LES STATISTIQUES- PROBABILITES EN CLASSE DE SECONDE

STATISTIQUES AU COLLEGE Si vous avez raté un épisode, voilà ce qui s’est passé au collège et en classe de troisième en statistiques STATISTIQUES AU COLLEGE Fréquences. - Caractéristiques de position: moyenne et médiane. - Approche de caractéristiques de dispersion: quartiles et étendue.

Un exemple d’activité de statistiques en troisième FREQUENCE CARDIAQUE On a relevé les fréquences cardiaques au repos, FCR, d’un groupe de 60 sportifs. Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau ci-contre. Pierre, qui s’entraine ferme, a une FCR égale à 48. Il voudrait savoir comment il se situe par rapport à ce groupe de sportifs. 1°) A l’aide d’un tableur trier ces données par ordre croissant des fréquences cardiaques. 2°) A l’aide du tableur déterminer la valeur minimale des FCR, le premier quartile Q1, la médiane, le troisième quartile Q3. 3°) A l’aide du tableur calculer la moyenne des FCR. Interpréter les résultats des questions 2 et 3. 4°) Compléter un tableau FCR – Effectifs. Copier ce tableau et le coller dans un « grapheur » afin de réaliser le diagramme en bâtons de cette série statistique. 5°) Comment situez-vous la FCR de Pierre par rapport à celles de ce groupe de sportifs ? Tableur Graphe

Q1 = 50 Med = 52 Q3 = 54 Moyenne = 51.97

PROBABILITES EN TROISIEME Si vous avez raté un épisode, voilà ce qui s’est passé en classe de troisième en probabilités PROBABILITES EN TROISIEME Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités - Calculer des probabilités dans des contextes familiers

Les objectifs de cet enseignement Savoir ce qu’est une expérience aléatoire elle peut être décrite par un protocole, elle peut être répétée autant de fois que l’on veut dans les mêmes conditions, on peut déterminer à l’avance la liste des issues, mais on ne peut pas prévoir à l’avance l’issue au moment où on la réalisera. Ce qui différencie l’expérience aléatoire de l’aléa, c’est sa condition de reproductibilité « à l’identique »

Les objectifs de cet enseignement 2. Être capable de déterminer à priori la probabilité de certains phénomènes aléatoires simples : - Savoir qu’il y a « égale probabilité » dans certaines expériences aléatoires, - Savoir que ce n’est pas parce qu'il y a k possibilités qu’il y a une chance sur k que l’événement se produise, - Être capable d’associer des modèles à certaines expériences. 3. Établir un lien entre la probabilité d’un événement et la fréquence observée en répétant un grand nombre de fois l’expérience.

Il s’agit d’une initiation à l’aléatoire et à la notion de probabilités. Les probabilités sont abordées à partir d’expériences dans des situations familières: pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes, etc… Elles sont reliées aux statistiques : notion de fréquence et notion de probabilité. On passera peu à peu d’un langage naturel au langage des probabilités. On abordera des expériences aléatoires à une ou deux épreuves. Les probabilités sont abordées suivant les professeurs (liberté pédagogique) selon une approche laplacienne (géométrie du hasard) ou fréquentiste. Il n’y a pas lieu de se précipiter nécessairement vers la seconde, le lien entre les deux approches se doit d’être construit. Cette « construction » commence au collège (si ce chapitre est traité comme on le souhaite)

En troisième, un exemple d’activité Le lancer d’un dé. - Que se passe-t-il si on lance 100 fois un dé ? 10 groupes d’élèves font chacun 100 lancers. On observe la distribution des effectifs et on constate la fluctuation. En troisième, on observe plutôt les effectifs ce qui donne tout son sens à la phrase du programme de seconde : Passer des effectifs aux fréquences. Tableur Feuil1, Graph1

On cumule les résultats des groupes d’élèves. Par exemple pour dix groupes ayant chacun réalisé 100 lancers : - On constate que pour ce regroupement de 1000 lancers, la fluctuations des fréquences autour de 1/6 (0,16) est moindre que pour 100 lancers. On dit que le dé est équilibré si lors d’un lancer, les 6 faces sont équiprobables c’est-à-dire ont la même chance d’être obtenues. Pour un dé équilibré, la probabilité d’obtenir « 6 » est égale à 1/6 Lorsqu’on lance un dé équilibré un « grand » nombre de fois, les fréquences d’apparition de chaque face se rapprochent de 1/6. Tableur Feuil1 et Graph2

Un exemple de T.P. en probabilités: La somme de deux dés On lance deux dés équilibrés et on fait la somme des faces supérieures des deux dés. Quels sont les différents résultats possibles ? Sur quelle somme faut-il parier pour avoir le plus de chances de gagner? 2. Réalisation de l’expérience aléatoire: - Chaque élève lance 20 fois ses deux dés et calcule la fréquence des différentes sommes obtenues. - On compare les résultats des élèves de la classe et on en discute.

