Les nombres non entiers L’invention du continu

Plan du cours Quelques représentations et difficultés… L’invention de nouveaux nombres – quels usages en fait-on ? Caractérisation mathématique des nombres non entiers Analyse d’erreurs d’élèves Démarches d’enseignement

1- Quelques représentations 2,5 est un décimal 5/2 est une fraction 3 n’est pas décimal, c’est un entier Un décimal, c’est un nombre avec une virgule Une fraction c’est deux nombres avec un trait entre les deux Pi est un nombre infini La partie décimale de 2,364 est 364

Erreurs d’élèves… 2,4 + 3,6 = 5,10 2,6 x 4 = 8, 24 Entre 1,5 et 1,6 il n’y a pas de nombres 1,5 < 1,16 Le chiffre des centièmes de 2,145 est 1 1,9 = 1/9 = un neuvième 2,9 x 10 = 20,9 2,9 x 100 = 20,90

Taux de réussite - EVA6eme06 80% - 77 % - 77%

Taux de réussite - EVA6eme06 50%

Taux de réussite - EVA6eme06 34% - 20% - 22%

Taux de réussite - EVA6eme06 90% - 30%

Taux de réussite - EVA6eme06 26%

2- l’invention de nouveaux nombres- approche historique Quels problèmes ? Problèmes de mesures Problèmes de partage (division) Rapport de proportions

Problèmes de mesure : u Entre 2 et 3 u

Problème de partage 5 : 4 = ? Soit 1 + un quart Soit 5 quarts 4 x …. = 5

Rapport de proportion Si 3 pommes coûtent 500 francs, combien coûtent 6 pommes ? 15 filles sur 24 élèves 3 est à 5 ce que 60 est à 100

Raccourci historique Les babyloniens : fractions de 60 Les égyptiens : fractions unitaires de puissances de 2 Les grecs : les proportions Les fractions décimales L’invention de la virgule - Simon STEVIN - La disme 1585 Le système décimal - les décimaux

Une idée géniale… Le prolongement du tableau de numération. 100 10 1 1/10 1/100 3 , 2 9 3,29 = 3 + 2/10 + 9/100

3- Caractérisations mathématiques des nombres non entiers. L’ensemble Q des rationnels. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un rapport de deux entiers. Exemples : 1/3; 2=2/1; 0,1=1/10… Il faudrait distinguer fraction et rationnel…

Les décimaux Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale (avec une puissance de 10 au dénominateur) Exemples : 2 = 20/10 ; 0,25 = 25/100… 1/3 n’est pas décimal, 12/15 l’est.

Autre caractérisation Un nombre décimal est un nombre dont l’écriture fractionnaire irréductible est de la forme N/2a5b. Exemples : 14/5 ; 18/25; 13/40.

Nombres à virgule Un nombre décimal possède une écriture à virgule dont la partie décimale a un nombre fini de chiffres Un nombre rationnel non décimal possède une écriture à virgule illimitée, avec une période dans la partie décimale. Attention : nombre à virgule ne veut pas dire nombre décimal !

Existe-t-il d’autres nombres ? Quand on a rajouté tous les rationnels sur la droite numérique y a-t-il de la place pour d’autres nombres ? Réponse : oui… Représentation par les coupures.

Les irrationnels, des nombres fantômes… Impossibles à écrire, à « voir », ils existent pourtant… Caractérisation : Ils ne s’écrivent pas sous la forme a/b Leur écriture à virgule est illimitée et non périodique…

Avantages, inconvénients de l’agrandissement de l’ensemble des nombres. Toute division a un résultat On peut tout mesurer On peut prolonger les opérations… On perd l’idée d’ordre « naturel »… L’infiniment petit est difficile à imaginer…

Erreurs d’élèves - explications remédiations Un décimal est un couple de nombres entiers séparés par une virgule… La virgule « flotte » (on peut l’enlever)

Démarches d’enseignement Introduction par la mesure. à éviter ! Obstacle didactique… Introduction par les problèmes de fractionnement Démarche type : pour comprendre les maths.

Exercices d’application directe. Quelle est la nature du nombre 0,1234567891011121314… ? Quelle est la nature du nombre 0,121212… Quelle est la nature des nombres 17/12, 12/60 ? Complétez le nombre 3_5_/45 pour qu’il soit décimal Rangez dans l’ordre : 2/3 - 8/11 - 1/2 - 0,66 - 0,7