Des progressions pour l’enseignement de l’algèbre Brigitte Grugeon IUFM d’Amiens et DIDIREM Élisabeth Delozanne IUFM de Créteil et LIUM

Plan Comment analyser les progressions des manuels ? Place de l’algèbre Prise en compte des ruptures mises en évidence (entre arithmétique et algèbre, ..) Choix de critères Des éléments à prendre en compte pour accompagner les ruptures à chaque niveau d’enseignement entre deux niveaux d’enseignement Des pistes pour des progressions

Plan (suite) Comment analyser les progressions des manuels ? Des éléments à prendre en compte pour accompagner les ruptures Des pistes pour des progressions Choix de problèmes pour introduire la résolution formelle d’équations Choix de problèmes pour des séances de remédiation Synthèse

Place de l’algèbre Retour sur les programmes L ’organisation des manuels La place de l’algèbre en liaison avec l’entrée dans le raisonnement mathématique

Programmes de 6°,5°, 4, 3°, 2nde Objectif principal des « travaux numériques » : Résolution de problèmes issus de domaines variés (géométrie, gestion de données, autres disciplines, vie courante) En 6° Intérêt propre Continuité avec l’école élémentaire Associer à une situation concrète une activité numérique Saisir le sens des opérations et équations aux programme

Programmes de 6°,5°, 4, 3°, 2nde En 5° Problèmes associant situations et activités numériques Renforcent le sens des opérations numériques et littérales L’initiation aux écritures littérales se poursuit mais le calcul littéral n’est pas au programme En 4° La résolution de problèmes nourrit les activités numériques et littérales Ne pas privilégier les exercices de technique pure Calcul littéral introduit avec prudence Veiller à ce que les élèves puissent donner du sens (ex. utilisation de formules de science et techno)

buts recherchés par le programme Développer progressivement la pensée symbolique Comment ? Amener les élèves à recourir au calcul algébrique Accompagner  le passage du langage naturel augmenté du calcul sur des nombres à la représentation formelle et au calcul sur des expressions littérales pour résoudre des problèmes Rendre fonctionnelles les écritures littérales pour les élèves afin qu’ils les mobilisent pour résoudre des problèmes où le recours à l’outil algébrique est nécessaire. hypothèse ces ruptures dont la prise en compte est peu marquée sur le plan institutionnel et dans la classe peuvent être la source d’importantes difficultés chez les élèves.

Par niveau

Prise en compte des ruptures dans l’enseignement de l’algèbre Des critères retenus : la prise en compte du rôle de l’algèbre comme outil de résolution (production d’expressions, généralisation, preuve, modélisation) en liaison avec le statut des lettres et les types de problèmes du statut du signe d’égalité des différents aspects de la manipulation formelle (syntaxique, sémantique, technique) de la nécessaire articulation entre l’écriture algébrique et d’autres modes de représentation

Outils de travail Pour réaliser diagnostic puis « remédiation », à chaque exercice on associe : une liste d’objectifs et une grille descriptive caractérisant le type de solution attendu, une grille d’analyse permettant de décrire les productions des élèves relatives à chaque exercice compte tenu du type de solution attendu, des démarches et des modalités incorrectes de fonctionnement envisageables. La grille descriptive précise les compétences algébriques mises en jeu par l’exercice : l’activité algébrique à réaliser, les lettres et objets à mettre en jeu pour la résolution (ici, formules ou expressions algébriques ou équations ou fonctions et le statut des lettres associé) ainsi que les transformations à réaliser, et de plus le ou les registres de représentation à gérer, le niveau de rationalité algébrique attendu.

