Intégration ; calcul de primitives CHAPITRE 9 Intégration ; calcul de primitives

Notion d’intégrale : Comment calculer l’aire d’un sous-ensemble borné A du plan ? Les méthodes « probabilistes » (Monte Carlo) Les méthodes numériques -Les formules exactes

Le cas des unions de rectangles

Méthode de Monte Carlo Nombre de points tombant dans D/ Nombre de points « jetés »

Un exemple d’ensemble fractal (de la difficulté de mesurer tout et n’importe quoi !)

m*(A) = inf ( mesure des unions de pavés recouvrant A) Mesure « extérieure » d’un ensemble borné du plan m*(A) = inf ( mesure des unions de pavés recouvrant A)

m* (A D Re) < e On peut « mesurer » A si et seulement si : Pour tout e >0 , il existe une union de pavés Re telle que : m* (A D Re) < e aire (A) = inf (m*(unions de pavés contenant A))

Sk Le cas des fonctions continues positives sur un segment [a,b] Ik a (b-a)/N (supIk f – infIk f)  0 Ik xN,1 xN,2 a b (b-a)/N (f(xN,1)+ f(xN,2)+…+ f(xN,N))  aire de {(x,y) ; 0 b y b f(x)}

Définition de l’intégrale d’une fonction continue sur [a,b] f = sup (f,0) – sup (-f,0) = f+ - f- ! f(t) dt := aire {(x,y); 0 b y b f+(x)} – aire {(x,y) ; 0 b y b f-(x)} [a,b] b ! f(t) dt a

+ + -

Le cas des fonctions à valeurs complexes f = Re (f) + i Im (f) b ! ! b ! b f(t) dt = Re (f(t)) dt +i Im (f(t)) dt a a a

Propriétés de l’intégrale linéarité ! b ! ! b b (l f(t)+ m g(t)) dt = l f(t) dt +m g(t) dt a a a monotonie ! ! b b f b g sur [a,b] f(t) dt b g(t) dt a a | | ! b ! b b | f(t) | dt f(t) dt a a

! ! ! ! ! Relation de Chasles b c b f(t) dt = f(t) dt + g(t) dt c a a x y avec la convention : f(t) dt = - f(t) dt x y lorsque y < x (f continue sur I , a, b, c étant trois points de I)

Le théorème « fondamental » de l’analyse Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I de R et a un point de I . La fonction : ! x x e I  F(x) := f(t) dt a est dérivable sur I, de dérivée F’=f sur I F primitive de f sur I

! Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, de dérivée continue sur I Soit [a,b] un segment inclus dans I ; alors : ! b f’(t) dt = f(b) – f(a) a

Application 1 : la formule d’intégration « par parties » Soit I un intervalle ouvert de R , f et g deux fonctions dérivables sur I, avec f’ et g’ aussi continues sur I ; si [a,b] est un segment de I : b ! ! b f’(t) g(t) dt = f(b) g(b) – f(a) g(a) - f(t) g’(t) dt a a

Application 2 : la formule de changement de variables Soit I et J deux intervalles ouverts de R Soit u : I  J , strictement monotone, dérivable et de dérivée continue sur [a,b] c I avec c := u(a), d:= u(b) ; alors: ! d=u(b) ! b f(s) ds = f( u(t)) u’(t) dt c=u(a) a pour toute fonction continue f : J  R

Quelques exemples d’application de ces méthodes Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques hyperboliques Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction rationnelle Fonctions du type t  tn exp ( l t) Fonctions du type t  tn cos (l t) ou t  tn sin (lt) Fonctions du type x  F(x, (ax2+bx+c)1/2)

Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques cos (t) = 2 cos2 (t/2) -1 = (1-u2)/(1+u2) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u2) t e ]-p, p[ u= tan (t/2) , t = 2 Arctan u

! P(cos t, sin t) dt Q(cos t, sin t) [a,b] c ]-p, p [ u = tan (t/2) t = 2 Arctan u [a,b] c ]-p, p [ b 2u ------ 1+u2 tan (b/2) 1- u2 ------ 1+u2 ! P(cos t, sin t) 2du ------ 1+u2 dt Q(cos t, sin t) 1- u2 ------ 1+u2 2u ------ 1+u2 a tan (a/2)

! S Linéarisation des polynômes trigonométriques j=N aj sin (kj q) – bj cos (kj q) --------------------------------- kj P (cos q , sin q) = a0 + (aj cos (kj q) + bj sin (kj q)) a0 q dq j=1

! P( cosh t , sinh t ) dt Q(cosh t, sinh t ) [a,b] c R Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques hyperboliques u = exp (t) t = log u [a,b] c R b u +(1/u) ---------- 2 u-(1/u) -------- 2 exp(b) ! P( cosh t , sinh t ) du ------ u dt u-(1/u) --------- 2 Q(cosh t, sinh t ) u+(1/u) ---------- 2 a exp (a)

Intégrales abéliennes b2- 4 ac ! V dx F ( x , ax2 + bx + c ) a [(x+b/2a)2 - D/4a2] a < 0 , D=d2 > 0 a > 0 , D=-d2 < 0 a > 0 , D = d2 >0 x = -b/2a + (d/2a) sinh u x = -b/2a + (d/2a) cos u ou x = -b/2a - (d/2a) sin u x = -b/2a + (d/2a) cosh u ou x = -b/2a - (d/2a) cosh u

Primitives de fractions rationnelles ! ? ! S k=N P(x) R(x) ---- = ak xk + ----- Q(x) Q(x) ak xk+1 --------- k+1 dx dx k=0 deg R < deg (Q) Cas particuliers : deg (Q) = 1 et deg (Q) =2

! Premier cas : b2-4ac >0 a x + b dx a (x –x1) (x-x2) a x2 + bx + c || u1 log |x-x1| u2 log |x-x2| u1 u2 ------ + ------- x-x1 x- x2

! Second cas : b2-4ac = 0 a x + b dx a (x –x0)2 a x2 + bx + c || a log |x-x0| --------------- a - (a x0 + b) --------------- a (x-x0) a a x0 +b ------- + --------- a(x-x0) a (x- x0)2

! Troisième cas : b2-4ac = -d2 < 0 a x + b dx a [(x +(b/2a))2 + (d2/4a2)] a x2 + bx + c || 2av x + (b/2a) ---- Arctan 2a ----------------- d d u log [ (x+(b/2a))2 + (d2/4a2)] ------------------------------------ 2 x + (b/2a) v u ------------------- + ------------------ (x +(b/2a))2 + (d2/4a2) (x+(b/2a))2 + (d2/4a2)

Fin du chapitre 9