Aude Royon-Lebeaud Thèse financée par le CNES et le CNRS Ballottement des liquides dans les réservoirs cylindriques soumis à une oscillation harmonique Aude Royon-Lebeaud Thèse financée par le CNES et le CNRS Thèse encadrée par E. Hopfinger et A. Cartellier 15 mars 2005

Sommaire Introduction à la problématique Ballottement hors résonance Mode tournant Brisure à résonance Conclusions et Perspectives

A.1 Motivations et position du problème A l’origine des sollicitations externes (vent, changement de trajectoire…) peuvent engendrer : de forts mouvements du liquide et donc des efforts conséquents sur les structures des phénomènes de brisure, donc une augmentation de la surface d’échange et des variations de pression significatives Ceci a une forte incidence sur le pilotage Initiation du projet franco-allemand COMPERE (2000) A. Introduction à la problématique

Données du problème réel - Phase propulsée Hypothèse adiabatique Gaz H ~4 m Coupole az≈1-4g Ergols 0.1 10-6<< 10-6 m2/s 10-5 </<3.5 10-5 m3/s2 h Anneau anti-ballottant A. Introduction à la problématique ax R~1 m Sollicitations latérales de basse fq f≈0.5-1 Hz de faibles amplitudes avec ax/az≈10-3 Vidange Cuve emboîtée

Excitation sinusoïdale Paramètres du problème az=g Rayon de la cuve R ≈ 10 cm Liquide : eau (essentiellement) Hauteur h > R Tension superficielle / /=72 10-6 m3/s2 Viscosité  =10-6 m2/s Onde Amplitude b Longueur λ A. Introduction à la problématique Excitation sinusoïdale x(t)=Af cos t (ax=Af 2)

Similitude en isotherme hors brisure Nombres adimensionnels Réel Exp. Le Bond Bo=ρgR2/ 106 103 L’Ohnesorge Oh=√(2/R) 5 10-5 3 10-4 Profondeur du liquide h/R 0.2 - 4 >1 La fréq. d’excitation /√(g/R) ou /11 0.7 – 1.7 L’amplitude d’excitation Af/R 10-3 - 10-2 A. Introduction à la problématique Conservation du Froude Fr=V/√(gR)=Af/R 2/(gR) Similitude garantie pour les phénomènes à grandes échelles Etude de l’influence de Af/R et /11 suivant les gammes associées au problème réel

A.3 Modes et pulsations propres Ondes de gravité en eau profonde Relation de dispersion 2=kg (1+k2R2/Bo) tanh(kh)≈kg Modes propres antisymétriques en cuve cylindrique kR = 1.84 , 5.33 pour les deux 1ers modes 11= √(1.84g/R) , 12= √(5.33g/R) A. Introduction à la problématique

A.2 Etat de l’art Abramson et al. (1966) : domaines d’existence des différents régimes A. Introduction à la problématique

Faltinsen et al. (2002) (cuve rectangulaire) et Miles (1984) Non-linéarité négative du mode plan Domaine d’existence et non-linéarité positive du mode tournant Af=constant A. Introduction à la problématique

Objectifs Etablir les amplitudes et le temps d’établissement du mode antisymétrique hors résonance Spécifier le domaine d’existence du mode tournant et déterminer les conditions de transition Caractériser le régime chaotique. Préciser les conditions de brisure. Détailler le scénario qui mène à la création d’interface A. Introduction à la problématique

A.2 Banc expérimental Cuve cylindrique R=15 ou 7.8 cm remplie d’eau à h/R>1 Excitation imposée par un moteur linéaire réglage en amplitude et en fréquence depuis le PC Fréquence ≈ 0 – 3 Hz Amplitude ≈ 0 – 5 mm A. Introduction à la problématique

A.4 Régimes d’ondes A. Introduction à la problématique

Instrumentation Déplacement de la table : sonde optique Elévation de la surface libre : sondes capacitives Déformation de la surface libre : visualisation en lumière blanche θ=0° Sondes capacitives A. Introduction à la problématique θ=90° Caméra Sonde optique x(t)=Af cos t

Courbes de résonance homothétiques avec Af/R A. Introduction à la problématique Af/R=0.7 10-2

Comparaison des domaines d’existence avec les résultats de Faltinsen et al. (2002) Royon et al. Af/R=1.3 10-2 2R Faltinsen et al. Af/L=1.6 10-2 2L A. Introduction à la problématique

