Stage départemental mathématiques 205 « Nombres et calculs en école élémentaire Cycles 2 et 3 » Les concepts d’opérations du CP au CM2 du sens aux techniques Sandrine Micoud et Fabien Vallier CPC La Tour du Pin et BJ1 D'après un document de Christophe Clanché IEN La Tour du Pin 1

Plan de la journée Quelle place et quels enjeux donnés à l’apprentissage du calcul posé à l’école élémentaire ? 2

Faut-il insister sur le sens lors de l’apprentissage d’une technique opératoire ? Enseigner seulement la technique durant un temps dédié ? Comment aider les élèves à faire le lien entre les connaissances sur les nombres et les opérations et leur utilisation dans la résolution de problèmes ? Comment faire acquérir les tables de multiplication aux élèves qui « bloquent » ? Technique opératoire de la division Situations relevant de la soustraction Comment aider certains élèves qui n’ont pas encore certains automatismes simples ? Quels outils pour les élèves les plus en difficulté ? Nombres et calcul au cycles 2 et 3 : ce qui vous questionne ou met en difficulté

(moins d’1/3 des élèves en réussite) Les constats : Evaluations CE1 – 2011 : exemple d’une circonscription (La Tour du Pin) 3 items les plus échoués (moins d’1/3 des élèves en réussite) dans le même domaine …. … en CALCUL ! C’est également dans ce domaine que l’écart avec le reste du département est le plus important. 4

Circo . Tour du Pin Isère Effectuer 3 divisions 33 % 37,6 % Effectuer 2 multiplications 32 % 40 % 18 : 2 20 : 5 60 : 2 52 x 3 130 x 5 Problème de partage 21 % 24,9 % Problème soustractif 47,7 % 50,7 % Problème multiplicatif 50 % 56,3 % Partage de 75 en 3 225 - 112 12 x 4

Item 89 6

Item 79 7

Item 79 8

Item 92 Seulement un élève sur 5 a trouvé la bonne réponse. 9

Deux exercices réussis par moins d’un élève sur 2 10

Deux exercices réussis par moins d’un élève sur 2 11

Évaluations CM2 – 2011- Isère 13 items – 5 compétences pas de problème particulier pour : C1 77.5 % et 81.5% de réussite) C5 74,5% de réussite C1 j 1313i j j hh

C2 : environ 52% de réussite 8,3 x 5 = ? 246 + 34 + ? = 500 Des résultats quasi identiques Multiplication : Problème de retenue : nécessité de l’écrire – pb à retenir Problème de virgule : oubli

C2 Calculer mentalement Problème de technique 8 X 5

C2 Calculer mentalement addition à trou (246 + 34) (500 – 280) réponse : 220 1ère étape bien réalisée mais écrite et erreur de retenue Incompréhension de l’addition à trou (complément) Erreurs de calcul : autres propositions : 150 – 293 – 21 - 86

C3 – Poser et effectuer une addition : 64,5% de réussite Bons résultats Erreur sur la partie décimale : oubli de la virgule

C3 – Poser et effectuer une addition bbbbbb Erreurs de disposition / d’alignement :

C3 – Poser et effectuer une addition Les nombres sont transformés :

C3 – Poser et effectuer une soustraction : 74% de réussite placer la virgule Notion d’écart constant :

C3 – Poser et effectuer une multiplication : 81% de réussite avec le même résultat

14 X 30 nombre d’étapes pb de numération C3 – Poser et effectuer une multiplication (Nombre décimal X entier à 1 chiffre) : 51% de réussite 14 X 30 nombre d’étapes place/rôle de la virgule pb de numération

C4 : quotient entier (79% de réussite ) quotient avec 1 partie décimale (43%)

Nombre de chiffres au quotient partie décimale

C6 : 71% trouvent la bonne opération mais seulement 25% le résultat

La théorie des concepts Les problèmes qui peuvent être résolus à l’aide du concept Sans oublier les liens avec les autres opérations (x et :) Les propriétés utilisables Les résultats, algorithmes, procédures qui sont à mémoriser, automatiser ou qui pourront être élaborés Les éléments langagiers qui permettent d’évoquer le concept (langage verbal et symbolique) 25

