APPRENDRE À PARTIR DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES A QUELLES CONDITIONS ? 1 Septembre 2012 Roland Charnay

LES ENJEUX VUS PAR LE SOCLE I Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul. I Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser. L La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. Septembre 2012 Roland Charnay 2

COMPLÉMENT ET SOUSTRACTION UN EXEMPLE AU CE2 Septembre 2012 Roland Charnay 3

DES PROBLÈMES DE DIFFICULTÉ DIFFÉRENTE Un problème réussi précocement Pierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ? Deux problèmes réussis plus tardivement Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis. Combien a-t-il d’images de tennis ? Pierre a reçu 14 images de Jacques. Il en en a maintenant 23. Combien en avait-il avant ? Septembre 2012 Roland Charnay 4

Un problème mal réussi, même tardivement Pierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ? Septembre 2012 Roland Charnay 5

LA DÉLICATE QUESTION DU « SENS » DES OPÉRATIONS (exemple de la soustraction) Septembre 2012 Roland Charnay 6

LE PASSAGE À LA 2e CATÉGORIE DE SENS SE HEURTE À UN OBSTACLE La soustraction est d’abord pensée comme donnant la valeur d’un reste après une diminution. Une situation de type « complément » est d’abord reliée à une addition « à trou ». Comment aider les élèves à accepter et comprendre qu’un problème de type « recherche d’un complément » peut se résoudre à l’aide d’une soustraction ? Septembre 2012 Roland Charnay 7

MATERIEL DE L'ENSEIGNANT LE PROBLÈME CHOISI Combien de points cachés ? MATERIEL DE L'ENSEIGNANT  une feuille de points (nombre de points connu des élèves)  une feuille cache Septembre 2012 Roland Charnay 8

LA QUESTION Combien de points sont cachés ? 34 points sur la feuille Septembre 2012 Roland Charnay 9

DÉBAT ET CONFLIT ÉVENTUEL ENTRE ÉLÈVES A propos de réponses et de procédures différentes, par exemple : 40, obtenu par addition (34 + 6) 28, obtenu par complément (dessin, surcomptage, addition à trou) 28, obtenu par soustraction Autres réponses, à cause d’erreurs de calcul A propos d’arguments 40 c’est impossible : il ne peut pas y en avoir plus de 34 ! Pourquoi tu soustrais, on en a pas enlevé 6… Septembre 2012 Roland Charnay 10

CONTRADICTION ET CONFLIT AVEC LA RÉALITÉ Si on compte les jetons cachés après avoir enlevé le cache, on trouve 28 jetons, pas 40 ! La réponse par addition ne convient donc pas. Mais pourquoi, la soustraction fournit-elle la bonne réponse ? Septembre 2012 Roland Charnay 11

POURQUOI LA SOUSTRACTION ? Nouveau problème : Feuille avec 34 points. 11 points visibles. Une question avant comptage des points cachés : Comment faire pour n’avoir sur la feuille que les points cachés ? Septembre 2012 Roland Charnay 12

D’UNE QUESTION A UNE AUTRE Suggestions : Il faut cacher ceux qu’on voit Il faut couper la partie visible… Question : Il y avait 34 points sur la feuille. Pour savoir combien sont cachés, on supprime ceux qui sont visibles. Quel calcul permet de connaître ce nombre de points ? Réponse : On a enlevé 11 points. Il faut calculé 34 -11…. Septembre 2012 Roland Charnay 13

UNE SYNTHÈSE NÉCESSAIRE On cherche ce qui manque à 11 pour avoir 34. ce qu’il faut ajouter à 11 pour avoir 34 ce qui conduit à calculer 11 + … = 34 On peut remplacer la question initiale par une autre question Pour savoir combien il y a de points cachés, on peut imaginer qu’on enlève ceux qui sont visibles ce qui conduit à calculer 34 – 11 = La situation des points cachés pourra être utilisée comme situation de référence pour d’autres problèmes de recherche de complément. Septembre 2012 Roland Charnay 14