Sommaire Introduction à la problématique Ballottement hors résonance Mode tournant Brisure à résonance Conclusions et Perspectives Installation du mode forcé Analogie avec les oscillateurs Régime stationnaire

B. Ballottement hors résonance

B.1 Installation du mode forcé  = 0.86 11  = 1.17 11 B. Ballottement hors résonance Dans ces deux cas: fort battement initial qui disparaît après environ 80 périodes

Composition en fréquence: Mode forcé  = 0.86 11 Mode propre 1 Composition en fréquence: Fréquence d’excitation  Fréquence du mode propre 11 Fréquence du battement -11 Evolution en temps : Décroissance exponentielle du mode propre 1 Maintien du mode forcé B. Ballottement hors résonance

B.2. Analogie avec les oscillateurs Modèle mécanique: oscillateur à 1 ddl amorti de fréquence propre 11 forcé à  Equation du mouvement : Solution : x(t) = a e-κt cos(11t+α)+b cos(t+δ) Amortissement exponentiel du mode propre Maintien en amplitude du mode forcé B. Ballottement hors résonance

B.3. Régime stationnaire pour différentes amplitudes de forçage 0.3 10-2<Af/R<2.7 10-2 B. Ballottement hors résonance

B.3 Régime stationnaire Amplitude stationnaire (analogue aux oscillateurs) Déphasage par rapport à l’excitation  < 11 système en phase  > 11 système hors phase Coefficient empirique valable pour Af>Afc B. Ballottement hors résonance

Mode forcé : Principaux résultats Analogie avec oscillateur linéaire amorti donne les principales propriétés : Superposition initiale mode forcé et mode propre Décroissance exponentielle du mode propre b=b0exp(-γt) Temps d’installation du régime stationnaire Amplitude stationnaire=f(Af,/11) ou B. Ballottement hors résonance

Sommaire Introduction à la problématique Ballottement hors résonance Mode tournant Brisure à résonance Conclusions et Perspectives Description du mode tournant Etude de la transition

D. Mode tournant C. Mode tournant

D.1 Description du mode tournant C. Mode tournant

Mode robuste de très grandes amplitudes Af/R=2.3 10-2 C. Mode tournant Mode robuste de très grandes amplitudes Existence du mode jusqu’à 1.311 Croissance du déphasage avec l’excitation de 0 à /2 (mode tournant s’écroule)

D.2 Etude de la transition Transition du mode 1 vers le mode tournant à fréquence fixée en augmentant l’amplitude d’excitation Amplitude du mode tournant =1.0711 C. Mode tournant Amplitude d’excitation

Croissance exponentielle de l’amplitude du mode tournant à transition Sonde à 90° (amplitude du mode tournant) légère augmentation de Af Amplitude sur les sondes Sonde à 0° (amplitude du mode plan) C. Mode tournant Temps Croissance exponentielle de l’amplitude du mode tournant à transition

Trajectoires de particules (vue de dessous. T exposition = 2π/) Af cos t 5 6 4 1 2 3 2 1 (1-2) Mise en place du mode tournant. (3-5) Croissance de son amplitude (6) Mise en rotation du liquide C. Mode tournant 3 4 5 6

Mode tournant : Principaux résultats Mode tournant existe pour ≈> 11 jusqu’à ≈1.3 11 Stable à de grandes amplitudes Croissance exponentielle du mode Transition sous-critique vers le mode tournant Mise en rotation du liquide par l’onde azimutale E. Conclusions et perspectives

Sommaire Introduction à la problématique Ballottement hors résonance Mode tournant Brisure à résonance et régime chaotique Conclusions et Perspectives Description du régime chaotique Croissance à résonance Scénario de déstabilisation de l’interface

C. Brisure à résonance D. Brisure à résonance et régime chaotique

C.1. Description du régime chaotique D. Brisure à résonance et régime chaotique

Phase 1 : croissance du mode 1 Amplitude à 0° =0.9811 Amplitude à 90° D. Brisure à résonance et régime chaotique Temps Phase 1 : croissance du mode 1 Phase 2 : croissance du mode tournant suivi d’un court mode tournant stable Phase 3 : brisure de l’onde

C.2. Croissance à résonance D. Brisure à résonance et régime chaotique

Amplitude Temps D. Brisure à résonance et régime chaotique Croissance linéaire: Taux de croissance prédit par la théorie des oscillateurs linéaires

Modification du profil de l’onde et déstabilisation pour b>bc=g/2 i.e. a>g D. Brisure à résonance et régime chaotique Profil théorique suivant Penney et Price (1952)