Le concept de multiplication Les problèmes : 2 types de multiplication :  la multiplication combinaison (Cf. tableau à 2 entrées, produit de mesure)  la multiplication transformation : prendre plusieurs fois une grandeur (additions réitérées) Le langage : « scolaire » : fois, multiplié par, multiplicateur, multiplicande, produit, multiple « en situation » : Faire des paquets de, des piles de, des rangées de, des colonnes de, des groupes de… prendre autant de fois reporter… fois Le langage symbolique : à l’école seulement a x b = c ou x c a b au collège : a.b = c ou ab=c Le concept de multiplication 26

Le concept de multiplication Procédures et résultats : procédure de calcul mental : Commuter Décomposer / associer / distribuer Compenser algorithme écrit : décomposer : les tableaux la technique française décortiquer d’autres techniques les tables : construire articuler mémoriser restituer « automatiquement » utiliser « à l’envers » Les propriétés : la commutativité l’associativité l’élément neutre : 1 l’élément absorbant : 0 chaque nombre différent de 0 a un symétrique (appelé inverse) : a x 1/a = élément neutre la distributivité

La multiplication : par où commencer ? L’addition réitérée ou Les quadrillages ??? 28

Historiquement… Les Grecs mettaient toujours en relation le numérique et le géométrique : Un nombre  représenté par une longueur 5 cm X X Un produit de 2 nombres  représenté par l’aire d’une surface 29

Les limites de l’addition réitérée 8 multiplié par 5 8 x 5 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 (5 fois 8) 8 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 Mais 8,2 x 1,7 = ??? 30

Alors que … 5,4 x 6,3 Et même… 6,3 cm 5,4 cm ? 31

Les propriétés à acquérir La commutativité : 3 x 25 = 25 x 3 Absolument nécessaire pour la multiplication posée:  2 x 327 se pose en fait en 327 x 2 Pas évident si l’on reste sur le sens « additions réitérées » 3 barres de 6 carreaux ou 6 barres de 3 carreaux 5 paquets de 6 mais 6 paquets de 5 ??? 32

Les propriétés à acquérir La distributivité (à droite et à gauche) 3 x 15 = (3 x 10) + (3 x 5) et 15 x 3 = (10 x 3) + (5 x 3) Indispensable pour introduire la technique opératoire.  Avec l’addition réitérée : 5 paquets de 6 billes, c’est 2 paquets de 6 billes plus 3 paquets de 6 billes. Avec le produit de mesures : 6 rangées de 3 carreaux c’est 2 rangées de 3 carreaux plus 4 rangées de 3 carreaux. 33

Activités préparatoires à mener au CP, au CE1 : rappels EN VRAC OU ORGANISES ? 34

RÉALISONS DES COUPLES ET DÉNOMBRONS-LES ! 2 RÉALISONS DES COUPLES ET DÉNOMBRONS-LES ! 3 6 35

Retrouvons le bon rectangle 36

La table de multiplication À construire et à analyser avec les élèves 37

Les tables de multiplication Leur donner du sens, une nécessité ! Essayez de mémoriser cela en 30 secondes Jean Simon travaille rue Albert Guillaume Jean Paul travaille rue Guillaume Albert Paul Roger travaille rue Jean Roger 38

Les tables de multiplication Leur donner du sens, une nécessité ! Jean Simon travaille rue Albert Guillaume Jean Paul travaille rue Guillaume Albert Paul Roger travaille rue Jean Roger 1  Albert 2  Guillaume 3  Jean 4  Simon 5  Roger 7  Paul 3 X 4= 12, 3 X 7= 21 7 X 5= 35 39

Les tables de multiplication 40

Les tables de multiplication Une progression basée sur la réflexion : Après la table de 2, les tables de 4 et de 8 peuvent être reconstruites. Même remarque après la table de 3 pour 6 et 9. La seule n'ayant aucun lien avec les autres, donc a priori la plus difficile à mémoriser, c'est la table de 7. Mais, en réalité, il ne reste alors que 7 x 7 à apprendre. Tous les autres peuvent être retrouvés par commutativité (Exemple : 7 x 8 et 8 x 7 ….) 41