Des pistes pour des progressions En cinquième, des étapes pour une entrée dans l’algèbre En quatrième, des étapes pour faire du calcul littéral Des pistes pour gérer la transition entre la troisième et la seconde

En 5ième : des étapes pour une entrée dans l’algèbre Travailler la pratique de l’écriture et du calcul des expressions numériques en liaison avec d’autres registres Faire résoudre des problèmes aux élèves pour leur faire produire des formules qui expriment de façon générale un calcul ou une propriété Permettre ainsi aux élèves de découvrir de nouveaux statuts des lettres et de donner du sens aux expressions littérales, Permettre aux élèves de faire émerger la non-unicité des lettres, la non-unicité des écritures, Permettre aux élèves d’utiliser les règles d’écriture mathématique (parenthésage, priorité des opérations, ...) et de mettre en évidence les implicites liées aux écritures (syntaxique) Renforcer l’idée que le symbole « =«  n ’est pas seulement un signe d’annonce de résultat Amener les élèves à concevoir qu’on peut réécrire des expressions littérales : selon le choix des écritures (sémantique), la résolution d ’un problème peut en être facilitée Aborder la résolution des équations à partir de la résolution de problèmes

Exemples de situations Situations de modélisation conduisant à des formules mathématiques, à des écritures mathématiques généralisant une relation donnée, à des écritures génériques où les lettres apparaissent comme des variables (situation des carreaux, situation de message , … Situation de preuve dans le cadre algbrique : une assertion mathématique “n² = 2n” est-elle vraie ? Situations de modélisation, de message qui permettent de mettre en évidence des règles de formation des expressions algébriques, la non unicité du choix des lettres, de débattre de l’équivalence ou non des formules syntaxiquement proches, … (famille de figures (INRP), périmètre d’un polygone (Dupérret), …)

Situation des carreaux But : Amener les élèves à établir une formule permettant le calcul du nombre de carreaux hachurés d’une figure construite sur le modèle ci-contre, quel que soit le nombre de carreaux sur le côté du carré. Objectif : Passage d’une formulation écrite à une formule mathématique Enjeu : Activité algébrique attendue : utilisation de l’algèbre pour produire une formule, pour généraliser Statut des objets en jeu : nombres généralisés Articulation entre les registres de représentation : des dessins, des écritures numériques, du langage naturel, des écritures littérales Travail dans le registre des écritures algébriques sur la non unicité des lettres, des écritures, sur les règles d’écriture Organisation : Différentes phases du scénario envisagées Modalités de travail prévues Gestion de la classe envisagée pour faire vivre cette situation

Stratégies d'introduction de l'algèbre (A partir des travaux anglo-saxons (Bernarz, Kieran, Lee, 1996) et français) Quatre perspectives d’introduction de l’algèbre Approche par la généralisation / justification Approche par la résolution de problèmes /mise en équation Approche par la modélisation Approche fonctionnelle et technologique Nécessaire complémentarité des approches pour développer une nécessaire flexibilité et adaptabilité dans l’interprétation des lettres et des expressions dans différents modes de représentations pour en faire des usages variés

Approche par la généralisation / justification Objectifs : Engager les élèves dans la construction de la rationalité algébrique Faire émerger les nombres généralisés comme préconcepts des variables Engager les élèves dans l’utilisation du symbolisme pour mémoriser propriétés Difficultés : Accès à l’utilisation des nombres généralisés, à la production de formules Gestion de nécessaires phases de formulation

Approche par la résolution de problèmes (culturelle) Objectifs : Engager les élèves dans la mise en équation et la résolution des équations Faire émerger le concept d’inconnue et de raisonnement algébrique Difficultés : Nécessaire choix des problèmes en rupture avec l’arithmétique Accès au raisonnement algébrique

Approche par la modélisation Objectifs : Faire émerger le concept de grandeur, variable Engager dans la production de formules avec du sens Difficultés : Choix des situations réelles adaptées Accès à l’utilisation des variables, à la production de formules Gestion de nécessaires phases de formulation