Comparaison des résultats obtenus par quatre élèves Somme de deux dés Comparaison des résultats obtenus par quatre élèves

3. Cumul des résultats de la classe Somme de deux dés 3. Cumul des résultats de la classe Pour l’ensemble des lancers des élèves de la classe on établit la distribution des fréquences, on observe et on commente.

Somme de deux dés 4. On simule cette expérience aléatoire avec un tableur: Observation avec une simulation de taille 10 000 En troisième, la simulation a été faite par le professeur devant la classe (et pas par tous les professeurs). La simulation : de même qu’un dé réel a été fabriqué « pour ménager l’équité », l’ordinateur (ou la calculatrice) a été programmé pour donner les issues de 1 à 6 avec des chances égales et indépendamment les uns des autres. Il joue le rôle d’un dé électronique. Correctement programmée, la machine fournit des résultats parfaitement représentatifs des issues que l’expérience concrète fournirait. Tableur

Somme de deux dés 5. Prolongement possible (en seconde) Calcul de la probabilité de chaque somme possible en dénombrant à l’aide d’un tableau ou d’un arbre. Comparaison avec les fréquences observées lors de l’expérience réelle et lors de la simulation.

LES STATISTIQUES EN SECONDE Quoi de neuf par rapport à la troisième ? Passer des effectifs aux fréquences Calculer des effectifs cumulés, des fréquences cumulées Représenter une série statistique: nuage de points, histogramme, courbe des fréquences cumulées Travailler sur l’échantillonnage: réaliser une simulation, observation de l’intervalle de fluctuation de fréquence au seuil de 95%. Pour quel objectif ? Interpréter des résumés statistiques Réaliser la comparaison de deux séries Exploiter et faire une analyse critique d’une résultat d’échantillonnage

LES PROBABILITES EN SECONDE Dans le même esprit qu’en classe de troisième : Réaliser des activités aléatoires Calculer des probabilités Dénombrer par des arbres, tableaux, diagrammes Modéliser et simuler En liaison avec les statistiques :passer des fréquences aux probabilités et travailler sur l’échantillonnage Mais avec un peu plus de théorie

LES PROBABILITES EN SECONDE Les objectifs de cet enseignement: Étudier et modéliser des expériences simples Proposer un modèle probabiliste à partir de données statistiques Interpréter des événements de manière ensembliste Effectuer des calculs de probabilité

Statistiques descriptives Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités Premier temps Statistiques descriptives

Prolongement en seconde de l’activité Fréquence Cardiaque On souhaite comparer les FCR de ces 60 sportifs aux FCR d’un groupe de 100 personnes pratiquant peu d’activité physique. La moyenne d’âge des deux groupes est la même. Les relevés de ces 100 autres personnes sont donnés dans le tableau des effectifs ci-dessous: FCR 44 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 Effectifs 1 2 3 7 6 8 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 10 5 6°) Représenter la courbe des fréquences cumulées de ces deux séries statistiques dans un même repère. Comment interpréter l’antécédent de 0,5 ( de 0,25 et de 0,75) pour chacune des deux fonctions des fréquences cumulées? 7°) Quelle incidence semble avoir la pratique régulière du sport sur la FCR d’un individu ? Tableur

Cette présentation sous forme de boîte n’est pas un attendu du programme, mais il serait dommage de s’en priver, car on connaît les différents paramètres et le programme demande de réaliser des comparaisons de séries statistiques

Deuxième temps Notion de probabilité Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités Deuxième temps Notion de probabilité Pour se remettre dans le bain de la pratique de la classe de troisième - Une évaluation diagnostique. EVA - Une activité présentant une expérience aléatoire. B. Le langage des probabilités: Probabilité d’un événement définie comme la somme des probabilités d’événement élémentaires Cas particulier de l’équiprobabilité C. Exemples de calculs de probabilités : par arbres, diagrammes, tableaux

La collection Une expérience aléatoire: Problématique: On lance dix fois un dé bien équilibré. Est-on sur d’obtenir sur les dix lancers au moins une fois chacune des six faces du dé? Si non quelle est la probabilité de l’événement A = « obtenir sur les dix lancers au moins une fois chacune des six faces du dé » ? Pour répondre à ce problème ouvert on peut: Faire réaliser l’expérience aux élèves 30 fois à la maison. Chaque élève relève la fréquence de l’événement A pour ses lancers, puis on cumule les expériences de tous les élèves et on observe la stabilisation des fréquences Fn lorsque n devient grand. 2. Faire simuler cette expérience par les élèves, avec un tableur en Module.