CARACTERISTIQUES DE L’APPRENTISSAGE À PARTIR DE PROBLÈMES Un apprentissage marqué par 4 interactions Septembre 2012 Roland Charnay 15

CONFRONTATION ELÈVE PROBLÈME Un problème qui permet à l’élève d’investir ses connaissances anciennes. Un problème qui résiste à ces connaissances, car insuffisantes ou partielles. Une situation qui est « répondante » : l’élève peut vérifier la validité de ses procédures ou de ses réponses. Une situation qui est « explicative » : l’élève peut s’appuyer sur la situation pour comprendre la nouvelle connaissance. Une situation qui est « exemplaire » : elle peut être évoquée pour traiter d’autres problèmes. Septembre 2012 Roland Charnay 16

CONFRONTATION ELÈVE ELEVES La mise en œuvre permet la coopération des élèves pour élaborer une réponse. La mise en œuvre permet la confrontation, le débat, l’argumentation entre élèves à propos des réponses et des procédures. Septembre 2012 Roland Charnay 17

CONFRONTATION ELÈVE ENSEIGNANT L’enseignant intervient peu pendant la phase de résolution. L’enseignant gère les échanges, les focalise sur les points essentiels. L’enseignant synthétise les nouvelles connaissances, les reformule, les exemplifie, apporte des éléments de langage (vocabulaire, schémas…). L’enseignant met en évidence ce qui peut être généralisé, être utile pour résoudre d’autres problèmes. Septembre 2012 Roland Charnay 18

CONFRONTATION ELÈVE AUTRES SITUATIONS Exercices d’entraînement, de consolidation. Autres problèmes pour conforter le recours à la nouvelle connaissance. Evaluation. Septembre 2012 Roland Charnay 19

EXEMPLES D’ENTRAÎNEMENT ET DE CONSOLIDATION Septembre 2012 Roland Charnay 20

RENFORCEMENT PAR LE CALCUL MENTAL Equivalence complément-soustraction 2 pour aller à 47  plutôt soustraction 36 pour aller à 40  plutôt complément 20 pour aller à 50  plutôt ? 52 – 4  plutôt soustraction 61 – 58  plutôt complément 60 – 35  plutôt ? Septembre 2012 Roland Charnay 21

UN EXEMPLE AU CM1 Les nombres décimaux Septembre 2012 Roland Charnay 22

UN APPRENTISSAGE DIFFICILE (exemples d’erreurs) Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n’ y a que 2,6 Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième… Dans 234,57  3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des dixièmes Calcul 2,3 x 10 = 20,3 ou 2,30 ou 20,30 entrée en Sixième : 64% de réussite 35,2 x 100 = 3500,2 ou 3500,200 ou 352 entrée en Sixième : 47% de réussite 2,3 + 0,8 = 2,11 (2 + 0 = 2 ; 3 + 8 = 11) 2,3 x 0,8 = 0,24 (2 x 0 = 0 ; 3 x 8 = 24) Septembre 2012 Roland Charnay 23

DIFFICULTÉS, OBSTACLES La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants" Symétrie due à une mauvaise interprétation de la virgule Elle est destinée à signaler l’unité (pas à séparer le nombre en 2 parties) Une notation comme 234567 assurerait la symétrie de dizaine (10 unités) et dixième (1/10 d’unité), ce que la virgule masque 234,567 234567 234,567 Idée de "nombre" suivant valide pour les entiers ne l’est pas pour les décimaux Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes Usage social : 3,25 € pour 3€ 25c Septembre 2012 Roland Charnay 24

LE CAS DE LA MULTIPLICATION PAR 10, 100… Les élèves cherchent les réponses par deux. Éventuellement, un groupe témoin doit réaliser la réponse avec le matériel. Septembre 2012 Roland Charnay 25

RECENSEMENT DES RÉPONSES ET DÉBAT 0,4 x 10 Réponses erronées utilisant la « règle des 0 » 0,40 argument : c’est 0,4 ! 00,4 argument : les 0 à gauche ne comptent pas. c’est 0,4 ! 0,04 argument : c’est plus petit que 0,4, ce n’est donc pas 0,4 pris 10 fois ! 00,40 argument : c’est 0,4 ! Réponses correctes obtenues par addition répétée de 0,4 (dix fois) Réponses correctes obtenues par raisonnement 0,4 c’est 4 dixièmes 0,4 x 10, c’est 10 fois 4 dixièmes, donc 40 dixièmes 10 dixièmes, c’est 1 donc 40 dixièmes c’est 4 Septembre 2012 Roland Charnay 26

