JOURNEES INTER-ACADEMIQUES NANCY 2009 Entrer par les problèmes en seconde. isabelle.jacques@ac-nancy-metz.fr

Présentation Raisons et objectifs de cet atelier Moyens Qu’est-ce qu’une entrée par les problèmes? Organisation en classe La démarche d’investigation Une méthode : le débat scientifique Des exemples de problèmes Isabelle JACQUES 2009

Raisons et Objectifs Une attente des programmes : Les nouveaux programmes de seconde mettent l'accent sur les problèmes. Développer l’autonomie et l’esprit critique des élèves.. Varier les méthodes : utilisation des TICE, travail en groupe… Une attente des élèves : « A quoi ça sert? ». Un problème peut permettre de comprendre la nécessité d’avoir de nouveaux outils. Résoudre des problèmes concrets. Une attente des enseignants : Rendre les mathématiques attractives. Faire des mathématiques autrement. Ne pas rajouter des « problèmes ». Gérer l’hétérogénéité. Isabelle JACQUES 2009

Moyens Transformer des activités classiques d’introduction en problèmes permettant d'aborder des nouvelles notions. Transformer des exercices d'application en problèmes à prise d'initiative. Favoriser des problèmes qui peuvent être résolus de façon différentes (géométrie, analyse, TICE…). Utiliser des problèmes relativement « ouverts ». Organiser un débat dans la classe. Isabelle JACQUES 2009

Que peut être une entrée par les problèmes… Isabelle JACQUES 2009

Quelques critères L’énoncé est court et facile à comprendre La réponse n’est pas évidente Aucune méthode de résolution n’est sous entendue Le problème est « ouvert » Isabelle JACQUES 2009

Démarche d’investigation Le choix d'une situation - problème L’appropriation du problème par les élèves La formulation de conjectures, d’hypothèses explicatives, de protocoles possibles L’investigation ou la résolution du problème conduite par les élèves L’échange argumenté autour des propositions élaborées L’acquisition et la structuration des connaissances Isabelle JACQUES 2009

Le choix d'une situation - problème Enoncé du problème Quels pré-requis nécessaires? Quelle définition, quel théorème pourra être introduit? La question induit-elle une réponse, une méthode? Le problème ouvre-t-il suffisamment de portes? Y a-t-il des prolongations possibles? Consignes aux élèves Faire des essais, choisir des méthodes différentes, chercher un contre-exemple… Aides à anticiper Isabelle JACQUES 2009

L’appropriation du problème par les élèves Vérifier la compréhension de l’énoncé. Reformuler la question. Traiter un exemple. Phase de recherche personnelle. L’enseignant peut guider les élèves sans les influencer sur leurs conjectures mais au contraire en aidant à faire naître le questionnement. Isabelle JACQUES 2009

La formulation de conjectures, d’hypothèses explicatives, de protocoles possibles Les élèves formulent des conjectures et exposent leurs méthodes. Les résultats visiblement faux sont mis en évidence par des contre-exemples. Le problème peut être reformulé. Isabelle JACQUES 2009

L’échange argumenté (débat) autour des propositions élaborées Communication des solutions élaborées, des réponses apportées, des résultats obtenus, des interrogations qui demeurent. Confrontation des propositions, débat autour de leur validité, recherche d’arguments. Cet échange peut se terminer par le constat qu’il existe plusieurs voies pour parvenir au résultat attendu et par l’élaboration collective de preuves. Quand une réponse fait l’unanimité un protocole de démonstration si nécessaire est suggéré. Isabelle JACQUES 2009

L’acquisition et la structuration des connaissances (Institutionnalisation) Mise en évidence de nouveaux éléments de savoir (notion, technique, méthode) utilisés au cours de la résolution. Reformulation écrite par les élèves, avec l’aide du professeur, des connaissances nouvelles acquises en fin de séquence. Isabelle JACQUES 2009

Phases Présentation du problème Recherche personnelle des élèves Mise en commun (débat) Institutionnalisation Isabelle JACQUES 2009

