Étude de l’utilisation par des professeurs et des élèves de quelques environnements informatisés pour l’enseignement de l’arithmétique et de l’algèbre Sophie René de Cotret Université de Montréal INRP UMR-ADEF Gisèle Lemoyne et Lalina Coulange

Un peu de contexte Pas spécialiste des environnements informatisés en général Projet de recherche UdeM-Lemoyne al. Conception et expérimentation d’un environnement: Bouchons les trous (algèbre) Expérimentation pour d’autres (arithmétique…)

Plan Questions de recherche Trois environnements: –La calculatrice défectueuse –Al(ge)+br = e –Bouchons les trous Quelques caractéristiques de chacun Conclusion

Questions de recherche Comment tirer profit des outils informatiques pour repenser l’enseignement de notions sensibles dans le cursus mathématiques des élèves? Comment conjuguer libertés et contraintes des dispositifs pour soutenir et rendre plus efficaces les actions respectives du professeur et de l’élève? Quelles sont les conditions à mettre en place pour une intégration « harmonieuse et efficace » de ces environnements dans les classes de mathématiques?

Idées exploitées dans la conception des environnements Les TIC peuvent être mises à contribution pour: –Engager l’élève dans un processus de construction des connaissances –Créer un canevas général de situations dont la paramétrisation permet d’engendrer des situations spécifiques et laisse place à l’expertise didactique et pédagogique de l’enseignant –Intégrer des dispositifs de rétroaction pour soutenir et orienter le travail de l’élève Rétroactions générées par l’environnement Échanges en ligne avec des personnages didactiques

La calculatrice défectueuse 1ère tâche: Effectuer des calculs avec la calculatrice défectueuse 2e tâche: Décrire les nombres en jeu et la méthode utilisée pour réaliser le calcul 3e tâche: Associer les descriptions avec les calculs proposés et justifier

La calculatrice défectueuse

Le travail de l’enseignant Avant l’utilisation en classe –Choix des calculs –Choix des touches désactivées Pendant –Personnages en ligne… Après –Gestion des mises en correspondances

Exemple d’utilisation par un enseignant « Moi je pense que ç a va travailler les lacunes qu ’ ils ont au niveau de du sens du nombre … Quand j ’ arrive en alg è bre et disons qu ’ ils ont 3x x + 45; on veut simplifier ç a l ’é criture... pour eux c ’ est pas dans leur mentalit é… ils vont prendre le 5x et additionner 8 parce qu ’ ils cherchent une r é ponse … car depuis qu ’ ils sont petits on les confronte toujours on a un paquet de trucs à faire et ç a donne une r é ponse …

En préparation à l’algèbre… … donc eux ils ne comprennent qu ’ on peut partir de quelque chose de long de même et faire la même chose; ils sont habitu é s de faire 6 x 7 = 42 mais ils ne sont pas habitu é s de dire 42 je peux é crire 6 x 7 à la place puis c ’ est la même chose … »

Le travail des élèves: 3 * 5 + 6

1279 x 797 : touches désactivées : 2,9, x 797 = – 1 x = la calculatrice est vraiment folle ; -c ’ est peut-être à cause du – 1 x 500; -on va le mettre avant 1279 x 797 = x = pourquoi on est si loin ; on va essayer avec 100 -on va voir ce qu ’ on gagne 1279 x 797 = x = ç a augmente presque de 10 fois …. - à cause de 100 qui est 10 fois plus que 10 ; la multiplication ne se fait pas sur les autres nombres … - on peut mettre ensemble 2 nombres … on met des parenth è ses

1279 x 797 : touches désactivées : 2,9, x 797 = ( ) x = on a doublé : comme 500 x 100 et un autre 500 x 100 -je pense qu’on peut tout mettre entre parenthèses -même le - … -oui … on multiplie 500 par chacun des nombres et on enlève –1 … x 797 = ( ) x = on est pas loin -on doit mettre le 2 e avec des parenthèses pour tout multiplier -je suis sûr sûr -la différence est grande -oui … c’est comme si on faisait presque 300 fois l’autre nombre

1275 x 975 : touches désactivées : 2, 4,6,7,8,9,+,-, (, ) (reste: 1, 3, 5, 0, * ÷) 1275 x 975 = x 5 x 155 x 5 = on peut pas faire ça sans + - -on va voir en divisant par 3 -par 5 : ça marche mais on a pas les nombres on va essayer avec 300 x 155 -on peut pas mettre des () -ça fait rien on essaie 1275 x 975 = x 3 x 155 x 5 = quand on multiplie toutes les parenthèses ne sont pas nécessaires -mettons 5 x 3 x 5 ou -(5 x 5) x 3 … c’est pareil … c’est comme les + … on demande au prof.

