I Mathématiques en RAR …… …et ailleurs 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

F La Fontaine IA-IPR de mathématiques Pour les élèves Le professeur qui fait toujours « tout découvrir » s’adresse en fait aux meilleurs de ses élèves. Rendre le projet d’enseignement perceptible : objectifs, compétences visées, attendus de la séance, que retenir… Un élève sait toujours « quelque chose » Les élèves les plus en difficulté peinent à réaliser qu’ils font des progrès (évaluations) 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

F La Fontaine IA-IPR de mathématiques Pour les enseignants Construire des situations motivantes, progressives et différenciées. Structuration du temps et calcul mental sont prédictifs de la réussite scolaire au collège. Observer les erreurs des élèves… et les prendre en compte. Attention aux séances de remédiation toutes prêtes (fiches à trous, exerciseurs,…) C’est de préférence le professeur de la classe qui prend en charge l’élève en difficulté, dans la classe et éventuellement hors de la classe dans des temps spécialement dédiés. 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

F La Fontaine IA-IPR de mathématiques Programme et socle Il ne s’agit pas d’enfermer le professeur dans une course contre la montre contre productive pour la formation des élèves, mais de s’assurer, tout en gardant les objectifs du programme comme ligne d’horizon, que tous les élèves progressent à un rythme possible pour eux. Un programme peut se traiter par couches successives, en différenciant le niveau d’approfondissement et les exigences selon les possibilités des élèves. L’important est que chacun progresse, et soit emmené aussi loin que possible par son enseignant. 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

II Les programmes 2008 du primaire 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

II-1 Des résultats trop faibles en calcul Calcul mental: 6X8 69,8% ; 60:4 41% Dans 56 combien de fois 8? 55,3% Calcul posé: 876X34 45,2% 27,5X23 28,5% 81:6 48,2% 408:12 52,1% Proportionnalité: (règle de trois) 6 objets identiques coûtent 150 €. Combien coûtent 9 de ces objets ? 34,9% 10 objets coûtent 22 €. Combien coûtent 15 de ces objets ? 30,7% 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

II-2 La même organisation des contenus école collège Nombres et calcul Géométrie Grandeurs et mesures Organisation et gestion de données La résolution de problèmes est intégrée à chacun de ces quatre domaines 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

II-3 Automatismes et connaissances Des automatismes à l’école ? Des techniques et des raisonnements élémentaires disponibles immédiatement pour des tâches simples indispensables pour l’élaboration de raisonnements complexes qui s’acquièrent dans la durée en « automatisant » certaines procédures ou raisonnements courants, utiles, ayant valeur de méthode L’accès au sens et l’acquisition des automatismes ne sont pas antinomiques Des automatismes au collège ? Des réflexes intellectuels libérant l’esprit des soucis de mise en œuvre technique En mémorisant et en automatisant certaines procédures et raisonnements fréquemment rencontrés et qui ont valeur de méthode Ils doivent être entretenus et régulièrement sollicités dans des situations où ils font sens 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

II-4 La résolution de problèmes A l’école: (progression cycle 3) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. Au collège: Une place centrale pour la résolution de problèmes Mettre tout élève en activité à tout moment et en particulier: En donnant toute sa place à la résolution de problème (ouvrir les questions…), En privilégiant le raisonnement et en dissociant la recherche de la rédaction, En ne s’abstenant pas de confronter tous les élèves à des tâches complexes 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

II-5 Progressivités des apprentissages et démarche spiralaire Approche, préparation La division par 3 en début de CE1 se traduit par une recherche et la mise en œuvre d’une procédure personnelle. Construction, structuration Elaboration d’une procédure experte 21:3 = 7 Consolidation, utilisation Mobilisation dans des contextes variés 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

F La Fontaine IA-IPR de mathématiques III Raisonner… … en mathématiques 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

III-1 La résolution de problème Compétences: lire, interpréter et organiser l’information ; s’engager dans une démarche de recherche et d’investigation ; mettre en relation les connaissances acquises, les techniques et les outils adéquats pour produire une preuve ; communiquer par des moyens variés et adaptés – aptes à convaincre – la solution du problème 2 grands types de raisonnement : Induction et présomption déduction 2 étapes : rechercher et produire la preuve Mettre en forme et communiquer 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