Attitude du professeur Respect des phases et de l’ordre des phases. Le professeur est l’initiateur de la première et de la dernière phase. Pour les deux phases intermédiaires, il doit essayer de rester neutre pour laisser « vivre le faux ». Isabelle JACQUES 2009

Un exemple d’animation : Le débat scientifique (IREM de Grenoble) Isabelle JACQUES 2009

Pourquoi organiser des débats scientifiques en classe? L’élève n’a pas de responsabilité scientifique en classe. La vérité mathématique est l’affaire du professeur et dépend du statut de l’énoncé. Quel sens peut avoir un énoncé mathématique si on se prive de le penser soi-même? Isabelle JACQUES 2009

Organisation du débat Débat « privé » : temps de réflexion des élèves. Ils peuvent échanger avec leurs voisins. (Le professeur est neutre) Vote : « vrai », « faux », « autre ». Débat « publique » : le professeur organise le tour de parole, inscrit au tableau les arguments en respectant une neutralité stricte. Nouveau vote : « vrai » ou « faux ». Institutionnalisation par le professeur. Isabelle JACQUES 2009

Changement de contrat didactique Activité classique : L’élève doit produire une réponse et il n’a pas la charge de vérifier la pertinence de sa réponse. Le professeur détient la vérité et pose les bonnes questions. Dans le débat scientifique : L’élève peut douter. Se tromper est source de progrès. Le professeur fait vivre le « faux » en classe. Isabelle JACQUES 2009

Avantages vécus Le pouvoir du contre-exemple. L’intérêt de démontrer. Les énoncés prennent du sens pour les élèves. La rédaction de l’énoncé est importante. Il y a des problème sans solution ou il peut y avoir plusieurs solutions à un problème. Douter est un droit : développement du sens critique. Isabelle JACQUES 2009

Quelques problèmes qui peuvent servir d’introduction au programme de seconde pour de nouvelles notions mais aussi pour réinvestir les notions de collège. Isabelle JACQUES 2009

Repères Le quadrilatère ABCD ci-dessous a été représenté dans un repère orthonormé qui a disparu. Le retrouver à partir des coordonnées, dans ce repère, des points suivants : A(-4 ;2) B(2 ;-6) C(3 ;6) D(1 ;2) Isabelle JACQUES 2009

Conditions nécessaires et suffisantes Théorème de Varignon Peut-on déterminer des conditions (nécessaires, suffisantes, nécessaires et suffisantes) pour que IJKL soit un parallélogramme, un rectangle, un losange, un carré? 22 Isabelle JACQUES 2009

Les coordonnées d’un vecteur Variables xA, yA, xB, yB , xC, yC, xD, yD Entrées Saisir xA, yA, xB, yB , xC, yC, xD, yD Traitement Affecter à xu la valeur (xB - xA) Affecter à yu la valeur (yB - yA) Affecter à xv la valeur (xC - xD) Affecter à yv la valeur (yC - yD) Sortie Si xU = xV et yU = yV Alors afficher ABCD est un parallélogramme Sinon afficher ABCD n'est pas un parallélogramme Cet algorithme est-il valide ? Isabelle JACQUES 2009

Trigonométrie Quel est l’aire du parallélogramme? Dans un deuxième temps , on rajoute la valeur d’un angle. Isabelle JACQUES 2009

Calcul algébrique Le triangle de mesures, 3, 4 ,5 est rectangle. Existe-t-il d’autres triangles rectangles dont les mesures des côtés sont des entiers consécutifs? (Développé dans PARI n°20) Isabelle JACQUES 2009

Variations de fonctions Fonctions polynômes de degré 2 Pour fabriquer une boîte (sans couvercle), on découpe un carré de même dimension à chaque coin d’une plaque de carton carrée de côté 20 cm . Comment fabriquer une boîte de volume maximal? x 20 cm x ……. 26 26 Isabelle JACQUES 2009

Fonctions homographiques Un prix subit une hausse de 15% puis une baisse de 15%, le prix revient-il à sa valeur initiale? De façon générale, à quelle condition un prix qui subit deux évolutions successives peut-il revenir au prix initial? Isabelle JACQUES 2009