Approche fonctionnelle et technologique Objectifs : Faire émerger le concept de variable, négocier la rupture avec l’arithmétique Engager les élèves dans la flexibilité entre différents modes de représentation : tableau de nombres, représentation graphique, symbolisme algébrique (dans un environnement informatique) variable inconnue Difficultés : Accès à la flexibilité entre modes de représentation, mais semble faciliter l’accès au raisonnement algébrique pour la résolution d’équations

En 4ième : des étapes pour faire du calcul littéral Mettre en place des problèmes motivant la transformation d’écritures littérales (situations permettant de travailler les règles de formation, de transformation des écritures) Mettre en place des situations pour faire évoluer le statut de la lettre dans une expression littérale et les jeux d’interprétation dans la transformation d’écritures (classement d’égalités, situation de modélisation, de généralisation) Mettre en place des situations où l’algèbre apparaît comme un outil de preuve dans le cadre numérique (propriétés des entiers) dans le cadre géométrique Amener les élèves à concevoir qu’on peut réécrire des expressions littérales : selon le choix des écritures, le changement de registre, la résolution d’un problème peut en être facilitée Négocier le passage d’une démarche arithmétique vers une démarche algébrique pour résoudre une équation Complémentarité des approches (INRP, Duperret) et choix des situations Distinction des moments : mise en équation puis résolution (INRP)

Négocier le passage d’une démarche arithmétique vers une démarche algébrique pour résoudre une équation Insister sur la phase de mise en équation, voire la séparer de la résolution. Utiliser des problèmes se ramenant à une équation du type ax +b = cx +d Au début, proposer un énoncé conduisant à des relations fonctionnelles : parmi toutes les valeurs possibles, chercher celle pour laquelle deux expressions sont égales. Proposer une grande variété de problèmes nécessitant l’outil algébrique en dehors d’un aspect algorithmique : reformulation de l’énoncé, transformation de formules, relations mettant en jeu plusieurs variables. Mettre en scène les problèmes et permettre des essais et un débat sur les procédures utilisées. Jouer sur des variables didactiques (le domaine numérique) pour faire évoluer les procédures.

Introduction à la résolution algébrique des équations Exercice 1 Deux élèves, Alice et Bertrand, ont chacun une calculatrice. Ils affichent le même nombre sur leur calculatrice. Alice multiplie le nombre affiché par 3, puis ajoute 4 au résultat obtenu. Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 2, puis ajoute 7 au résultat obtenu. Quand ils ont terminé, ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le même résultat. Quel nombre ont-ils affiché au départ ? Objectifs : Faire vivre les limites des démarches arithmétiques Mettre en évidence les règles d’écriture des équations Ce qui est en jeu :

Résolution algébrique d’équation (suite) Ce qui est en jeu Activité algébrique : Production d’une équation Gestion des écritures algébriques : Règles d’écriture des équations Statut des objets : Double statut du signe d’égalité Double statut des lettres utilisés pour désigner les nombres : variable et inconnue Double interprétation des objets : d’ordre procédural ou structurel

Résolution algébrique d’équation (suite) Analyse a priori : solutions envisageables : Les stratégies possibles Par essais-erreurs dans le numérique : Par une mise en équation (après changement de valeur des coefficients) : plusieurs selon le nombre de lettres, le nombre d’équations et le type d’écriture utilisé 1er cas : deux équations Correct Incorrect Incorrect x x 3 + 4 = y x x 3 = y + 4 = z x x 3 + 4 = y x x 2 + 7 = y x x 2 = y + 7 = z x x 2 + 7 = z 2ème cas : une suite d’égalités Correct x x 3 + 4 = x x 2 + 7 = y 3ème cas : une seule équation Correct Incorrect Incorrect x x 3 + 4 = x x 2 + 7 ou x x 7 + 9 = y soit x x 3 + 4 = y... x 3 + 4 = ... x 2 + 7 x x 5 + 11 = y soit x x 2 + 7 = z