C.3. scénario de déstabilisation de l’interface a et b Déstabilisation de courte longueur d’onde type Rayleigh-Taylor c Superposition d’une instabilité de grande longueur d’onde d-f Croissance de la grande longueur d’onde à l’origine de la création d’interface D. Brisure à résonance et régime chaotique

Caractéristiques expérimentales des ondes ≈1/2 largeur de la cuve ou largeur de la cuve Pulsation identique à celle de l’onde antisymétrique Instabilité transverse observée de type Faraday excitée par l’onde plane antisymétrique à fréquence 211 D. Brisure à résonance et régime chaotique 11 211

Diagramme de stabilité des ondes de Faraday (Benjamin et Ursell 1954) (théorie non-visqueuse) D. Brisure à résonance et régime chaotique 4 2 6 12

Paquets fluide retardés Déformation en chapeau Splashing D. Brisure à résonance et régime chaotique Splashing Entraînement d’air et création de gouttes

Déformation du profil et triplement de périodes Jiang et al Déformation du profil et triplement de périodes Jiang et al. (1998) : oscillation vertical d’un canal 2D (l<<L) Mode A Mode B Mode C t=0, 3T … t=T, 4T … t=2T, 5T … D. Brisure à résonance et régime chaotique

Et en 3D (l=L) η< ηmax η< ηmax ηmax ηmax C η< ηmax ηmax Vue face Vue côté Vue face Vue côté C η< ηmax D. Brisure à résonance et régime chaotique Amplitude ηmax Vue face Vue côté Pseudo-période Temps de création d’interface Temps

Cuve Ronde Paquets fluide retardés Instabilité Faraday D. Brisure à résonance et régime chaotique Entraînement d’air et création de gouttes Splashing

Régime chaotique : Principaux résultats Régime chaotique quasi-périodique de pseudo-période 1/30<chaos< 1/10 croissant avec Af d’amplitude moyenne croissant avec Af La croissance en amplitude à résonance linéaire Déstabilisation du front pour b>bc=g/2 (Af>Afc) Déstabilisation du front par instabilité de type Faraday Entraînement d’air et création de gouttes par splashing et déferlement de l’onde D. Brisure à résonance et régime chaotique

Sommaire Introduction à la problématique Ballottement hors résonance Brisure à résonance Mode tournant Conclusions et Perspectives

Le mode tournant existe pour ≈> 11 : Une analogie avec oscillateur linéaire amorti donne les principales propriétés du mode forcé : Superposition initiale des mode forcé et mode propre, Décroissance exponentielle du mode propre Amplitude stationnaire=f(Af,/11)) Le mode tournant existe pour ≈> 11 : Grande amplitude. Transition sous-critique. Croissance exponentielle. Mise en rotation du liquide par l’onde azimutale. Le régime chaotique est quasi-périodique. Il comprend : Un court mode tournant Un mode plan déferlant : phase de croissance en amplitude linéaire, déstabilisation par onde transverse de type Faraday, modification du profil de l’onde, d’où par splashing et déferlement génération de gouttes et de bulles E. Conclusions et perspectives

Transposition possible aux réservoirs de fusée en respectant Af/R et /11 Détermination des temps caractéristiques Temps d’installation du régime forcé stationnaire Temps de transition vers le mode tournant Temps d’amortissement Efforts A partir de l’amplitude en mode forcé : F varie en b2 Etude expérimentale et numérique de EADS pour le mode tournant Création d’interface Identification des phénomènes Estimation de temps caractéristique des phases de brisure du régime chaotique ? Possible mise en défaut de la similitude E. Conclusions et perspectives

Perspectives Détermination du champ de vitesse en vue de l’élaboration d’un scénario pour la modification du profil de l’onde Etude de l’influence du taux de remplissage Estimation de la quantité d’interface créée ?? Etude pour des sollicitations impulsionnelles E. Conclusions et perspectives

Merci de votre attention

Evolution des caractéristiques du mode chaotique en fonction de Af à =(1-ε)11 D. Brisure à résonance

Régime chaotique à faible Af

Amortissement libre =1.2111 =0.8111 Transfert d’énergie 2-3 périodes après l’arrêt. conservation du rapport Energie cinétique / Energie potentielle donc bi/bf≈(11/)2 Décroissance exponentielle de l’amplitude b=b0exp(-γt)

Amortissement en eau peu profonde

Effet d’un dôme

Effet d’un anneau