III-2 Des exemples de raisonnement La somme de deux multiples de 7 est-elle un multiple de 7 ? (Quelques productions d’élèves en réponse à la question posée) 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

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III-3 Ouvrir les problèmes Voici un programme de calcul qui peut s’appliquer à n’importe quel nombre Tripler Ajouter 4 Doubler Retirer 4 1) Appliquer le programme au nombre 5. 2) À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 809,2 ? 3) À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 14? 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

III-3 Ouvrir les problèmes Voici un programme de calcul qui peut s’appliquer à n’importe quel nombre. Doubler Ajouter 3 Multiplier par 3 Ajouter le nombre de départ 1) À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 25,1 ? 2) À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 34 ? 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

III-4 La démarche d’investigation chaque fois qu’une question est posée et que la réponse ne peut être donnée immédiatement à partir de connaissances disponibles Déroulement: Réflexion sur le problème posé  appropriation du problème, vocabulaire, contexte confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc nécessaire de « connaître son cours »), recherche éventuelle d’informations sur le thème. Élaboration d’une conjecture recherche, avec mise en place éventuelle d’une première expérimentation, émission de la conjecture, confirmation, avec mise en place éventuelle d’une seconde expérimentation. Mise en place d’une preuve argumentée. 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

F La Fontaine IA-IPR de mathématiques IV Raisonner… 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

F La Fontaine IA-IPR de mathématiques IV-1… socialement Un raisonnement est un type particulier d’argumentation : La déduction énonce logiquement une conclusion nécessaire à partir de propositions données (S Holmes) l’induction est la formulation d’un énoncé général à partir de la constatation d’un ensemble de faits particuliers (Le médecin) l’analogie consiste à tirer des conclusions d’une ressemblance entre les objets sur lesquels on raisonne (B Franklin) 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

F La Fontaine IA-IPR de mathématiques IV-2… en français Démarche inductive : observation d’un texte ou d’un corpus de textes, repérage guidé par des questions d’un certain nombre d’éléments, mise en évidence à partir de ces éléments du fait grammatical objet de l’étude et enfin mise en application immédiate de la notion découverte. Déductive : Lors de la production d’un texte ou de l’écriture d’un texte sous la dictée, comme par exemple pour accorder un participe passé. Il faut attendre la classe de seconde pour que soit développée la capacité à rédiger des textes argumentatifs fondés sur des raisonnements déductifs et que les élèves distinguent démontrer et argumenter d’une part, convaincre et persuader d’autre part. 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

IV-3… en histoire géographie Placé en situation d’argumentation en histoire, l’élève va chercher à comprendre une situation, éclairer un fait en procédant par analogie en utilisant soit une situation passée déjà connue de lui, soit la connaissance qu’il a du monde actuel. En géographie, l’étude part de situations particulières ou spécifiques pour ensuite dégager par une démarche inductive des savoirs d’ordre général. La géographie sollicite largement l’analogie pour dégager des similitudes mais aussi des oppositions de situations. Des mises en relations et un raisonnement déductif permettent à partir du cycle central d’analyser une situation particulière. 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

IV-4… en sciences expérimentales L’abduction (ou raisonnement abductif) est un mode de raisonnement consistant à déterminer la ou les causes les plus probables d’une "observation surprenante". L’élève confronté à un problème est conduit à émettre des conjectures, des hypothèses (recherche d’explications ou de causes). Pour ce faire, l’élève conduit un raisonnement abductif, postulant par exemple à partir de l’observation, un principe de fonctionnement qui expliquerait le résultat d’une action réalisée avec un objet technique 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques

Comme ailleurs, mais ici beaucoup plus qu’ailleurs… « …les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne […] La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. » Aussi, on se méfiera de toute démarche réduisant l’enseignement des mathématiques à une suite d’acquisitions de techniques, voire à du dressage. Les mathématiques sont toujours un lieu de créativité et de recherche. Il n’est pas question de proposer un programme réduit ou des exercices plus pauvres, ou plus simples, en un mot moins ambitieux ou ennuyeux, mais bien de s’assurer que chaque élève trouve dans sa classe, avec son maître, les conditions d’un apprentissage motivant des fondamentaux qui lui donneront les clés de sa réussite. 24/03/2009 F La Fontaine IA-IPR de mathématiques