VERS L’APPRENTISSAGE (mise en commun) 0,4 x 10 Inventaire des réponses et procédures. Les réponses erronées sont démenties par des arguments par une procédure reconnue comme imparable : l’addition répétée (mais longue à mettre en oeuvre, donc il faut en trouver une autre) Par la réponse obtenue à l’aide du matériel qui illustre la procédure « par raisonnement » Un dixième pris 10 fois 0,4 ou 4 dixièmes Septembre 2012 Roland Charnay 27

EN SYNTHÈSE , Premier élément de synthèse Deuxième élément de synthèse La « règle des 0 » ne s’applique pas avec les nombres décimaux. Deuxième élément de synthèse Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur dix fois plus grande. Illustration du raisonnement à l’aide du matériel (pour la multiplication par 100, le matériel ne pourra être qu’évoqué) Troisième élément de synthèse Le raisonnement traduit dans le tableau de numération. , La virgule ne change pas de place !!! Septembre 2012 Roland Charnay 28

UN EXEMPLE AU CM2 DIFFÉRENTS TYPES DE PREUVE La proportionnalité Septembre 2012 Roland Charnay 29

Validation expérimentale PROPORTIONNALITÉ ET AGRANDISSEMENT CAP MATHS Validation expérimentale Septembre 2012 Roland Charnay 30

Validation par le débat Proportionnalité et comparaison Cap maths Validation par le débat Septembre 2012 Roland Charnay 31

PLUSIEURS TYPES DE RAISONNEMENT Se ramener au même nombre de pages Se ramener au même nombre de pages illustrées Utiliser le rapport entre nombre de pages illustrées et nombre de pages ("1 sur 3" ou "1 pour 3" dans le dernier cas) A l'école primaire : se ramener à un référent commun Roland Charnay 32 Septembre 2012

Autre exemple Référent commun : on peut chercher pour des livres de 12 pages, de 48 pages, de 144 pages… 33 Roland Charnay Septembre 2012

Recherche à la charge des élèves. TRAVAIL DE L’ENSEIGNANT ET DES ÉLÈVES DANS LE CADRE D’UNE SITUATION-PROBLÈME. Recherche à la charge des élèves. Moments d’explicitation des solutions et d’argumentation entre élèves sur leur validité. Validation par les élèves (matérielle ou par arguments convaincants). Synthèse par l’enseignant : généralisation, éléments à retenir, langage… Traces écrites (références). Entraînement sur la connaissance mise en place. Septembre 2012 Roland Charnay 34

RÔLE DE L’ERREUR DANS CE MODÈLE D’APPRENTISSAGE. L’erreur devient un point d’appui en cours d’apprentissage d’abord comme révélateur des obstacles que rencontrent l’élève : exemple de la soustraction assimilée à une situation de diminution L’erreur n’est un point d’appui pour l’apprentissage que si les conditions de sa prise de conscience et de son dépassement sont réunies : par le débat : pourquoi telle réponse n’est pas correcte ? Pourquoi telle autre est possible ? par l’expérimentation (cf. points cachés ; cf. agrandissement). Septembre 2012 Roland Charnay 35

AUTOUR DU CERCLE EN CM1… Quelques exemples de problèmes Septembre 2012 Roland Charnay 36

Construire un cercle de diamètre donné En exemple, des pièces qui "passent" ou qui ne "passent pas" sont montrées au préalable. A la fin une validation expérimentale est possible. Septembre 2012 Roland Charnay 37

PROBLÈME : FAIRE APPARAÎTRE UN DIAMÈTRE 1ère étape : tous les moyens sont possibles. 2e étape : les instruments de géométrie sont interdits. Septembre 2012 Roland Charnay 38