4. La transformée en z Un formalisme adapté au filtrage et à l’analyse en fréquence des signaux échantillonnés et à l’automatique numérique x(t) signal étudié Définition z variable complexe t entier : pas d’échantillonnage égal à 1 Im(z) problèmes liés à la convergence : importance du domaine de définition en général une couronne incluant le cercle de rayon 1 Re(z) 1 lien avec la transformée de Fourier

x(t) t Exemple Im(z) convergence si séries géométriques Re(z) |a| 1 (entier) Im(z) convergence si séries géométriques Re(z) |a| 1 1/|b| (fractions rationnelles) a et b peuvent être complexes

associée à une équation récurrente (filtrage) équivalente numérique de l’équation différentielle linéraire à coefficients constant du premier ordre

a proche de zéro a proche de 1 a > 1 a négatif Effet de la valeur de a très amorti : a proche de zéro peu amorti a proche de 1 Im(z) a négatif a > 1 |a| Re(z) 1 oscillations à ½ fréq. d’éch. exponentielle divergente si a>1

Im(z) convergence si |a| Re(z) 1 fractions rationnelles : pôles et zéros racines du dénominateur et du numérateur

t associée à une équation récurrente (filtrage) équivalente numérique de l’équation différentielle linéaire à coefficients constant du deuxième ordre de la forme

Argument des pôles et fréquence des oscillations Im(z) Im(z) Re(z) Re(z) 1 1 Oscillations lentes (basses fréquences) Oscillations rapides (hautes fréquences) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -3.0 -1.9 -0.8 0.3 1.4 2.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -2.0 -0.8 0.4 1.6 2.8 4.0 t t

Module des pôles et amortissement pôles proches de l’origine pôles près du cercle de rayon 1 Im(z) Im(z) |a| |a| Re(z) Re(z) 1 1 Très amorti Très oscillant 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1.2 -0.7 -0.2 0.3 0.8 1.3 1.3 1.0 0.7 0.4 0.1 t t -0.2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Module des pôles et stabilité pôles intérieurs au cercle 1 pôles extérieurs au cercle 1 Im(z) Im(z) |a| |a| Re(z) 1 Re(z) 1 stable (convergence) instable (divergence) t t

Quelques propriétés immédiates de la transformée en z La transformée d’une séquence de durée finie est un polynôme Le retard de k échantillons est associé à z -k La transformée d’un signal composé d’un seul échantillon pour t=0 est une constante La transformée d’un signal composé d’un seul échantillon pour t=1 est

Transformée d’une convolution discrète (commutativité) Même démonstration que dans le cas de la transformée de Fourier d’une convolution

Transformée d’une convolution discrète cf : produit de polynômes les coefficients du produit s’obtiennent en calculant une convolution discrète

C contour dans le domaine de convergence : cercle de rayon 1 Inversion de la transformée en z C contour dans le domaine de convergence : cercle de rayon 1 (expression donnant l’amplitude de l’harmonique d’une série de Fourier) dans les cas simples : décomposition en fractions rationnelles du premier degré : le signal x est une somme d’exponentielles pour calculer l’inverse d’une transformée en z il faut faire un calcul d’une intégrale de fonction le long d’un contour appartenant au domaine de convergence et entourant une seule fois l’origine du plan complexe alors (a peut être complexe) la transformée inverse d’un polynôme est une séquence de durée finie Attention au domaine de convergence ! En traitement du signal ce domaine contient le cercle de rayon 1

graduation linéaire en angle du cercle de rayon un fréq. Lien avec la transformée de Fourier p graduation linéaire en angle du cercle de rayon un correspond à une graduation linéaire de l’axe des fréquences p/2 Im(z) p/2 3p/4 p/4 p/4 p -p Re(z) -3p/4 -p/4 -p/4 -p/2 -p/2 Lien avec la transformée de Laplace l’intérieur du disque de rayon 1 se transforme dans le demi plan partie réelle négative -p

transformée de Fourier signal à temps continu signal échantillonné x(t) échantillonnage y(n)=x(t) pour n=t domaine temporel transformée en z t n transformée de Fourier Y(z) Y(z) Im(z) Re(z) périodisation domaine fréquentiel z=ejw X(w) X(w) -p p X(w)= Y(ejw) w w p -p p -p enroulement sur le cercle 1