Les tables de multiplication Des activités : d u Les cowboys A vous de jouer !!!! Les chaises mu…ltiplicatives Pour les élèves en difficultés  travailler les résultats qui ne sont pas connus ! A vous de jouer 42

Les tables de multiplication : avec des jeux Des jeux à fabriquer : en fabriquant 1 jeu de chaque, toute la classe peut jouer en même temps ! * le jeu des mariages * le jeu de mémory * le jeu de la table * le jeu de Pythagore * les 50 cases * le jeu des multiples

Les mariages 44

Jeu de mémory Jeu de rapidité Activité : jeu de mémory. Support : cartes de table et cartes résultats. Consignes – Description : les 20 cartes sont retournées, le but étant de rapprocher les tables et les résultats. Variables didactiques : on peut mélanger les tables x2 et x5 en utilisant deux jeux Jeu de rapidité 45

Jeu de Pythagore 47

A vous de poser : 34 X 23

La technique opératoire Un préalable  la décomposition des nombres car … 51

La technique opératoire 52

34 × 23 c’est le nombre de carreaux de ce quadrillage : 23 Multiplication d’un nombre à deux chiffres par un nombre à deux chiffres : Combien vaut 34 × 23 ? 34 × 23 c’est le nombre de carreaux de ce quadrillage : 23 Pour trouver le nombre de carreaux du quadrillage, on décompose 34 : 4 4 × 23 34 = 30 + 4 On aura donc deux calculs à faire : 34 30 × 23 4 × 23 30 30 × 23 Et pour trouver combien vaut 34 × 23 on ajoutera les deux résultats trouvés. 53

23 4 × 23 4 × 23 = 92 3 × 23 = 69 donc 30 × 23 = 690 34 30 × 23 54

Disposition habituelle des calculs : 23 2 3 × 3 4 4 4 × 23 9 2 6 9 0 7 8 2 30 × 23 34 30 55

Multiplication posée que nous avons retenue 34 X 23 ou

Et les décimaux ...

La division 68

Les problèmes : Le langage : de type groupement (quotition) de type partage (partition) de type « fois moins » Proportionnalité Le langage : « scolaire » : diviser/division quotient, reste, dividende, diviseur « en situation » : partager, part faire des paquets de, rassembler par … combien de fois Le langage symbolique : : , /, « potence », barre de fraction Le concept de division 69

Le concept de division Les propriétés : elle n’est pas commutative elle n’est pas associative l’élément neutre : 1 tout nombre différent de 0 est son propre symétrique (a : a = 1) le quotient d’une somme est égal à la somme des quotients (18 + 6) : 3 = (18 : 3) + (6 : 3) 24 : 3 = 8 6 + 2 = 8 diviser par un produit équivaut à diviser par chacun des termes du produit 24 : (2X4) = (24:2 ) : 4 24 : 8 = 12 : 4 =3 Procédures et résultats : procédure de calcul mental : moitié, quart  : 10, : 100 utiliser les propriétés algorithme écrit : rechercher le nombre de chiffres du quotient écrire la table du diviseur écrire les soustractions intermédiaires les tables : connaître les tables à l’envers

La division : les particularités Le symbole « : » ne sert que dans des cas particuliers Exemple : 45 : 5 = 9 N’est valable que comme réciproque de la multiplication Mais 47 : 5= ? 47: 5 = 9 reste 2 est incorrect Donc 47= (9 x 5) + 2 71

Les 2 sens de la division 72

… et un 3ème ! Dans le catalogue « Vert gazon », on peut acheter 2 chaises de jardin pour 76 €. Quel est le prix d’une chaise ? J’apprends les maths Ni partition, ni quotition … mais Proportionnalité (notion de « fois moins ») « Si 2 chaises coûtent 76€, une chaise coûtera donc 2 fois moins cher » 73

Quelle progression ? En fonction du type de problème  Des procédures différentes Groupement Partage (Quotition) (Partition) 74

Quelle progression ? 75

Quelle progression ? Partage 76

Quelle progression ? 1 – On commence par des situations de quotition 77

Quelle progression ? 11 78

Quelle progression ? 2 – On continue par des situations de partition 79

A vous de poser : 3750 : 24

Division : la technique Seulement au CE2 ! Programmes 2008 : CE1 : il n’est jamais fait mention de la technique opératoire de la division « diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier) » « approcher la division à partir d’un problème de partage ou de groupements » 81

