David Rolland, formateur en Mathématiques

Plan du cours - Préambule - Classification et analyse des différents modes de calcul - Addition et soustraction - Multiplication et division - Calculs sur les radicaux - Calculs sur les puissances

Préambule : Indiquez comment vous effectueriez ces 5 calculs suivant : - 38 x x 0, ,25 x 82,

I / Classification des différents modes de calcul Calcul écrit Calcul mental Calcul instrumenté (on utilise une calculatrice ou un tableur) Calcul automatisé : fait appel à un résultat déjà mémorisé et se limite à exécuter un algorithme Remarque préalable : calculer nécessite la mémorisation de résultats et de techniques. Exemple : ayant à faire une soustraction, on utilise toujours la même technique de calcul posé. Exemple : ayant à diviser par 25, mentalement, on multiplie par 4 et on divise par 100. Exemple : ayant à calculer le produit de deux nombres, on utilise la touche × de la calculatrice. Calcul réfléchi ou raisonné : ayant à faire un certain type de calcul, on utilise une procédure dépendant des nombres en jeu. Exemples : = = = = = 5 12×25 = 3×4 ×25 = 3×100 = 300 Exemple : pour calculer la valeur exacte de × 514 avec une calculatrice, on effectue à la calculatrice les calculs 128 × 514 et 618 x 514. Exemple :

1/ Caractéristiques propres au calcul automatisé et au calcul réfléchi Calcul automatiséCalcul réfléchi Le calcul posé met en œuvre des propriétés des opérations, même si ces propriétés ne sont pas nécessairement toujours visibles pour le calculateur. Le calcul réfléchi sappuie sur des relations entre nombres et sur des propriétés des opérations que le calculateur décide de mobiliser. Le calcul automatisé est impersonnel : il est conduit de la même façon par tous les individus. Le calcul réfléchi est très personnalisé. Le même calcul peut être réalisé de plusieurs manières selon les individus, notamment en fonction de leurs connaissances sur les nombres et les opérations. Le calcul automatisé nécessite peu deffort, car il est exécuté par réflexe : il peut être réalisé rapidement. Pour un calcul réfléchi, la charge mentale de travail peut être importante… ainsi que le temps nécessaire pour répondre. Le calcul automatisé sapparente à un exercice routinier : il suffit dexécuter une procédure connue. Le calcul réfléchi sapparente davantage à la résolution de problèmes : il faut dabord imaginer une procédure possible, puis la mener à son terme.

2/ Analyse des différents modes de calcul a/ Résultats et procédures mémorisés. Pour exécuter un calcul sans machine, il est indispensable de pouvoir disposer immédiatement de certains résultats ou de certaines procédures. Citons quelques facteurs favorables à la mémorisation : -On mémorise mieux ce qui a du sens : mieux vaut donc travailler sur le sens des opérations que sur la mémorisation des tables. -Les conditions dapprentissage retentissent sur les conditions de récupération en mémoire (ex : réciter le début de la table de 8 pour retrouver le résultat de 8x7). -Certains résultats sont plus faciles à mémoriser et constituent des points dappui pour la suite de la mémorisation (ex : les doubles, la table de 5…). -La connaissance de relations entre les résultats à mémoriser ou de propriétés réduit le coût de la mémorisation. -La répétition est un facteur qui nest pas à négliger, surtout si elle sinscrit dans un contexte motivant (ex : dans le cadre des jeux)

b/ Algorithmes opératoires et calculatrices. -Les algorithmes écrits de calcul ont longtemps constitué un objectif primordial de lécole primaire. -La diffusion de nouveaux instruments de calculs (calculatrice, ordinateur) en réduit lusage social. -Lécole ne peut pas rester à lécart de ce phénomène. -Lapprentissage des techniques opératoires demeure un objectif important de lécole primaire, mais ses finalités sont en partie à reconsidérer.

c/ Calculatrices et tableurs. - Lapprentissage dune utilisation intelligente des calculatrices est prévue dès le cycle 2 de lécole primaire et linitiation au tableur figure au programme du collège. - Pour les calculatrices, vous devez être capables dutiliser une calculatrice dusage courant et de maîtriser certaines fonctionnalités comme la mémoire (touches [M+], [M-], [MR]…). - Reportez vous au document daccompagnement des programmes de mathématiques de lécole primaire « Utiliser les calculatrices en classe » disponible sur le site internet : - Exemple dutilisation des calculatrices en classe : dans les problèmes complexes, leffort de lélève devrait être en priorité centré sur le raisonnement. Si la charge mentale de travail due aux calculs est trop importante, certains élèves peuvent perdre le fil de leur raisonnement ou même renoncer à utiliser tel calcul, jugé par eux comme trop difficile. La mise à disposition de calculatrices permet de surmonter cette difficulté.