1275 x 975 = x 5 x 150 x 5 = c ’ est pas brillant ce qu ’ on a fait ; -attends … les 2 nombres finissent par 75 … on peut pas entrer 75 … -on peut faire 75 avec 25 x 3 et 25 tu le fais comment 1275 x 975 = x 5 x 51 x 5 x 5 x 35 = on va essayer 300 x 5 x 135 x 5 -pas brillant … -je suis s û r qu ’ on raisonne mal … regarde ce qu ’ ils ont fait -j ’ ai trouv é on est pas pas brillant … faut faire des x 5 pour trouver 425 et 175 les deux nombres de tout à l ’ heure -ce serait simple si on avait des () pour savoir o ù on est rendu; 5x5 = 25; 25 x 4 = 100 …. -trouvent en oubliant la calculatrice et en comptant par 25 … 5 x 5 = 25 et combien de 25 dans 1275 …

2e tâche: Description

Exemple « fictif » de descriptions

Exemples de descriptions 1 er nombre: nombre à virgule... 2e nombre: nombre à virgule correspond à une fraction qui est la moiti é de la moiti é. Pour faire l'op é ration, j'ai entr é le 1er nombre tel quel et le 2e j'ai fait une multiplication avec deux fois le même nombre 1 er nombre c ’ est un nombre pair, il se divise par 10,5,2,6,3...Il est entre 10 et 70. Le 2 e nombre est un nombre impair, il se divise seulement par 1. Il est plus petit que er nombre : c ’ est un nombre a 4 chiffres, un nombre premier; 2 e nombre: un nombre a 4 chiffres, un nombre composer, un nombre paire, aucune relation entre les nombres. La solution pour les deux c ’ est de faire plus 1 moins 1.

3e tâche: Calcul : 0,4 x 8 ; Touches désactivées : 0 et 4 EL7 : Le premier nombre est pair, un nombre à virgule; il a 2 chiffres. Le deuxième nombre est pair; c’est un entier; c’est un nombre composé; il a 1 chiffre Le no 20 (référant au 20 e calcul dans la liste : 0,5 x 0,25) EL2 : Le no 21 (référant au 21 e calcul dans la liste : 0.8 x 0.4) EL7 : Le no 20 ENS-A : EL2 pourquoi tu dis que c est le 21 EL5 : Madame ça peut pas être le 21 ENS-A : EL2 pourquoi tu dis le no. 21 EL2: Le nombre est pair.. il est à virgule ENS-A : En passant est-ce que ça existe un nombre à virgule pair EL2: Oui 2,2 ENS-A : On va se questionner; j’y pense c’est quoi la définition d’un nombre pair? EL2: il faut qu il finisse par CH3 : Ah! Comment faire pour trouver un nombre pair; il faut qu’il se finisse par 2. 2, 4, 6, 8,10, c’est vrai ; mais 1,2 se finit par 2 est-ce que ça fait de 1,2 est un nombre pair? EL9: Il faut que ça finisse par 2 … ça se divise par 2. CH3: EL9 est-ce que selon toi un nombre décimal ça peut être pair ou impair? EL9: Non jamais pair toujours impair.

Quelques caractéristiques Environnement ouvert côté prof Environnement ouvert côté élèves Rétroaction directe de l’environnement (pour la tâche 1) Gestion en classe indispensable pour la tâche de correspondance

Al(ge)+br=e Environnement visant la généralisation ou l’abstraction des propriétés des nombres et des opérations dans N, Q+ et Z*. 4 séries d’activités: –1ère et 2e sur les nombres naturels –3e sur les rationnels positifs –4e sur les entiers relatifs non nuls

Le travail du professeur

Le travail des élèves

Inscriptions des relations au fur et à mesure

Rédaction de commentaires

Discussion en classe CH-1 : On va regarder des essais faits par une équipe pour l’énoncé 2 de la série 1 Par exemple, le 10 e essai : a + b + d - c donne un résultat négatif … on est dans les entiers naturels … pourquoi pourrait-on obtenir un résultat négatif … EL-1 : Le c est bien plus grand que tous les autres …. CH-1 : C’est une hypothèse; comment pourrait-on voir que c est plus grand que tous les autres… vous avez votre calculatrice … donnez-moi des nombres EL-2 : CH-1 : Donnez-moi des nombres différents EL-2: … ça donne 0 CH-1 : Ça donne 0 ; si vous essayez 8 EL-S: Ça donne 2 CH-1: Votre hypothèse était bonne ? EL-S : Oui d + c + b - a vous avez obtenu plus grand ENS-A : Un autre : 2 e d + c + b - a vous avez obtenu plus grand et ensuite pour les autres est-ce qu’on peut dire quelque chose EL-3: Le a est petit CH-1 : Votre hypothèse est que a est petit ; vous auriez dû mettre a dans les premiers dans les relations … faut mettre l’information sinon on ne peut pas avancer