Division : la technique Au CE2 On utilise dès le début des situations avec reste : pour éviter d’installer une mauvaise représentation de la division ! 82

La division : les particularités Le résultat de la division est composé de deux nombres : le quotient et le reste 47 divisé par 5 a pour quotient 9 et pour reste 2 47 = (9 x 5) + 2  alors que le résultat de toute autre opération est composé d’un seul nombre 83

soustraction et de la multiplication et les tables de multiplication Savoirs et savoir-faire utiles : Savoir faire la différence entre partages équitables et partages non équitables Connaître les techniques de l’addition, de la soustraction et de la multiplication et les tables de multiplication Savoir ce qu’est un multiple et savoir écrire la table des multiples d’un nombre donné (exemple : table des multiples de 16) 84 84

Problèmes précédant le travail sur la technique posée traditionnelle (1 séance) On peut commencer par une situation de groupement (« Combien de paquets ? ») avec un quotient à un chiffre qui permettra de faire un travail sur les multiples sans aborder encore la technique posée traditionnelle. Exemple : 171 bonbons - des paquets de 25 bonbons - combien de paquets ? 171 = (6 X 25) + 21

- On peut continuer par une situation de partage (« Combien dans chaque paquet ? ») avec un quotient à un chiffre qui permettra, elle aussi, de faire un travail sur les multiples toujours sans aborder la technique traditionnelle. Exemple : 213 bonbons - 25 enfants – combien de bonbons chacun ? 213 = (8 X 25) + 13

On peut écrire à la fin : 3530 = (235 × 15) + 5 Problème que les élèves sont amenés à résoudre en utilisant des procédures personnelles Exemple : un géant qui fait des pas de 15 km part de son premier château pour aller vers son deuxième château distant de 3530 km. Combien de pas le géant doit-il effectuer pour atteindre ce deuxième château? La mise en commun permet de faire apparaître les différentes procédures utilisées par les élèves On peut garder sous la forme d’affiches des traces des procédures utilisées de façon à pouvoir s’y référer lors des séances suivantes. On peut écrire à la fin : 3530 = (235 × 15) + 5 Rappel : Il semble préférable, au niveau mathématique d'avoir dès le départ une division avec reste pour ne pas donner une fausse image de la notion de division … 87 87

Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle (2 ème séance) Remarque : on peut d’abord faire construire la table des multiples de 15 et demander d’utiliser cette table pour effectuer des calculs du type 5 × 15, 50 ×15, 500 ×15, 5000 ×15, … Elaborer progressivement la technique posée traditionnelle c’est s’intéresser parmi les différentes procédures utilisées pour résoudre le problème du géant, à la procédure soustractive qu’on va améliorer pour le rendre de plus en plus efficace.

arriver à une présentation de ce type : 3 5 3 0 1 5 - 1 5 0 0 1 0 0 2 0 3 0 5 3 0 1 5 0 1 0 3 8 0 2 3 0 1 5 0 1 0 8 0 7 5 5 5 On pourra, par exemple, arriver à une présentation de ce type : Le géant fait 235 pas Il lui reste encore 5 km à parcourir 89 89

Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle …suite (3ème et 4ème séances mais qui ne suivent pas nécessairement immédiatement la deuxième séance) Nouveau problème (problème avec une division-partition alors que le problème du géant était un problème de division-quotition) 24 flibustiers veulent se partager équitablement 3750 pièces d’or. Combien auront-ils chacun ? [Là encore, il y a un reste … (à ajouter à la part du capitaine, à enterrer en prévision de jours plus difficiles, … ? :-) ] 90 90

On pourra reprendre une présentation des calculs analogues à celle vue au paragraphe précédent puis l’améliorer pour arriver à : 1 × 24 = 24 2 × 24 = 48 3 × 24 = 72 4 × 24 = 96 5 × 24 = 120 6 × 24 = 144 7 × 24 = 168 8 × 24 = 192 9 × 24 = 216 3 7 5 0 2 4 - 2 4 0 0 1 0 0 1 3 5 0 1 2 0 0 5 0 1 5 0 1 4 4 6 6 On utilise la table des multiples de 24 pour donner le maximum de paquets de 100 pièces, puis le maximum de paquets de 10 pièces puis le maximum de pièces. On peut écrire : 3750 = (156 × 24) + 6 91 91

Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle suite … (5ème séance mais qui ne suit pas nécessairement immédiatement les précédentes et qui peut ne concerner que le CM2) - Travail sur le nombre de chiffres du quotient : 1 4 8 0 1 7 8 2 5 1 5 5 3 9 _ _ _ _ _ _ Sans effectuer les divisions, trouver le nombre de chiffres du quotient (indiquer le nombre de chiffres du quotient en mettant – ou – – ou – – – à la place du quotient) et expliquer comment vous faites pour le trouver. 92 92

15 x 1 < 825 < 15 x 10 15 x 10 < 825 < 15 x 100 2 chiffres au quotient

- Technique posée traditionnelle : 3 7 5 0 2 4 - 2 4 0 0 1 3 5 0 1 2 0 0 1 5 0 1 4 4 6 1 5 6

Et les décimaux...

Additions et soustractions 102

transformation d’un état comparaison de 2 états Les problèmes : composition de 2 états transformation d’un état comparaison de 2 états composition de transformations Le langage : « scolaire » : ajouter, additionner plus somme, addition, total « en situation » : mettre ensemble réunir avancer en tout gagner / perdre Le langage symbolique : a + b = c Le concept d’addition 103

Le concept d’addition Procédures et résultats : procédure de calcul mental : commuter décomposer/associer/distribuer compenser algorithme écrit : groupement par 10, échange l’algorithme français décortiquer un autre algorithme les tables : construire articuler mémoriser restituer « automatiquement » utiliser « à l’envers » Les propriétés : la commutativité l’associativité l’élément neutre : 0 existence d’un symétrique : a + (-a) = 0 (non étudié à l’école)

transformation d’un état comparaison de 2 états Les problèmes : composition de 2 états transformation d’un état comparaison de 2 états composition de transformations Le langage : « scolaire » : ôter soustraire différence écart moins « en situation » : retirer, enlever reculer gagner, perdre le complément, ce qui manque ce qui reste Le langage symbolique : a - b = c Le concept de soustraction 105

Le concept de soustraction Procédures et résultats : procédure de calcul mental : impossibilité de commuter ! décomposer/associer/distribuer compenser algorithme écrit : connaissance d’un des trois algorithmes : sans retenue (on casse les classes) avec retenues en bas avec retenues en bas et en haut comparaison des algorithmes les tables : passer de la formulation : « 5 pour aller à 7  2 » à « 7 – 5 = 2 » Les propriétés : elle n’est pas associative elle n’est pas commutative élément neutre : 0 propriété de l’ajout simultané : a-b = (a+c) – (b+c) soustraction d’une somme (cf. calcul réfléchi) : a-(b+c)= a-b-c soustraction d’une différence (cf. calcul réfléchi) a-(b-c)= a-b+c

La mémorisation des répertoires additifs et soustractifs 107

La mémorisation des répertoires additifs et soustractifs Pour faciliter la visualisation des acquis 108

La technique opératoire de l’addition  Étroitement liée à la numération et aux échanges mais également à la connaissance du répertoire additif.  Importance de faire des jeux (le banquier, les enveloppes, les bûchettes...) …. Film sur les bûchettes … … 109

Et les décimaux...

La technique soustraction Plutôt les techniques ! A vous de poser : 4325 - 594 120

La technique soustraction La technique par « cassage des classes » 3 1 2 1 Elle repose sur la décomposition des nombres : 32 = 20 + 12 124

La technique soustraction Limites de cette dernière : Quand il y a des zéros … Elle n’est pas la méthode « traditionnelle » ( à la maison, on essaiera de leur apprendre l’autre!) Elle complique la tâche dans les divisions Si elle est utilisée en CE1, il faut programmer sur l’école le passage à la méthode traditionnelle (en France !) 125

La technique soustraction La technique « traditionnelle » Elle repose sur la notion d’écart constant. 129

Avec les décimaux … A

En conclusion