Expériences des élèves La collection Expériences des élèves Expérience élèves + Graph3 et4

La loi des grands nombres On considère une expérience aléatoire E dans laquelle le hasard intervient pour déterminer une issue. Soit A un événement, résultat possible de E, constitué par certaines issues. (Par exemple : obtenir un nombre pair en jetant un dé) On répète cette expérience un nombre n de fois et on calcule la fréquence Fn des réalisations de A

La loi des grands nombres affirme que : quand n est très grand, il y a de très grandes chances que la fréquence Fn soit proche de la probabilité p que A soit réalisé à l'issue de l'expérience E. Plus n est grand, plus on a de chances que l'écart entre Fn et p soit plus petit que n'importe quel nombre positif donné. (Par exemple, avec n > 1000, il y a plus de 95 chances sur 100 que la différence | Fn – p| soit inférieure à 0,03)

Résultats de la simulation La collection Résultats de la simulation Simulation + graph 1 et 2

Troisième temps Calculs de probabilités Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités Troisième temps Calculs de probabilités A. Probabilité de l’événement contraire, d’une réunion d’événements B. Exemples de calculs de probabilités

Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités Quatrième temps Échantillonnage A. Notion d’échantillon B. Réalisation d’une simulation avec un tableur: observation de l’intervalle de fluctuation C. Comment peut-on estimer une proportion inconnue à l’aide d’un échantillon? D. Comment peut-on prendre une décision à partir de l’étude d’un échantillon ?

SIMULATION D’UN SONDAGE DES INTENTIONS DE VOTE LORS D’UN REFERENDUM Un vote à un référendum a donné une proportion p de « OUI » (p est un nombre décimal compris entre 0 et 1). On désire simuler un sondage sur les intentions de vote d’un échantillon de taille n.

Description de l’algorithme en langage naturel On choisit la proportion p du OUI et la taille n de l’échantillon. Pour simuler le vote d’une personne on tire au hasard un nombre décimal compris entre 0 et 1. Si ce nombre est inférieur ou égal à p le vote est « OUI », sinon il est « NON ». On répète cette simulation du vote d’une personne n fois On compte le nombre de fois où le vote a été OUI. On calcule la fréquence du OUI.

Ouverture du document TABLEUR Simulation avec un tableur Par exemple, pour simuler un sondage auprès de 100 personnes, lorsque p = 0,45, on peut utiliser les formules suivantes: Il est possible ensuite de multiplier les sondages, simplement en recopiant les formules vers le bas, autant de fois qu’on le désire, et d’observer la fluctuation d’échantillonnage Ouverture du document TABLEUR

Algorithme de simulation des intentions de vote de n personnes : Entrée Saisir n # n, entier naturel non nul, est la taille de l’échantillon Saisir p # p, nombre décimal compris entre 0 et , est la proportion de « OUI » dans la population Traitement Affecter à m la valeur 0 # m compte le nombre de réponses « OUI » Affecter à i la valeur 1 # i compte le nombre de personnes interrogées Tant que i est inférieur ou égal à n faire : Affecter à a un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 Si a est inférieur ou égal à p augmenter m de 1 Augmenter i de 1 Affecter à f la valeur m/n # Calcul de la fréquence f du « OUI » dans l’échantillon Sortie Afficher f

Traduction en langage Python from random import* n=int(input("saisissez la taille de l'échantillon\n")) p=float(input("saisissez la proportion de OUI dans la population\n")) m=0 i=1 while i<=n: a=random() if a<=p: m=m+1 i=i+1 f=m/n print("dans cet échantillon de taille",n,"la fréquence du OUI est égale à",f)

Traduction en langage ALGOBOX Traduction en langage ALGOBOX 1 VARIABLES 2 n EST_DU_TYPE NOMBRE 3 p EST_DU_TYPE NOMBRE 4 m EST_DU_TYPE NOMBRE 5 i EST_DU_TYPE NOMBRE 6 f EST_DU_TYPE NOMBRE 7 DEBUT_ALGORITHME 8 LIRE n 9 LIRE p 10 m PREND_LA_VALEUR 0 11 i PREND_LA_VALEUR 1 12 TANT_QUE (i<=n) FAIRE 13 DEBUT_TANT_QUE 14 SI (random()<p) ALORS 15 DEBUT_SI 16 m PREND_LA_VALEUR m+1 17 FIN_SI 18 i PREND_LA_VALEUR i+1 19 FIN_TANT_QUE 20 f PREND_LA_VALEUR m/n 21 AFFICHER f 22 FIN_ALGORITHME

C. Comment peut-on estimer une proportion inconnue à l’aide d’un échantillon? Punaise ! Fiche activité Tableur

La pièce de un euro est-elle équilibrée ? D. Comment peut-on prendre une décision à partir de l’étude d’un échantillon ? La pièce de un euro est-elle équilibrée ? Fiche activité Tableur

Idées de travail à la maison pour les élèves 1. Le lancer de pièces Enoncé 2. Le saut de la grenouille Enoncé Politique nataliste Enoncé Tableur

La simulation d’un référendum Idées d’activités algorithmiques en probabilités La simulation d’un référendum Le jeu de treize. La collection