d/ Divers aspects du calcul réfléchi. Calcul réfléchi exact : Il fait appel à 3 types de connaissances : - des résultats et procédures de base stockés en mémoire : tables, relations entre certains nombres, procédures pour certains calculs comme « multiplier par 10 »… - des connaissances relatives à la numération écrite ou orale - des connaissances relatives aux propriétés des opérations (ex : associativité de laddition et de la multiplication …). Ce type de calcul peut être conduit de façon purement mentale mais peut aussi être accompagné de traces écrites : résultats partiels, traces de la procédure mise en œuvre…

Exemples de traces écrites pour le calcul de 857 – 438 (élève de CE2): a/ Traces de calculs auxiliaires effectués mentalement : 800 – 400 = – 30 = – 8 = – 438 = 419 b/ support de la droite numérique : ______|_______________|____|________

Calcul approché: Tout calcul approché est un calcul réfléchi qui exige toutes les compétences mises en œuvre dans ce type de calcul, auxquelles il faut en ajouter dautres : - Déterminer lordre de grandeur, souvent en fonction du contexte de la situation dans lequel le calcul est conduit - Déterminer, en conséquence, les arrondis choisis pour les nombres en jeu, ces arrondis étant eux- mêmes fonction de lordre de grandeur recherché et des possibilités de calcul mental.

1/ Introduction II/ Addition et soustraction Trouvez différentes procédures pour effectuer mentalement les calculs suivants : a/ b/ c/ 85 – 39 d/ 94 – 46 e/ 205 – 198 f/ 17, ,55 g/ 6 - 2,75

Solutions : a/ On réorganise le calcul proposé : = = = 60 b/ ère méthode : = (80 + 5) + (30 + 9) = = = 124 Utilisation de la commutativité de laddition puis de lassociativité de laddition Utilisation des propriétés de laddition relatives aux regroupements possibles des termes et des connaissances relatives à la numération

c/ 85 – 39 1 ère méthode : = 85 - (30 + 9) = = = 46 2 ème méthode : = 85 + (40 - 1) = ( ) - 1 = = 124 Utilisation de la propriété de « déplacement des parenthèses » Les parenthèses ont été déplacées, entraînant la modification de certains signes opératoires

d/ ère méthode = 94 - (50 - 4) = = = 48 2 ème méthode : = (85 + 1) - (39 + 1) = = 46 On a ajouté 1 aux deux termes de la différence, ce qui permet dobtenir une différence égale à la première. Les parenthèses ont été déplacées, entraînant la modification de certains signes opératoires

e/ ère méthode = 205 – = = = (94 + 4) - (46 + 4) = = 48 On a ajouté 4 aux deux termes de la différence, ce qui permet dobtenir une différence égale à la première. On remplace 198 par 200 – 2. 2 ème méthode On calcule par sauts le complément de 198 à 205 : de 198 à 200, puis de 200 à ème méthode :

f/ 17, ,55 On utilise le fait que = 100, donc 0,45 + 0,55 = 1 Puis on calcule , puis, doù 67 2 ème méthode Aller de 2,75 à 3, puis de 3 à 6. On utilise le fait mémorisé que lécart entre 0,75 et 1 est égal à 0,25. g/ 6 – 2,75 1 ère méthode On enlève 2 puis 0,75. On obtient : 4 – 0,75 = 3,25

a/ Quelques définitions Somme et addition 2/ Apports théoriques Définition 1 : La somme de a + b de 2 nombres entiers naturels est définie à partir dun point de vue ensembliste : a et b sont respectivement les nombres déléments dun ensemble A et dun ensemble B, A et B étant disjoints. a + b est le nombre déléments de lensemble constitué par la réunion de A et de B. On parle daspect cardinal de laddition. Ensemble A Nombre déléments : a Ensemble B Nombre déléments : b Réunion des ensembles A et B Nombre déléments : a + b

On généralise cette définition au cas de laddition de deux nombres décimaux positifs en se situant dans le contexte des grandeurs (par exemple des longueurs) : 4,8 + 2,75 est alors la mesure en mètres de la longueur obtenue en mettant bout à bout deux segments mesurant respectivement 4,8 m et 2,75 m.

