Mathématiques au cycle 2 Résolution de problèmes et apprentissages numériques Roland Charnay-2007

Qu'est-ce qu'un apprentissage mathématique réussi ? Des connaissances… … utilisables pour résoudre des problèmes … dont on comprend le fonctionnement Des capacités d'initiative et de rigueur Roland Charnay-2007

Origines principales des difficultés Compréhension des situations, des questions SENS Maîtrise des concepts Compréhension de ce qu'est une activité mathématique TECHNICITE insuffisante Roland Charnay-2007

Maîtriser un concept 4 pôles Roland Charnay-2007

Quels résultats, quelles procédures ? Quels problèmes ? Pour quoi faire ? Quels résultats, quelles procédures ? - à mémoriser - à savoir élaborer Comment ? Quel langage ? analogique verbal - symbolique Comment dire ? Quelles explications ? Pourquoi ? Roland Charnay-2007

Trois axes de travail Travailler sur des situations « matérielles » Réserver le travail sur fichier à l’entraînement Travailler avec les productions des élèves Favoriser et utiliser la diversité Aspect de la différenciation Roland Charnay-2007

Le cas de l'apprentissage des nombres de la GS au CP La genèse des nombres chez le jeune enfant Quel travail en Grande Section ? Comment amorcer le travail au CP ? Roland Charnay-2007

Importance de la "comptine" orale et du dénombrement L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures… Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos Roland Charnay-2007

L'acquisition de la comptine quelques étapes Grande variabilité selon les enfants (donc valeurs moyennes) 4 ans et demi : récitation jusqu'à seize 5 ans et demi : récitation jusqu'à quarante Mais savoir réciter n'est ni connaître complètement ni savoir utiliser Roland Charnay-2007

Connaître la "comptine" Vers 6 ans A partir de 6-7 ans A partir de 1 jusqu'à… A partir de … jusqu'à… A rebours (décompter) Utilisation pour dénombrer A partir de 6-7 ans Compter et décompter n nombres à partir de … Compter ou décompter de … à …, en comptant les nombres énumérés Roland Charnay-2007

Dénombrement Plusieurs compétences à développer Subitizing Quantités repères : constellations, doigts… Comptage un par un (3 principes importants) Correspondance nombre – objet Dernier nombre dit Indépendance du parcours des objets Estimation Roland Charnay-2007

Quatre objectifs importants pour la GS A quoi servent les nombres ? Quels problèmes ? Exprimer les quantités pour les mémoriser Repérer des positions dans une liste pour communiquer Traiter des problèmes "arithmétiques" (cf. partie calcul) Suite orale des nombres : stabilisation Dénombrement : différentes méthodes Correspondance suite orale - suite écrite, par le biais de la bande numérique Roland Charnay-2007

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 un deux trois quatre cinq Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre un deux trois quatre cinq 1 2 3 4 5 6 7 Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée un deux trois quatre cinq 1 2 3 4 5 6 7 Roland Charnay-2007

Préparer juste ce qu'il faut de gommettes pour réparer le robot A quoi servent les nombres ? Garder la mémoire des quantités (un exemple) Un problème de référence Préparer juste ce qu'il faut de gommettes pour réparer le robot Un type de problème à faire vivre en maternelle au CP D’après Cap maths CP Roland Charnay-2007

En grande section et au début du CP Les gommettes sont dans une boîte éloignée du robot Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers-retours possibles). Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le robot. Les demander oralement Les commander par écrit Roland Charnay-2007

Le travail sur fiche ne remplace pas l'expérience… mais peut la prolonger. Roland Charnay-2007

Les compétences techniques… … n'ont d'intérêt que si elles sont au service de la résolution de problèmes ; … mais certaines d'entre elles doivent être "automatisées" pour être utilisables. Roland Charnay-2007

Intérêt de situations « expérimentales » Appropriation immédiate de la situation et de la question Représentation mentale de la tâche Possibilité d’une vérification expérimentale de la réponse Roland Charnay-2007

L'étude des nombres au début du CP Travailler sur un domaine numérique assez étendu (jusqu'à seize ou vingt, par exemple) Stabiliser les acquis de la GS (comptine, types de dénombrement, diversité des "représentations matérielles") Les nombres "mémoire des quantités" Les nombres pour traiter des problèmes sur les quantités (augmentation, diminution, partage…) Relations entre nombres (suite, relation à 5 et 10…) Désignations orale et chiffrée (possibilité d'utiliser la file numérique, mise en évidence de régularités) Roland Charnay-2007

Le cas de l’apprentissage du calcul au cycle 2 Problèmes "arithmétiques" sans calcul en GS Les problèmes d'abord Priorité au calcul mental Roland Charnay-2007

Quels résultats, quelles procédures ? "Calcul" en GS ? Quels problèmes ? Pour quoi faire ? Quels résultats, quelles procédures ? à mémoriser à savoir élaborer Comment ? Quel langage ? analogique verbal symbolique Comment dire ? Quelles explications ? Pourquoi ? Roland Charnay-2007

