Statistiques à une variable

Indicateurs de tendances

Sommaire Exemple Indicateurs de tendance centrale Retour Exemple Indicateurs de tendance centrale Moyenne arithmétique simple Moyenne arithmétique pondérée La médiane Exercices Indicateurs de dispersion Étendue quartiles

Sommaire Autres exemples Retour Autres exemples Série quantitative discrète avec peu de valeurs Série quantitative discrète avec de nombreuses valeurs série quantitative continue

Exemple Antoine 10 11,5 12 10,5 11 Martin 8 15 16 Guillaume 6 14 17 5 Le tableau suivant regroupe les notes de mathématiques de 3 élèves d’une seconde bac pro 3 ans Antoine 10 11,5 12 10,5 11 Martin 8 15 16 Guillaume 6 14 17 5 13 Pour mettre une appréciation, le professeur de mathématiques doit analyser ces résultats. Quelle appréciation mettriez-vous pour chacun de ces trois élèves? Retour

Pour comparer des séries un seul indicateur n’est pas suffisant Réponse: Pour comparer des séries un seul indicateur n’est pas suffisant Moyenne Médiane Étendue Antoine 11,00 11 12 - 10 = 2 Martin 10,57 8 16 - 8 = 8 Guillaume 11,29 13 17 - 5 = 12 Retour

En effet la moyenne des trois élèves est autour de 11. Pour Antoine, le travail est régulier: L’étendue est faible (2) Toutes ses notes sont autour de 11 Pour Martin, le travail est irrégulier: Et 50 % de ses notes sont inférieures à 8 la note 16 remonte la moyenne Pour Guillaume, le travail est irrégulier, l’étendue est12 mais 50 % de ses notes sont supérieures à 13. la note 6 fait baisser la moyenne. Conclusion: Si le bulletin ne rendait compte que de la moyenne, cela donnerait une vision partielle du travail d’un élève. Retour

Indicateurs de tendance centrale Moyenne arithmétique simple Le moyenne arithmétique de N nombres x1; x2; …; xn est: Exemple: La moyenne des notes, 8,15,8, 16, 8, 11,8 est: Retour

2. Moyenne arithmétique pondérée Le moyenne arithmétique pondérée de nombres x1; x2; …; xp affectés des effectifs n1; n2; …; np est: Exemple: La moyenne des notes affectées d’un coefficient , (8; 4), (10; 2), (11; 1), (12,5; 3), (11,5; 2) est: Retour

3. La médiane La médiane d’une série de valeurs rangées par ordre croissant est le nombre qui partage la série en deux séries ayant le même effectif. Ainsi 50% des valeurs de la série sont inférieures à la médiane et 50 % sont supérieures à la médiane. Retour

Cas où le nombre des valeurs est impair 3. La médiane Exemple: Cas où le nombre des valeurs est impair Cas où le nombre des valeurs est pair On a ordonné les retraits d’argent (en €) fait par une personne sur un mois On a ordonné les retraits d’argent (en €) fait par une personne sur un mois Me = 60 Retour

Exercices 1 à 9 page 27 19 page 30 Retour

Indicateurs de dispersion Étendue d’une série statistique L’étendue (E) d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur du caractère (Maximum) et la plus petite (Minimum). E = Max - Min Exemple: L’étendue des notes, 2; 15; 8; 16; 8; 11; 18 est: E = 18 – 2 = 16 Retour

Indicateurs de dispersion 2. Quartiles Le premier quartile Q1: plus petite valeur du caractère correspondant au moins au quart de l’effectif total Exemple: Notes obtenues par 18 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant: 2;2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 20. N = 18; N/4 = 4,5 arrondi à l’entier supérieur 5 La 5e note est 7 Le premier quartile Q1 = 7: Il y a au moins 25% des notes inférieures ou égales à 7 Retour

Indicateurs de dispersion Le deuxième quartile Q2: plus petite valeur du caractère correspondant au moins à la moitié de l’effectif total Exemple: Notes obtenues par 18 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant: 2;2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 20. N = 18; N/2 = 9 La 9e note est 10 Le deuxième quartile Q2 = 10: Il y a au moins 50% des notes inférieures ou égales à 10 Retour

Indicateurs de dispersion La médiane Me: valeur du caractère correspondant au moins à la moitié de l’effectif total Exemple: Notes obtenues par 18 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant: 2;2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 20. N = 18; est pair donc Ici, la médiane Me = Q2 = 10 Il y a autant de notes inférieures à 10 que supérieures à 10 Retour

Indicateurs de dispersion Le troisième quartile Q3: plus petite valeur du caractère correspondant au moins au trois quarts de l’effectif total Exemple: Notes obtenues par 18 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant: 2;2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 20. N = 18; N×0,75 = 13,5 arrondie à l’unité supérieure 14 La 14e note est 15 Le troisième quartile Q3 = 15. Il y a au moins 75% des notes inférieures ou égales à 15 Retour

Indicateurs de dispersion Le quatrième quartile Q4: plus petite valeur du caractère correspondant au moins à l’effectif total; c’est le Max Exemple: Notes obtenues par 18 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant: 2;2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 20. N = 18; La 18e note est 20 Le quatrième quartile Q4 = 20. 100% des notes sont inférieures ou égales à 20 Retour

