Les nombres entiers. Quelques aspects didactiques. Cours PE1 - 4 septembre 2009 13bis c’est un nombre pair ou impair ? Raymond Queneau.

Enjeux du cours Compléter ou élargir votre savoir épistémologique sur les nombres Donner une vue d’ensemble et détaillée des apprentissages de l’école primaire Analyser des documents de classe

Plan du cours 1- « Construire » le nombre 2- Que disent les IO ? Quelle programmation par niveau ? 3- Exemples d’activités de classe 4- Quelques difficultés d’élèves

1- « Construire » le nombre Qu’est ce qu’un nombre ? Une expérience et un tour de magie … La notion de nombre entier est « naturelle », c’est à dire donnée par l’expérience directe et sensible du monde que nous possédons dès notre première enfance. La notion de quantité, et de discrimination des collections repose sur la dénombrabilité et sur la comparaison terme à terme. Il y a opération mentale pour « construire » la notion d’ensemble et pour être capable d’isoler une unité reproductible.

Une autre expérience O O O O O O O O O O O O O O O O Où y en a-t-il le plus ? O O O O O O O O O O O Même question : O O O O O O O O O O O

Piaget-Szeminska L’enfant acquiert le concept de nombre quand il a atteint le « stade des opérations concrètes », c’est à dire à partir de quand il devient conservant (7/8ans). Il sait alors faire des sériations et réalise les inclusions de classe. Il y a simultanéité des trois opérations. Cette conception va dans le sens d’une performance du nombre acquise par le déploiement de capacités successives indispensables, pour atteindre un niveau optimal quand l’enfant devient « conservant ».

Remise en cause des théories de Piaget Si on remplace les jetons par des bonbons… …Les enfants même jeunes font moins d’erreurs D’où une certaine remise en cause de la notion de stade et de simultanéité des opérations logiques.

Le nombre avant le langage Expériences menées sur le jeune enfant (80-90) Les bébés savent compter ! Reconnaissance globale des quantités jusqu’à 4, 5, voire 6.

Alors, c’est quoi le nombre ? Une mesure de la quantité Collection > quantité > nombre Un objet multiforme et multifonctions Un concept caché derrière des usages et des représentations : 3 n’est pas un nombre mais une écriture… Il s’acquiert par le langage.

Collection-quantité-nombre La même quantité  5

Identifier des unités isolées et « voir » des ensembles Pour pouvoir accéder à la notion de quantité et à sa mesure il faut donc plusieurs conditions : Identifier des unités isolées et « voir » des ensembles Comprendre la notion de « bijection » ou correspondance terme à terme. que la quantité est finalement une « qualité », une grandeur attachée à une collection… comme je peux mettre ensemble tous les jaunes, je peux mettre ensemble tous les « quatre ». posséder une suite de mots ordonnés qui servent à énumérer (comptage-numérotage) comprendre que toutes les permutations lors du comptage-numérotage dans un ensemble amènent au même dernier mot-nombre, et que celui-ci suffit à dire toute la collection.

En résumé : Personne ne sait précisément définir « un nombre ». On connaît des ensembles de nombres et on sait à quoi ça sert, mais on ne sait pas précisément ce que c’est… On ne définit les nombres finalement que par leurs usages, facettes qui montrent le concept sous un certain angle et de l’ensemble des facettes naît la globalité du concept.

Les différentes représentations du nombre 3 trois « trois » I I I

Les usages du nombre Garder en mémoire la taille d’une collection (principe cardinal) Garder en mémoire la place d’un objet dans une suite ordonnée (principe ordinal) Identifier une entité et la différencier d’autres (le nombre comme suite de symboles) Comparer des collections, compléter… Anticiper le résultat d’une action

Les étapes de la construction du nombre Les premiers nombres : allier les trois aspects du nombre Les nombres au delà de 30 : différencier le « beaucoup » et comprendre le code d’écriture Itérer la notion d’échanges et de groupements Les grand nombres : le vertige de l’infini

2- les programmes Quels programmes prendre en compte ? - 2006 Polynésie Française, adaptés de 2002 métropole - 2008 métropole Différences et similitudes entre les deux programmes.

3- exemples d’activités de classe Cycle 1 Les tris/classements - la maison des nombres Le lucky luke Le chef d’orchestre La boîte à oeufs Le jeu des poupées Le greli-grelo

Cycle 2 Les maisons des nombres Les paquets de 10 - la dizaine Le jeu du banquier Zyglotron Stabiliser la comptine Les paquets de 100 - la centaine La droite numérique, le zéro… enfin.

Cycle 3 La classe des milliers Les fourmillions Les grains de riz Les grands nombres Le vertige de l’infini…

4- les difficultés des élèves Difficultés principales. Cycle 1: mémorisation de la comptine, coordonner geste-parole, organiser, surcompter, compléter, compter par paquets.

Cycle 2 compléments à 10, échange d’une dizaine, codage/décodage des nombres en système décimal irrégularités de la numération orale utiliser la frise numérique utiliser la droite numérique, les piquets et les intervalles la centaine, décomposition des nombres

Combien de points ?

Cycle 3 Distinction chiffre/nombre La classe des mille, des millions La notion de nombre « rond », le calcul approché, l’ordre de grandeur L’encadrement