Définition 2 : On suppose connue la suite ordonnée des nombres naturels. La somme a + b est égale au nombre atteint en comptant b nombres après a. On parle daspect ordinal de laddition. Ainsi, pour trouver 5 + 3, on part de la suite : … donc = 8 Cette définition est également généralisable au cas de laddition des nombres décimaux positifs : sur une droite graduée en centièmes, 4,8 + 2,75 est le nombre qui correspond à la graduation atteinte en partant de la position de 4,8 et en avançant successivement de 2 unités, de 7 dixièmes et de 5 centièmes.

b/ Différence et soustraction Définition 1 : La différence a - b de deux nombres entiers naturels est définie à partir dun point de vue ensembliste : a et b sont respectivement les nombres déléments dun ensemble A et dun sous- ensemble B de lensemble A. a - b est le nombre déléments de lensemble complémentaire de B par rapport à A. On parle daspect cardinal de la soustraction. Ensemble B Nombre déléments : b Ensemble complémentaire de B dans A Nombre déléments : a - b Ensemble A Nombre déléments : a

On généralise cette définition au cas de la soustraction de deux nombres décimaux positifs en considérant, par exemple, que 7,8 – 2,45 correspond à la mesure en cm de la longueur dun segment quil faut placer bout à bout avec un segment mesurant 2,45 cm pour obtenir un segment mesurant 7,8 cm.

Définition 2 : On suppose connue la suite ordonnée des nombres naturels. La différence a - b est égale au nombre atteint en comptant b nombres avant a. On parle daspect ordinal de laddition. Ainsi, pour trouver 8 - 3, on part de la suite : … donc = 5 Comme pour laddition, cette définition est également généralisable au cas de la différence de deux nombres décimaux positifs

Définition 3 : a – b peut être défini à partir de laddition supposée connue. a étant supérieur ou égal à b, a – b est la solution de léquation dinconnue x : b + x = a Il y a donc équivalence entre x = a – b et b + x = a.

a/ Propriétés de laddition et de la soustraction sur les entiers naturels et les décimaux. - Associativité de laddition Propriété 1 : Quels que soient les nombres a, b et c : a + (b + c) = (a + b) + c Exemple : = 47 + (3 + 20) = (47 + 3) + 20 Remarque : cette propriété ne sapplique pas à la soustraction.

- Commutativité de laddition Propriété 2 : Quels que soient les nombres a et b : a + b = b + a Remarque : cette propriété ne sapplique pas à la soustraction. Propriété 3 : Pour tout nombre a : a + 0 = 0 + a = a - Existence dun élément neutre {0} pour laddition

- Autres propriétés Propriété 4 : Quels que soient les nombres a, b et c tels que a b : a - b = (a + c) – (b + c) Propriété 5 : Quels que soient les nombres a, b et c tels que b c : a + (b – c) = (a + b) – c

Propriété 6 : Quels que soient les nombres a, b et c tels que a b + c : a – (b + c) = (a - b) – c Propriété 7 : Quels que soient les nombres a, b et c tels que a b et b c : a - (b – c) = (a - b) + c

a/ Laddition 3/ techniques opératoires La technique utilisée aujourdhui donne lieu aux traces écrites suivantes : Autre technique : méthode rapportée par Baha Eddin ( )dans son livre Les Principes du calcul Exercice : Toto additionne 2 nombres entiers avec la méthode habituelle et trouve 499 sans faire derreur. Combien de retenues a-t-il effectué ?

b/ La soustraction La technique traditionnelle : En réalité, au lieu de calculer la différence entre « 6 milliers 4 centaines 5 dizaines et 6 unités » et « 2 milliers 8 centaines 7 dizaines et 2 unités », on a calculé la différence de « 6 milliers 14 centaines 15 dizaines et 6 unités» et « 3 milliers 9 centaines 7 dizaines et 2 unités» est impossible dans N. On ajoute 10 dizaines au nombre du haut, mais pour ne pas modifier le résultat, on ajoute également 10 dizaines, sous la forme dune centaine au nombre du bas. 584

La technique dite « par complément » : Technique : consiste à traiter la soustraction comme une « addition à trou » : …. = On cherche combien il faut additionner à 2 pour avoir 6 : on écrit 4. On cherche combien il faut additionner à 7 pour avoir 15 : on écrit 8 (et on indique 1 en retenue au niveau des centaines). On cherche combien il faut additionner à 9 pour avoir 14 : on écrit 5 (et on indique 1 en retenue au niveau des milliers) etc.

La technique dite « par emprunt » : Il sagit de la méthode anglo-saxonne. Avantage : pas de retenue Procédé : calculer séparément les sommes des unités, des dizaines, des centaines et des milliers. 3 5 Exercice : calculer 1111 – 999 par la méthode par emprunt.