Autres exemples de calculs d’indicateurs Série quantitative discrète avec peu de valeurs Retour Exemple 1: Notes d’un élève, rangées par ordre croissant: 12×0,25 = 3 donc Q1 = 3 qui est la 3e valeur; 12×0,50 = 6 donc Q2 = 12 qui est la 6e valeur; 12×0,75 = 9 donc Q3 = 15 qui est la 9e valeur;

Autres exemples de calculs d’indicateurs Retour N = 12: Le quatrième quartile Q4 = 20. 100% des notes sont inférieures ou égales à 20

Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Exemple 2: Des jeunes de 12 à 25 ans ont été interrogés sur le temps d’écoute des radios musicales chaque semaine (que ce soit sur baladeur, sur autoradio ou dans des lieux publics). L’enquête a fourni la répartition ci-dessous. Comment décrire la répartition des réponses de ces auditeurs? Retour

Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Questionnaire: L’écoute de la radio chez les adolescents et les jeunes adultes a beaucoup baissé ces dernières années. D’après vous, quel critère principal peut expliquer cette diminution? Quelle est la population de cette enquête? Est-il possible de déterminer une durée moyenne d’écoute? Pour quelle durée d’écoute la moitié des auditeurs sont concernés? À partir de quelle valeur atteint-on ¾ des réponses, soit 75%? Retour

Temps d'écoute en heure (xi) Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Temps d'écoute en heure (xi) nombre de jeunes (ni) Produits ni×xi Effectif cumulé total 1 45   1,5 120 2 60 2,5 134 3 165 3,5 122 4 78 4,5 65 5 71 Total N = 860 45×1 = 45 45 120×1,5 = 180 165 60×2 = 120 225 134×2,5 = 335 359 524 165×3 = 495 122×3,5 = 427 646 724 78×4 = 312 789 65×4,5 = 292,5 71×5 = 355 860 2 564,5 La moyenne: Le temps moyen est de 2,98 heures soit ( 2h58min48s) Retour

Temps d'écoute en heure (xi) Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Retour Temps d'écoute en heure (xi) nombre de jeunes (ni) Produits ni×xi Effectif cumulé total 1 45   1,5 120 2 60 2,5 134 3 165 3,5 122 4 78 4,5 65 5 71 Total N = 860 45×1 = 45 45 120×1,5 = 180 165 60×2 = 120 225 134×2,5 = 335 359 524 524 165×3 = 495 122×3,5 = 427 646 724 78×4 = 312 789 65×4,5 = 292,5 71×5 = 355 860 2 564,5 L’effectif total est 860 (nombre pair), donc la médiane Me est la moyenne des valeurs des 430e et 431e rangs. Cette médiane, ici, est égale à 3 heures

Temps d'écoute en heure (xi) Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Temps d'écoute en heure (xi) nombre de jeunes (ni) Produits ni×xi Effectif cumulé total 1 45   1,5 120 2 60 2,5 134 3 165 3,5 122 4 78 4,5 65 5 71 Total N = 860 45×1 = 45 45 120×1,5 = 180 165 60×2 = 120 225 134×2,5 = 335 359 524 524 165×3 = 495 122×3,5 = 427 646 724 78×4 = 312 789 65×4,5 = 292,5 71×5 = 355 860 2 564,5 L’étendue de cette série est: E = Max – Min = 5 – 1 = 4 heures Retour

Temps d'écoute en heure (xi) Premier quartile Q1 Retour Temps d'écoute en heure (xi) Effectif cumulé total 1   1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Total 45 165 225 359 524 On prend comme rang du premier quartile Q1 l’effectif cumulé qui suit immédiatement 215; soit 225; donc Q1 = 2 h 646 724 789 860

Temps d'écoute en heure (xi) Deuxième quartile Q2 Retour Temps d'écoute en heure (xi) Effectif cumulé total 1   1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Total 45 165 225 359 524 On prend comme rang du deuxième quartile Q2 l’effectif cumulé qui suit immédiatement 430; soit 524; donc Q2 = 3 h 646 724 789 860

Temps d'écoute en heure (xi) Troisième quartile Q3 Retour Temps d'écoute en heure (xi) Effectif cumulé total 1   1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Total 45 165 225 359 524 On prend comme rang du troisième quartile Q3 l’effectif cumulé qui suit immédiatement 430; soit 646; donc Q3 = 3,5 h = 3h 30 min 646 724 789 860

Calcul des quartiles d’une série quantitative à valeurs continues Exemple: Calculons les quartiles de la série suivante Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11   [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 11 26 36 50 On commence par compléter la colonne des effectifs cumulés et la cellule de l’effectif total N. Retour

Calcul du premier quartile Q1 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11   [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 11 26 36 50 Donc Q1 est compris dans l’intervalle [20; 30[ Retour

Calcul du premier quartile Q1 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11   [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 11 26 36 50 Retour

Calcul du deuxième quartile Q2 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11   [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 11 26 36 50 Donc Q2 est compris dans l’intervalle [20; 30[ Retour

Calcul du deuxième quartile Q2 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11   [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 11 26 36 50 Retour

Calcul du troisième quartile Q3 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11   [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 11 26 36 50 Donc Q3 est compris dans l’intervalle [40; 50[ Retour

Calcul du troisième quartile Q3 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11   [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 11 26 36 50 Retour