute application E sur la structure {0,1} N a un calcul clos en au plus N 2 opérations. (Marianne Morillon & SB) Corollaire 1 Décompositions de graphes par « Complémentation Locale Relative » +

Corollaire 3 : représentation calculatoire des matrices. Toute matrice M à coefficients dans un corps K est représentable par une nouvelle matrice associée M C. Ce codage permet de calculer directement les images, les images inverses…. Corollaire 2 : décomposition des matrices/graphes TOUTE matrice carrée sur {0,1} (pas nécessairement inversible) est obtenue à partir de lidentité par une séquence finie dopérations : Ligne i := Ligne i Ligne j

Exemple sur {0,1} : E(a,b,c,d)=(a+d,a+b+c, a+c+d,a+c) M= MC=MC= Calcul de E : a:=a+d b:=a+b+c+d c:=a+c d:=c+d ==>Calcul de E -1 : d:=c+d c:=a+c b:=a+b+c+d a:=a+d « remonter le temps »

Algorithme de « séquentialisation » simple dune matrice M. Le cas {0,1} et à réflexion près. Input : M Output : M C Pour i de 1 à N : --si M[i,i]=0 alors ----faire M[i,i]:=1(et éventuellement ----rectifier la structure initiale associée à M) --pour j de i+1 à N : ----si M[j,i]=1 alors : faire M[j,i]:= faire M[j]:=M[j] M[i] (lignes)

Contribution à la quête du GRAAL A réflexivité près + ordre total sur les sommets matrice dadjacence=graphe dirigé ==> calcul clos de matrice en N étapes ==> dim(M)=dim(M C ) ==> lalgorithme précédent entraîne que : Tout graphe G est «construit» par un graphe G C Graphes comme constructeurs de graphes G GCGC x1:=x1+x2 x2:=x1+x2 Programme 1 2

Relation d équivalence : G C == H C : « ils construisent les mêmes graphes (toujours à réflexions près). » Simplifications de constructeurs. Exemples : G=G C ==

Analogie avec décompositions modulaires et généralisations... GGCGC H HCHC Une autre conséquence : « les sommets peuvent se servir des opérations réalisées par les sommets précédents »

Un point important et agréable : par construction, les graphes G C sont toujours réflexifs…donc aucun soucis pour faire une itération des constructeurs : G <= G C <= G CC <= G CCC <=…. <= signifiant : appliquer le calcul puis mettre tous les arcs réflexifs. Mais alors...par finitude, on a ultimement : G => G CCC...C Pour un certain k, G construit lui même son k-ième constructeur itéré !!

G GCGC 1 2 Ici G => G C Mais ce k peut-être très grand…. Pour 4 sommets…jusquà 18 itérations.

Une autre conséquence : Noyaux itératifs THEOREME : Soit G=(V,E) un graphe dirigé fini avec V={ x 1, x 2,…., x N } ordonné. Il existe un stable K 0 de G tel que l algorithme suivant colorie tous les sommets de G : 0. Colorer les sommets de K 0 1. Pour i de 1 à N si x i est coloré colorer les x k tels que (x i, x k ) E

Remarque : La preuve de ce Thm initialement basée sur les G C a été simplifiée depuis et encore plus par une bonne remarque de Stephan Thomassé (le 4 avril 2007).

4. Toute application bijective E sur une structure F N a un calcul clos en au plus 2N-1 opérations. (SB) 5. Toute application E sur une structure F N a un calcul clos en au plus 5N-4 opérations. (Emeric Gioan & SB) 6. Toute application E sur une structure F N a un calcul clos en au plus 4N opérations. (Emeric Gioan & SB) résultats récents : inductions/coloriages

Remarque : le calcul clos dune bijection sur {0,1} N est toujours de la forme : x 1 := x 1 + f 1 ( x 2 x 3 …. x N-1 x N ) x 2 := x 2 + f 2 (x 1 x 3 …. x N-1 x N ) x 3 := x 3 + f 3 (x 1 x 2 …. x N-1 x N ) …... x N-1 := x N-1 + f N-1 (x 1 x 2 x 3 …. x N ) x N := x N + f N (x 1 x 2 x 3 …. x N-1 ) x N-1 := x N-1 + g N-1 (x 1 x 2 x 3 …. x N ) …... x 3 := x 3 + g 3 (x 1 x 2 …. x N-1 x N ) x 2 := x 2 + g 2 (x 1 x 3 …. x N-1 x N ) x 1 := x 1 + g 1 ( x 2 x 3 …. x N-1 x N ) Conséquence :comme pour les linéaires, le « sens inverse » calcule la bijection inverse E -1. Pour le LOGarithme Discret..??

Graphes fonctionnels Les 14 modèles de calculs sur 3 éléments.

Jeux en 3 étapes. F(1)=3, F(2)=1, F(3)=1, F(4)= STEP : 0123 Toute application sur {1,2,3,4} se réalise en 3 étapes de ce jeu. Rem : aussi en 2 étapes. Mais pas (2,1,1,1)

Définitions G=(V,E) un graphe dirigé. A(V) : les applications de V dans V B(V) : les bijections de V dans V I(G) A(V) : les applications F ayant comme support G : Pour tout x de V, (x, F(x)) est un arc de E. Soient : G 0 ={id V } et G k+1 ={i f : i dans I(G) et f dans G k } Définition G est k-fonctionnelsi A(V) G k G est k-bijectif si B(V) G k

Autre exemple : « la boule de sapin » Il est n²-fonctionnel. Conjecture/Tests pour n=3…7 : il est (n²-3n+3)-fonctionnel.

Résultats partiels : k-fonctionnel (k+1)-fonctionnel k-bijectif (k+1)-bijectif k-fonctionnel k-bijectif (trivial) k-bijectif nk-fonctionnel (…..) La conjecture entraîne que toute application sur F N se calcule par une séquence de 2N assignations. CONJECTURE K-bijectif (K+1)-fonctionnel ???

3-bijectif et 4-fonctionnel K-bijectif K-fonctionnel Point remarquable : TOUT graphe qui permet de calculer toutes ses bijections en exactement k étapes permet toujours de calculer toutes ses applications !! Ceci nest plus vrai sil ne peut que calculer ses bijections en au plus k étapes :

Développements Ordres dassignations & calculs rapides. EX : E(a,b,c)=(a.b+a.c, b+c, a+b+c) c := a b := b+c a := a.b c := c+b Autres modèles de calculs par autres graphes. ( Strassen)

BUT : Etant donnée une bijection E sur {0,1} N exprimée sous forme de N expressions algébriques pour ses projections, trouver une expression algébrique dun « coloriage » C(X): {0,1} N --> {0,1} des lignes de la table de E tel que pour tous X,X C(X)=1+C(X) si X=[0,x] et X=[1,x] ou E(X)=[0,y] et E(X)=[1,y] METHODE ACTUELLE….trop gourmande et sans doutes inutile : Exemple E(a,b,c)=(b+c,b,a) : au choix au choix ==> C(a,b,c)=a+c QUESTION TECHNIQUE OUVERTE MERCI…/