Chapitre 6: Stabilité des systèmes bouclés linéaires 1/14 Chapitre 6: Stabilité des systèmes bouclés linéaires Contenu du chapitre 6.1. Introduction 6.2. Concept de stabilité 6.3. Critère de stabilité de Routh-Hurwitz 6.4. Stabilité relative des systèmes asservis bouclés 6.5. Stabilité des systèmes asservis à base de variable d’état 6.6. Exemples de conception 6.7. Stabilité des systèmes bouclés en utilisant MATLAB R. Beguenane, UQAC, 2005/2006 6GEI630 : Systèmes Asservis

6.1. Introduction La stabilité des systèmes asservis bouclés est une issue importante pour l’ingénieur de contrôle. Un système bouclé instable est généralement non pratique. D’où le besoin de chercher des méthodes d’analyse et de conception des systèmes stables. Un système stable: Exhibe une sortie bornée en réponse à une entrée bornée. Il est directement lié au lieu des racines déduit à partir de l’équation caractéristique du Système bouclé. La méthode Routh-Hurwitz est introduite comme moyen utile pour évaluer la stabilité des systèmes. Cette technique nous permet de déduire le nombre des racines se trouvant dans la moitié droite du plan-s sans calculer les valeurs exactes de ces racines. Ces points seront vu durant ce chapitre, en plus de la notion de stabilité relative.

6.2. Concept de stabilité Un système stable est un système dynamique avec une réponse bornée à une excitation bornée.

Fonction de transfert en boucle fermée d’un système linéaire Est l’équation caractéristique dont les racines sont les pôles du système bouclé. La réponse impulsionnelle: Conclusion: pour obtenir une réponse bornée, sk et am doivent être >0, i.e. les pôles du système bouclé doivent être dans la moitié gauche du plan-s, donc les pôles de la FT du système doivent avoir des parties réelles négatives.  Condition nécessaire et suffisante.

NOTE: Les pôles conjugués ne sont pas représentés Rappel: Réponses impulsionnelles correspondantes aux différentes locations des racines (pôles). NOTE: Les pôles conjugués ne sont pas représentés Système Marginalement stable

Exemple d’un système instable Le pont Tacoma Narrows (au Puget Sound, Washington, USA) au moment ou les oscillations ont Commencé. Le pont Tacoma Narrows au moment de la catastrophe. NOTE: Le pont était ouvert au trafic le 1 juillet 1940. Il oscillait à chaque fois que le vent apparaîtrait. Après 4 mois (i.e. 7 novembre 1940), un vent a produit des oscillations qui augmentait en amplitude jusqu’à la l’effondrement du pont.

6.3. Critère de stabilité de Routh-Hurwitz En multipliant les facteurs ensemble et en examinant de plus près, on remarque que les coefficients du polynôme ai doivent être du même signe si toutes les racines sont à gauche du plan-s. Aussi il est nécessaire que tout les coefficients soient non nuls pour que le système soit stable. Toutefois, ce sont des conditions nécessaires mais non suffisantes. En d’autres termes, si ces conditions ne sont pas satisfaites, le système n’est pas stable, mais l’inverse n’est pas juste. Pour cela, il faut procéder autrement pour s’assurer de la stabilité. Exemple Le système n’est pas stable, alors que les coefficients du polynôme ai sont positifs. Le critère de Routh-Hurwitz est nécessaire et suffisant pour la stabilité des systèmes linéaires.

sn an an-2 an-4 … sn-1 an-1 an-3 an-5 … sn-2 bn-1 bn-3 bn-5 … sn-3 cn-1 cn-3 cn-5 … . s0 hn-1 Le critère de Routh-Hurwitz évalue le nombre de racines de q(s) avec partie réelle positive, égale au nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau de Routh. Le critère de Routh-Hurwitz est nécessaire et suffisant pour la stabilité des systèmes linéaires.

Exemple 1 S3 1 2 s2 1 24 s1 -22 0 s0 24 0 Conditions nécessaires satisfaites puisque tous les coefficients sont positifs, mais Le tableau de Routh montre un changement de signe deux fois, ce qui est confirmé par S4 1 1 K s3 1 1 0 s2 e K 0 s1 c1 0 0 s0 K 0 Exemple 2 Pour K positif, les conditions nécessaires satisfaites puisque tous les coefficients sont positifs, mais

Exemple 3 s3 1 4 s2 2 K s1 (8-K)/2 0 s0 K 0 Pour 0<K <8, le système est stable s3 1 4 s2 2 K s1 0 0 s0 K 0 Si K=8, le système est marginalement stable Le polynôme auxiliaire: 2 racines imaginaires conjuguées En divisant q(s) par U(s): Inacceptables oscillations

Exemple 4 s5 1 2 1 s4 1 2 1 s3 e e 0 s2 1 1 s1 e 0 s0 1 L’absence de changements de signe indique que le système est faussement marginalement stable. Seulement la réponse impulsionnelle croit dans le temps comme t.sin(t+f). Pourquoi? e  0 Car il y’a des racines doubles (deux lignes de zeros). Les deux polynômes auxiliaires en s2 et s4 sont: Indiquant des racines doubles sur l’axe imaginaire.

Exemple 5 s5 1 4 3 s4 1 24 63 s3 -20 -60 0 s2 21 63 0 s1 0 0 0 s0 Contrôle d’un micro robot à 6 pâtes Le polynôme auxiliaire en s2 est: s3 1 1 s2 1 21 s1 -20 0 s0 21 0 Système instable

Exemple: Pour K=40  a < 0.639 Contrôle des robots soudeurs Contrôle de la position de soudage dans la fabrique des automobiles pour une réponse rapide et précise. Modèle mathématique: s4 1 11 Ka s3 1 (K+6) s2 b3 Ka s1 c3 s0 Ka Équation caractéristique: Exemple: Pour K=40  a < 0.639

En général: Système d’ordre n On normalise avec Exemple On normalise en divisant par Règle générale: On utilise le tableau suivant pour déterminer la condition de stabilité pour un système d’ordre inférieur à 7. n Équation Caractéristique Critère 2 s2+bs+1 b >0 3 s3+bs2+cs+1 bc-1 >0 4 s4+bs3+cs2+ds+1 bcd-d2-b2 >0 5 s5+bs4+cs3+ds2+es+1 bcd+b-d2-b2e >0 6 s6+bs5+cs4+ds3+es2+fs+1 (bcd+bf-d2-b2e)e+ b2c-bd-bc2f-f2+bfe+cdf > 0