Suite… CH-1 : Le 3 e essai : c + d + b –a EL-4 : C’est la même chose … c’est normal que ça donne la même longueur EL-5 : Oui c’est pareil pas dans le même sens EL-4 : Juste inversé CH-1 : Comment ça s’appelle cette propriété de l’addition EL-1 : les + et les – CH-1 : On peut changer l’ordre sans changer le résultat ; il y a un nom pour cette propriété EL-2 : Bob CH-1 : C’est Larry qui nous le disait ; il nous disait quoi? … si vous aviez lu ce qu il nous disait vous devriez vous en souvenir ENS-A : a + b c’est la même chose que b + a comment on appelle ça EL-4: Faut changer des affaires ENS-A : Ça commence par c EL-S : commentateur ; composé, compétence ; communication, commun, … CH-1: Commutativité EL-7: C’est ça que j’ai dit : communicativité

Énoncé de propriété

x - y - y même résultat que x + y + y

Al(ge)+br Quelques caractéristiques Environnement fermé côté prof Environnement semi-fermé côté élèves Rétroaction directe de l’environnement, mais par des flèches, donc à interpréter. Gestion « autonome » possible, mais…

Bouchons les trous D’outil d’observation à outil d’enseignement

Le travail du professeur

Favorise des allers-retours Enseignant B: « C’est la seule façon peut-être d’essayer de passer du problème à l’équation, de l’équation au problème, du problème à l’équation… »

Pour la mise en équation Ens B: « Puis même quand on r é vise une é quation qu ’ on a pos é e, je pense pas qu ’ on y aille morceaux par morceaux … On regarde plus en bloc ( … ) Ben peut-être quand on va leur demander de poser une é quation, ils vont s ’ en … Ils vont dire, ben, j ’ ai un quart … Puis l à, je sais pas quoi faire avec le double ici … Ben ce sera le trou dans mon é quation. Je vais commencer par ce que je sais. »

Le travail des élèves

Interprétation de l’équation CH1 : Ouais, la poule… On va les regarder séparément… On va regarder la poule… Après ça, on va regarder la tirelire. Bon la poule, qu’est-ce que vous avez trouvé difficile ? S’il vous plaît ? EL1 : Mais pourquoi on a 21 en bas… CH1 : C’est quoi le 21 en bas ? Est-ce que quelqu’un serait capable de lui répondre ? Oui ? Vas-y… EL1 : Le 21 de x plus 2y égale 21, c’est à peu… Faut d’abord mettre les x et y comme poules et lapins. (S : Ok…). x, c’est des poules et y, c’est des lapins. Ensuite faut trouver euh… Comment on ferait pour avoir le bon nombre de pattes ? Ben je ferai 2x plus 4y égalent le nombre de pattes recherché… CH1: Pourquoi ce serait 2x plus 4y ? Pour que tout le monde suive bien ce que tu dis… EL1 : Parce que les poules ont deux pattes ! (S : Ok) Les lapins en ont quatre ! (…).ça donne 2x plus 4y égale 42… ça vaut le nombre de pattes. Mais là, ils donnent x plus 2 y égale 21. C’est la moitié ! De 2x plus 4y…

Rétroaction par le bilan

Modalité de composition

Utilisation par des élèves en difficulté Ne pas reprendre l’enseignement Ne pas faire faire des exercices Assumer le rôle de prof Demande: composer un item facile, un moyen et un difficile.

Exemples d’items d’élèves 2a + 3b + 9 = 53 Leur problème admet plusieurs solutions!

Un pas de transformation

Un commentaire d’élève INT: Je veux juste savoir si toi, ça c’est bien personnel, est-ce que tu penses que le fait d’avoir fait ces problèmes là ça pourrait t’aider par exemple dans ton examen de la semaine prochaine ? F2 : Ah! C’est sûr parce que je sais plus comment... moi j’ai fait un problème, je sais comment on fait un problème, comme à cette heure je sais comment on fait un problème. Faique maique je vois le problème je vais pouvoir savoir par où commencer puis comment le déchiffrer, comme la formule mettons.

Quelques caractéristiques Environnement ouvert côté prof Environnement ouvert côté élève Très peu de rétroaction de l’environnement (bilan) Gestion: retour en classe presque inévitable.

Conclusions Tous ces environnements sont des outils pour l’enseignement et l’apprentissage. C’est le marteau pour le menuisier… Ils visent à faire travailler les élèves Reste au prof à gérer le travail et institutionnaliser les savoirs développés Différence avec papier crayon… –Dans certains cas, simplement pratique –Dans d’autres cas, permet du nouveau –Dans tous les cas: cueillette de données Souplesse pour permettre une évolution au fur et à mesure de l’utilisation en classe.

Rétroaction de personnages