Cascade additive : a b a+b ? Remarque : on peut trouver un générateur de pyramides additives et multiplicatives avec corrigés à cette adresse : Un exercice de calcul mental

1/ Introduction III/ Multiplication et division Trouvez 3 procédés différents pour calculer mentalement 24 x 15 : 1 er procédé : 24 x 15 = 24 x (10 + 5) = 24x x 5 = = ème procédé : 24 x 15 = (12 x 2) x 15 = 12 x (2 x 15) = 12 x 30 = ème procédé : 24 x 15 = 24 x (30 : 2) = (24 x 30) : 2 = 720 : 2 = 360

Voici un procédé proche de celui utilisé par les Egyptiens pour calculer le produit de 76 par 53 (procédé traduit dans notre système de numération) : Utiliser le même procédé pour calculer 154 x Cette méthode est basée sur le fait que tout naturel peut être décomposé en fonction des puissances de 2, cest-à-dire comme somme de nombres choisis parmi 1; 2; 4; 8; 16…

a/ Apports théoriques Produit de 2 entiers naturels 2/ La multiplication Définition 1 : a et b étant deux entiers naturels, le produit de a et de b est égal à la somme de b naturels égaux à a ou encore : a x b = a + a + a + a + a + … + a b fois le terme a Définition 2 : a et b étant deux entiers naturels, le produit de a et de b est le nombre de couples (x ; y) qui peuvent être réalisés en choisissant x dans un ensemble ayant a éléments et y dans un ensemble à b éléments.

Multiplication dans lensemble IN des naturels La multiplication dans lensemble IN peut être définie comme lopération qui à 2 entiers naturels quelconques permet dassocier leur produit, ce qui peut être décrit dans le langage des fonctions par le schéma suivant : IN x IN IN ( a ; b) a x b On définit également la multiplication dans dautres ensembles comme lensemble ID des décimaux, lensemble Q des rationnels, lensemble IR des réels…

- Propriétés de la multiplication Propriété 1 : distributivité de la multiplication sur laddition Quels que soient les nombres a, b et c : a x (b + c) = ab + ac On a aussi : a x (b - c) = ab - ac Propriété 2 : associativité de la multiplication Quels que soient les nombres a, b et c : a x (b x c) = (a x b) x c On dit que la multiplication est associative. Propriété 3 : commutativité de la multiplication Quels que soient les nombres a et b : a x b = b x a (on écrit : ab = ba) On dit que la multiplication est commutative.

Propriété 4 : élément neutre pour la multiplication On dit que 1 est un élément neutre pour la multiplication car : quel que soit le nombre a : 1 x a = a x 1 = a Propriété 5 : élément absorbant pour la multiplication On dit que 1 est un élément absorbant pour la multiplication car : quel que soit le nombre a : 0 x a = a x 0 = 0

b/ Technique opératoire sur les naturels ou sur les décimaux Exemple : calcul de 368 x 207 Résultat du calcul de 368 x x Résultat du calcul de 368 x 200 Résultat du calcul de la somme des 2 résultats précédents

Cette technique exige lutilisation de plusieurs types de connaissances : - Tables de multiplication; - Connaissances relatives à la numération (décomposition en centaines, dizaines et unités); - Distributivité de la multiplication sur laddition : 368 x 7 = ( ) x 7 = (300 x 7) + (60 x 7) + (8 x 7); - Associativité de la multiplication : 368 x 200 = 368 x (2 x 100) = (368 x 2) x Distributivité de la multiplication sur laddition pour le résultat final : 368 x 207 = 368 x ( ) = (368 x 7) + (368 x 200). Le calcul posé du produit de deux décimaux se ramène facilement à celui de deux entiers naturels. Par exemple :

Calculons le produit : 36,8 x 2,07. Ce calcul correspond à celui de : 368/10 x 207/100 Soit encore à (368 x 207) / 1000, Ce qui explique quil suffit de calculer 368 x 207 comme vu précédemment puis de positionner la virgule pour obtenir le quotient du résultat par 1000 (donc en laissant 3 chiffres à droite de la virgule).

a/ Introduction 3/ La division euclidienne Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de 430 par 38. Peut-on en déduire, sans calculer de nouvelle division, le quotient et le reste de la division euclidienne de 860 par 76 ?

