Programme de première Probabilités conditionnelles Indépendance ST2S 2007 Programme de première Probabilités conditionnelles Indépendance

Extraits du programme de première STG 2007 page 4: …..L’objectif est d’entraîner les élèves à décrire quelques expériences aléatoires simples et à calculer des probabilités. Il s’agit d’éviter tout développement théorique et d’introduire la notion de probabilité en s’appuyant sur la notion de fluctuation d’échantillonnage mise en évidence par simulation. On soulignera les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence d’un événement donné lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois. L’usage de la calculatrice ou du tableur permet d’enrichir le champ des expériences aléatoires simples. L’utilisation de sur des exemples simples de fonctions logiques (SI … ALORS… SINON) est recommandée en vue de la préparation de certains concours. (page 3)

Un exemple

Corrigé succinct dans le même ouvrage:

Corrigé proposé: faire un dessin de l’urne Réponse a) Soit A : « tirer deux nombres consécutifs » A = {{1;2}, {2;3}, {3;4}, {4;5}, {5;6} } Comme il y a équiprobabilité des événements élémentaires, p(A) = corrigé du même type pour l’événement B.

Hasard et modélisation Le problème des bancs. Un jardin public comporte 3 bancs à deux places chacun . Deux personnes arrivent et s’assoient au hasard. Quelle est la probabilité qu’elles soient assises sur le même banc? 3 4 5 2 6 1

Autre univers, autre modélisation Chaque personne tire au hasard le banc sur lequel elle s’assoit: en notant B1, B2 et B3 les bancs: exemple de résultat: (B1,B3),

Dans cette représentation, l’expérience est modélisée par deux tirages successifs avec remise dans une urne: B1 B3 B2

l’univers comporte 9 événements élémentaires équiprobables: Choix de la 1ère personne Choix de la deuxième chc

Programme de terminale

Donc…

Un exemple d’introduction des probabilités conditionnelles 1200 4000 2800 200 800 1000 2000 3000

On choisit une personne au hasard dans cette population, avec l’hypothèse d’équiprobabilité: événement A:  le client a acheté  événement B:  le client a bénéficié d’un conseil  1200 4000 2800 200 800 1000 3000 2000

Sachant que la personne interrogée a bénéficié d’un conseil, quelle est la probabilité qu’elle achète un article?

Avec un arbre: A B A

Avec des diagrammes

C: le client a moins de 25 ans 0,6 C A 0,4 B C 0,5 0,5 C 0, 3 A 0,7 C 0,4 0,6

La même avec trois événements A,B,C

Règles : A chaque niveau, les événements forment une partition de l’univers. les probabilités sur les branches secondaires sont toujours des probabilités conditionnelles la probabilité d’un chemin (ou trajet) est le produit des probabilités marquées sur ses branches ; la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins y conduisant. Remarques : La somme des probabilités des branches primaires est égale à 1. La somme des probabilités des branches secondaires issues d’un même nœud est égale à 1.

Exemple: le paradoxe des événements rares On étudie un test de détection d’une maladie sur une population qui comporte une proportion p=0,1 de personnes malades. Si la personne est malade, la probabilité que le test soit positif est 0,99. Si la personne n’est pas malade, le test est négatif avec une probabilité de 0,99. 1- Traduire le nombre 0,99 à l’aide de probabilités conditionnelles 2- On fait subir le test à une personne prise au hasard, quelle est la probabilité à 0,01 près qu’il soit positif? 3- Sachant qu’une personne de cette population a un test positif, quelle est la probabilité qu’elle soit malade?

T M 0,99 p T M 1-p 0,01 2) Soit p(T) = 0,108 3)

Le paradoxe Ici Avec p=0,001 sachant que la personne a un test positif, la probabilité qu’elle soit malade est d’environ 0,09, malgré la fiabilité des tests.

Indépendance: 0,48 0,8 0,6

Définition: deux événements A et B sont indépendants lorsque: Si p(B) est non nul, cela revient à :

Indépendance dans le cas d’équiprobabilité Si B est non vide, A et B sont indépendants si et seulement si la proportion de dans B est égale à la proportion de A dans

Deux utilisations de l’indépendance Vérifier l’indépendance de deux événements (exemple des naissances filles garçons) 2. D’après les conditions de l’expérience, on sait que deux événements A et B sont indépendants, on en déduit la probabilité de

Quelques exemples d’utilisation d’un tableur Fréquences conjointes et indépendance

2. Simulation de tirages successifs sans remise: trois tirages, 100 simulations de trois tirages

3. Le problème des anniversaires Quelle est la probabilité que, dans un groupe de n personnes, il y en ait au moins deux qui fêtent leur anniversaire le même jour? Simulations

Fin