Introduction à la résolution algébrique des équations (suite) Exercice 2 Les deux carrés (1) et (2) ont le même périmètre. Quelle est la longueur du côté du carré (1). Ce qui est en jeu Activité algébrique : Production d’une équation Gestion des écritures algébriques : Règles d’écriture des équations Statut des objets : Double statut du signe d’égalité Double statut des lettres utilisés pour désigner les nombres : variable et inconnue Double interprétation des objets : d’ordre procédural ou structurel Articulation entre registres : registre des dessins et celui des écritures algébriques Analyse a priori

Analyse a priori : Les stratégies possibles Exercice 2 (suite) Analyse a priori : Les stratégies possibles Par essais-erreurs dans le numérique : Par une mise en équation : plusieurs selon le nombre de lettres, le nombre d’équations et le type d’écriture utilisé 1er cas : des équations Correct Incomplet 4 L1 = P1 L1 + L2 = 10 4 L2 = P2 P1= P2 L1 + L2 = 10 ou ... 2ème cas : une suite d’égalités Correct 4 L1=P1= 4x(10 -L1 )= P2 3ème cas : une seule équation Correct Incorrect 4 L1 = 4 x (10 -L2 ) ou 4 L1 = 4 x 10 -L2 ou 4 ... = 4 x (10 - ...) ou 4 L2 = 4 x 10 -L1 4 L2 = 4 x (10 -L1 )

Introduction à la résolution algébrique des équations (suite) Exercice 3 Un homme a 23 ans de plus que son fils, 31 ans de moins que son père. La somme des âges des trois personnes est 119 ans. Calculez les âges. Ce qui est en jeu Actvité algébrique : Production d’une équation Gestion des écritures algébriques : Règles d’écriture des équations Statut des objets : Double statut du signe d’égalité Double statut des lettres utilisés pour désigner les nombres : variable et inconnue Double interprétation des objets : d’ordre procédural ou structurel Articulation entre registres : registre du langage naturel et celui des écritures algébriques (les représentations ne sont pas congruentes) Analyse a priori

Analyse a priori : Les stratégies possibles Exercice 3 (suite) Analyse a priori : Les stratégies possibles Par essais-erreurs dans le numérique : Par une mise en équation : plusieurs selon le nombre de lettres, le nombre d’équations et le type d’écriture utilisé x1 âge du fils, x2 âge de l’homme, x3 âge du père 1er cas : des équations Correct Incomplet x1 = x2 - 23 x1 + x2 + x3 = 119 x3 = x2 + 31 ou .. x1 + x2 + x3 = 119 2ème cas : une seule équation Correct Incorrect (x2 -23) +x2 + (x2 + 31) = 119 Travail sur des reformulations internes au registre du langage naturel Travail sur des représentations schématiques pour permettre l’articulation entre les registres.

Articulation troisième / seconde Les ruptures repérées Manipulation formelle enfermée dans des exercices non finalisés Emploi de l’outil algébrique associé le plus souvent à des situations familières guidant la résolution Grande place laissée à une interprétation des expressions en termes de processus de calcul Grande place laissée au statut d’inconnue, à la mise en équation de problèmes familiers et à la résolution d’équation Manipulation formelle engagée dans de nouveaux emplois Emploi de l ’algèbre lié à des situations plus diversifiées et plus ouvertes Plus grande place laissée à l’interprétation des expressions (sens) en liaison avec la finalité des exercices Plus grande place laissée à la production d’expressions et au travail dans le cadre fonctionnel

Des pistes pour la négociation Exploiter des profils d’élèves A un niveau local Par rapport à des modalités de fonctionnement Conception d’exercices adaptés selon le moment de l’apprentissage : Introduction ou Remédiation Objectifs d’apprentissage à préciser en liaison avec les programmes et les ruptures repérées Gestion pédagogique à définir A un niveau global Par rapport aux élèves d’une classe Gestion de l’hétérogénéité d’une classe Par rapport aux principales ruptures repérées dans l’apprentissage de l’algèbre