Quelles procédures en GS ? Dessin et dénombrement Comptage "en avant" ou "en arrière", souvent aidé (doigts…) Utilisation de résultats déjà connus Roland Charnay-2007

L'enfant qui entre au CP… … a déjà une longue pratique de "l'addition" et de la "soustraction" et a développé diverses stratégies pour résoudre les problèmes qui lui ont été proposés… … sans disposer du langage symbolique (+, - , =) et sans nécessairement avoir mémorisé de résultat. Roland Charnay-2007

Un schéma pour le travail sur les opérations au cycle 2 Procédures Langage verbal puis symbolique Explications Problèmes    Roland Charnay-2007

Exemple de l'addition au CP Roland Charnay-2007

Un exemple de problème fondamental Dix dans la boîte (Cap maths CP) - deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup. Roland Charnay-2007

Dix dans la boîte : 3 problèmes Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup Plusieurs solutions… dont les nombres Connaître le contenu de la boîte Vers l’addition Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant Vers le complément Roland Charnay-2007

Place et rôle du matériel et des "manipulations" ANTICIPER / VALIDER un aspect essentiel de ce type de situation Roland Charnay-2007

Réel Anticiper Favorise l’appropriation de la situation et du problème Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures Roland Charnay-2007

… resitué dans une progression. "Dix dans la boîte"… … resitué dans une progression. Roland Charnay-2007

Avant "Dix dans la boîte" (1 unité) Combien de jetons dans la boîte ? (nombres de 1 à 10) Expérience effective avec anticipation : ajout et retrait de 1, de 2 ou de 3 Expérience évoquée (idem) Oralement : "3, j'ajoute 2" Roland Charnay-2007

Après "Dix dans la boîte" (2 unités) Entraînement : calcul oral "trois plus un", "quatre moins deux" Nouveaux problèmes : "Où suis-je ?" déplacements sur la ligne numérique Mise en place d'un langage symbolique répertoire de ce qu'on sait par coeur Roland Charnay-2007

Exemple de la multiplication au CE1 Roland Charnay-2007

Le problème des "tours" Cap Maths CE1 Par équipes de 2   Combien de tours, toutes pareilles, peut-on construire avec ces 30 cubes ? Trouvez le plus possible de possibilités. Il faut utiliser chaque fois tous les cubes. Problème présenté oralement, les cubes sont présents dans une boîte, mais non disponibles. Roland Charnay-2007

L'exploitation du problème Collectif : - Recensement des réponses 3 tours de 10 cubes 5 tours de 6 cubes… - Expression des procédures utilisées, contrôle des réponses   Dessin Comptage de n en n Ecriture additive Expression avec « fois » - Mise en évidence du lien entre réponses : 3 fois 10 et 10 fois 3… - Introduction du codage multiplicatif Roland Charnay-2007

Avant le problème des "tours" Problèmes d'addition itérée 4 pochettes de 5 photos… Des tours identiques avec 12 cubes Sommes de termes identiques Calcul de 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 Calcul de "3 fois 5" Obtenir 18 en ajoutant le même nombre Roland Charnay-2007

Exemple de la "division" au cycle 2 Roland Charnay-2007

Quelques difficultés dans l'apprentissage de la division ? Concevoir qu'elle permet de résoudre deux grands types de problèmes nombre de parts : combien de fois 4 dans 57 ? valeur de chaque part : combien à chacun si on "partage 57" en 4 parts égales ? Choisir la "bonne réponse" quotient quotient + 1 reste Ne pas disposer de signe opératoire (cas où le reste n'est pas nul) Technique de calcul posé utilisant la multiplication et la soustraction… et avec une incertitude sur le choix des chiffres du quotient Roland Charnay-2007

En GS et début de CP Des problèmes peuvent être proposés dès la grande section d'école maternelle et le CP Exemples, à propos de fabrication de maracas (petits tubes qui peuvent être fermés aux 2 extrémités) : un nombre donné de graines et de tubes : combien de graines par maracas ? un nombre donné de graines et tant de graines par maracas : combien de maracas possibles ? Roland Charnay-2007

Objets disponibles, en totalité ou en partie Résolution par l'action (prise de conscience des problèmes posés, nécessité d'ajuster) Objets non disponibles Résolution par "simulation" (doigts, autres objets, dessins, schémas) Roland Charnay-2007

En CP et CE1 : objets non disponibles Résolution par addition ou soustraction itérées (exemples avec 36 pépites à 3 personnages) 5 à chacun : 5 + 5 + 5 = 15 3 à chacun : 3 + 3 + 3 = 9 15 + 9 = 24 etc. 5 à chacun : 5 + 5 + 5 = 15 36 – 15 = 21 3 à chacun : 3 + 3 + 3 = 9 21 – 9 = 12 Essais de nombres à additionner 3 fois Résolution par multiplication essais ajustés : 10 x 3 = 30 15 x 3 = 45 etc. multiplication à trou :   x 3 = 45 Roland Charnay-2007