La division euclidienne de 430 par 38 donne pour quotient 11 et pour reste 12. Ce qui peut être traduit par : 430 = 38 x Les 2 termes de légalité peuvent être multipliés par 2 pour obtenir une nouvelle égalité : 430 x 2 = (38 x ) x 2 = (38 x 11) x x 2 ou 860 = (76 x 11) + 24 avec 24 < 76. Le quotient euclidien de 860 par 76 est le même que celui de 430 par 38, mais que le reste est doublé

Dans une situation où on fabrique des « paquets » en partageant équitablement des objets - la division peut servir à trouver combien il y a dobjets dans chaque « paquet » quand on connaît le nombre total dobjets et le nombre de « paquets » (division-partition) - la division peut servir à trouver le nombre de « paquets » quand on connaît le nombre total dobjets et le nombre dobjets dans chaque « paquet » (division-quotition) b/ Apports théoriques 1°) Les deux significations de la division euclidienne

2°) Ecritures correctes

Soit à effectuer la division euclidienne de 108 par 24. Voici la liste des multiples de 24 : 3°) Première définition possible de la division euclidienne : 5×24 = 1204×24 = 96 3×24 = 72 2×24=48 1×24=24 0×24= est le quotient q dans la division euclidienne de 108 par 24 r = 108 – 96 = est le reste r dans la division de 108 par 24 Effectuer la division euclidienne de a par b cest trouver lentier q (appelé quotient) et lentier r (appelé reste) tel que : q×b a ( q+1)×b

4°) Deuxième définition possible de la division euclidienne Soit à effectuer la division euclidienne de 108 par 24. On peut écrire de plusieurs manières 108 sous la forme 108 = …×24 + … 108 = 0 × = 1 × = 2 × = 3 × = 4 × Ce nombre est plus petit que = 4 × est le quotient q dans la division euclidienne de 108 par est le reste r dans la division de 108 par 24 Effectuer la division euclidienne de a par b cest trouver lentier q (appelé quotient) et lentier r (appelé reste) tel que : a = q × b + r

3/ Technique opératoire de la division euclidienne La technique usuelle : La technique employée au cycle 3 pour lapprentissage de la division : La division pourrait se poursuivre en « convertissant « les 5 unités qui restent en 50 dixièmes, puis les dixièmes en centièmes…

Exercice : Compléter cette division : Il sagit de la division de 636 par 96 qui a pour quotient 6 et pour reste 60.

IV /calcul sur radicaux

2°)

Exercice : Est-il vrai que :

V /Calcul sur les puissances Si n est nombre entier naturel non nul et a un nombre réel, a n = a x a x a x … x a n fois et a 0 = 1 (avec a 0). On définit également : a -n = 1/a n (avec a 0). En particulier : 10 n sécrit 1000…000 (avec 0 écrit n fois) et 10 -n sécrit 0,000…01 (avec 0 écrit n-1 fois après la virgule)

2°) Propriétés Soient a et b 2 nombres réels et soient n et p deux entiers : a n x a p = a n+p (a x b) n = a n x b n ATTENTION : Quels que soient les nombres non nuls a et b : (a + b) n a n + b n et (a - b) n a n - b n

Exercice : Le quart de est-il égal à 4 16 ou 4 4 ou 4 31 ou 8 8 ou 16 4 ? Solution : / 4 = (16 x ) / 4 = 4 x = 4 x (4 2 ) 15 = 4 x 4 30 = 4 31

25 × × 4 × 31 = 100 × 31 = × 124 == × 5 × 124 = 5 × 620 = 3100 VI/ Quelques exercices de calcul mental

0,125 × 3,2 125 x 32 = 125 × 8 x 4 = 1000 x 4 = 4000 donc 0,125 × 3,2 = 0,4

Je pense à un nombre. Je multiplie ce nombre par 6. Jajoute 2 au résultat. Je multiplie le résultat précédent par 3. Je trouve 132. A quel nombre ai-je pensé ? × 6+ 2 × 3 : : 6

Derniers exercices : 1/ Choisir des nombres impairs. Divisez leur carré par 8. Quel est le reste ? Cette propriété est-elle vraie pour tout nombre entier ? 2/ Dans le « Journal dun bourgeois sous la Révolution », on découvre que le 1 er janvier 1789 est un jeudi. Retrouver quel jour de la semaine a eu lieu la prise de la Bastille. Justifier cette réponse.

Bibliographie : - Mathématiques Tome 2, Roland Charnay & Michel Mante, HATIER CONCOURS Quelques extraits du diaporama de D. Pernoux, formatrice à lI.U.F.M. dAlsace

FIN David Rolland, IUFM de la Polynésie française Cours sur les quatre opérations