Calculs sur les racines carrées et identités remarquables Comparer Peut-on généraliser ? Isabelle JACQUES 2009

Identités remarquables « A la place de calculer le carré d'un nombre, on peut tout aussi bien calculer le produit du suivant de ce nombre et son précédent, car la baisse de l'un est compensé par la hausse de l'autre. Dans les deux cas on obtient le même résultat. » « Est-ce une bonne idée, une idée qui marche? » Isabelle JACQUES 2009

Fonctions linéaires et affines Un vidéoclub propose 3 options de location: Option 1 : 60 € d’abonnement annuel et 2 € par DVD loué. Option 2 : 30 € d’abonnement annuel et 3 € par DVD loué. Option 3 : Pas d’abonnement mais 5 € par DVD loué. Quelle option choisirais-tu ? Isabelle JACQUES 2009

Fonctions affines Au vidéoclub, on peut louer un DVD pour 5 €. Le gérant veut proposer à ses clients d’acheter un abonnement qui permet d’emprunter chaque DVD à prix réduit. Il souhaite que pour 20 DVD empruntés, le client paie le même prix quelle que soit la formule. Que proposez-vous ? Isabelle JACQUES 2009

Patrons - Pythagore La boîte, l’araignée et la mouche ! L’araignée est à 1 cm du haut en partant du milieu de l’arête, au point A. La mouche, paralysée de peur, est à 1 cm du fond de la boîte, au point M. Quelle est la longueur du chemin le plus court pour aller de A à M ? (L’araignée ne vole pas ! Elle se déplace uniquement sur les parois de la boîte.) Isabelle JACQUES 2009

Repères - Fonctions affines Tracer un repère orthonormé dans le cadre ci-dessous dans lequel la droite d représente la fonction affine définie par : d Isabelle JACQUES 2009

Revoir le théorème de Thalès Prolongement : étude de la fonction Soit ABC un triangle quelconque, I un point de [BC] . Peut-on construire M sur [AC] tel que l’aire du triangle IMC soit égale à la moitié de l’aire du triangle ABC ? A B I C Isabelle JACQUES 2009

Equation du second degré ABCD est un rectangle, AD = 8 cm et AB = 10 cm. M est un point du segment [AB]. On construit le carré AMEP et le rectangle EGCF. Où placer le point M pour que l’aire colorée soit égale à l’aire non colorée. Isabelle JACQUES 2009

Résolution d’une équation f(x) =k On désire imprimer une carte carrée (ABCD). On souhaite cependant laisser une marge de 2 cm en haut et en bas de la carte et de 1 cm à gauche et à droite. Quelles doivent être les dimensions de cette carte pour que l’aire de la surface centrale (FKLM) soit de 8 cm2, de 12 cm2 ? Isabelle JACQUES 2009

Volumes de solides On veut verser la même quantité de liquide dans un verre cylindrique et un verre conique de mêmes diamètres. A quelle hauteur doit-on les remplir? Isabelle JACQUES 2009

Systèmes Un fermier se trouve dans sa basse-cour composée de lapins et de canards. Il s’amuse à compter le nombre de pattes. Il en dénombre 106. Combien y a-t-il de canards et de lapins ? Après une première phase de recherche, on peut rajouter qu’il compte 38 têtes. Isabelle JACQUES 2009

Médiane Isabelle JACQUES 2009

Résolutions d’inéquations Un fil de fer a pour longueur 4,50 m. On le coupe en deux morceaux : on plie le premier morceau en forme de carré et le second morceau en forme de rectangle dont une dimension est 1 m. Compare les aires des deux quadrilatères. D’après hyperbole seconde 2009 Isabelle JACQUES 2009

Bibliographie http://www-irem.ujf-grenoble.fr/irem/Debat_scientifique/Db_Sci_&_rem_etudiants.pdf http://dialog.ac-reims.fr/math-pbouverts Grand N n°51 sur le site du CRDP de Grenoble Brochure APMEP n°150 : « Pour un enseignement problématisé des Mathématiques au lycée ». PASI : activité de recherche (PARI n°20) Isabelle JACQUES 2009