Nombres réels et propriétés de R CHAPITRE 3

Fractions : développements décimaux le point de vue « concret » (hérité de lenseignement primaire)

Rationalité développement décimal périodique périodique , Lun des restes possibles !

___ ___ x = 12, ___ ___ 1000 x – = 0, 572 ___ ___ 1000 (1000 x – 12431)= 572, (1000 x ) – 572 = 1000 x x = (999 x )/ x = (999 x )/ Développement décimal périodique rationalité rationalité

Fractions : écriture décimale et décimaux x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. Partie entière décimales _ m + O, d 1 d 2 d 3 d 4 … d N 0 _ m + O, d 1 d 2 d 3 d 4 … (d N -1) 9 = nombres décimaux

Un « manque » à Q : un ensemble majoré na pas nécessairement de plus petit majorant dans Q ! Exemple : lensemble des nombres rationnels positifs dont le carré est inférieur ou égal à 2 ! Exemple : lensemble des nombres rationnels positifs dont le carré est inférieur ou égal à 2 ! Il faut en connaître une (ou plusieurs) preuves !!

Une approche de lensemble des nombres réels : les développements décimaux « illimités » x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. Partie entière décimales Q= {développements illimités avec motif périodique} R

Un ordre sur R x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. x est « inférieur ou égal à x » si et seulement si m est inférieur ou égal à m et si la suite (d n ) n précède la suite (d n ) n pour lordre lexicographique construit à partir des lettres {0,…,9}

Suites de nombres réels et convergence x n = m n + 0, d n,1 d n,2 d n,3 d n,4 … d n,p … x n = m n + 0, d n,1 d n,2 d n,3 d n,4 … d n,p … x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p … x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p … La suite de nombres réels (x n ) n converge vers le nombre réel x si et seulement si : 1. La suite dentiers relatifs (m n ) n finit par « stationner » pour n assez grand à lentier relatif m 2. Pour tout entier positif p, la suite de chiffres (d n,p ) n finit par « stationner » pour n assez grand à lentier d p x n = x(n)

Une propriété essentielle des suites monotones de nombres réels Toute suite (x n ) n de nombres réels croissante (au sens de lordre) et majorée est convergente Toute suite (x n ) n de nombres réels croissante (au sens de lordre) et majorée est convergente Toute suite (y n ) n de nombres réels décroissante (au sens de lordre) et minorée est convergente Toute suite (y n ) n de nombres réels décroissante (au sens de lordre) et minorée est convergente

Les opérations sur R x + y = ? x n x y p = u p,n (décimaux) x n x y p = u p,n (décimaux) x x y p = ? x n + y n = z n (décimaux) x n + y n = z n (décimaux) x+y upupupup x x y = ? xy

Ordre et opérations Compatibilité des deux opérations avec lordre Compatibilité des deux opérations avec lordre R est archimédien : étant donnés deux nombres réels x et y avec x >0, il existe un entier N tel que N x > y R est archimédien : étant donnés deux nombres réels x et y avec x >0, il existe un entier N tel que N x > y

Commutativité Commutativité x+y=y+x x+y=y+x Associativité Associativité x+(y+z)= (x+y) +z x+(y+z)= (x+y) +z Elément neutre 0 : Elément neutre 0 : x+0 = 0 + x = x x+0 = 0 + x = x Tout élément x admet un « opposé » -x Tout élément x admet un « opposé » -x x+ (-x) = (-x) + x = 0 x+ (-x) = (-x) + x = 0 Commutativité Commutativité x x y=y x x x x y=y x x Associativité Associativité x x (y x z)= (x x y ) x z x x (y x z)= (x x y ) x z Elément unité 1: Elément unité 1: x x 1 = 1 x x = x x x 1 = 1 x x = x Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : x y = y x = 1 x y = y x = 1 Addition Multiplication Distributivité mult/addition x x (y + z) = (x x y) + (x x z) (R,+, x) corps commutatif (R,+) groupe abélien Propriétés des opérations x +

Suites adjacentes et lemme « des gendarmes » 1.Pour tout n dans N, les nombres x n, x n+1, y n+1, y n sont rangés dans cet x n, x n+1, y n+1, y n sont rangés dans cet ordre (croissant) ordre (croissant) 2. La suite (y n -x n ) n converge vers 0 Soient deux suites (x n ) n et (y n ) n de nombres réels telles que : Les deux suites (x n ) n et (y n ) n sont dites adjacentes Lemme des gendarmes : « deux suites de nombres réels adjacentes sont toutes deux convergentes vers un même nombre réel »

Un exemple dapplication : à la recherche des décimales de p u n = 4 (1- 1/3 + 1/5 + … +1/(4n-3) – 1/(4n-1)) u n = 4 (1- 1/3 + 1/5 + … +1/(4n-3) – 1/(4n-1)) v n = u n + 4 /(4n+1) [deux suites adjacentes !] v n = u n + 4 /(4n+1) [deux suites adjacentes !] ou par la formule de John Machin ( )

R vérifie la « propriété de la borne supérieure » Soit A un sous-ensemble non vide et majoré de R ; lensemble des majorants de A admet dans R un plus petit élément (noté sup(A)). Cet élément est appelé borne supérieure de A Caractérisation de sup (A) (deux clauses) 1. Cest un majorant de A 2. Si y< sup(A), il existe toujours au moins un point x de A avec y<x et x inférieur ou égal à sup (A)

Une esquisse de preuve via le « lemme des gendarmes » A | | | | | | | k / 10 n ynynynyn xnxnxnxn sup(A) = lim (x n )= lim (y n ) R

Idem en ce qui concerne la « propriété de la borne inférieure » Soit A un sous-ensemble non vide et minoré de R ; lensemble des minorants de A admet dans R un plus grand élément (noté inf(A)). Cet élément est appelé borne inférieure de A Caractérisation de inf (A) (deux clauses) 1. Cest un minorant de A 2. Si y > inf (A), il existe toujours au moins un point x de A avec x inf (A), il existe toujours au moins un point x de A avec x<y et x supérieur ou égal à inf (A)

La valeur absolue La valeur absolue |x y | = |x| |y| |x y | = |x| |y| |x + y | b |x| + |y| (inégalité triangulaire, volet de droite) |x + y | b |x| + |y| (inégalité triangulaire, volet de droite) | |x| - |y| | b |x – y | (inégalité triangulaire, volet de gauche) | |x| - |y| | b |x – y | (inégalité triangulaire, volet de gauche) |x| : = sup ({ x, -x }) |x| : = sup ({ x, -x })

Intervalles (bornés) de R Intervalles (bornés) de R Intervalles ouverts : ]a,b[ ={x ; a<x<b} Intervalles ouverts : ]a,b[ ={x ; a<x<b} Intervalles fermés : [a,b] ={x ; a b x b b} (on dit aussi « segments ») Intervalles fermés : [a,b] ={x ; a b x b b} (on dit aussi « segments ») Intervalles semi-ouverts (2 types) : [a,b[ ={x ; a b x < b} ]a,b] ={x ; a < x b b} Intervalles semi-ouverts (2 types) : [a,b[ ={x ; a b x < b} ]a,b] ={x ; a < x b b}

Intervalles (non bornés) de R Intervalles (non bornés) de R Intervalles ouverts : 3 types {x ; x a}, R Intervalles ouverts : 3 types {x ; x a}, R Intervalles fermés : 3 types {x ; x b b}, {x ; x r a}, R Intervalles fermés : 3 types {x ; x b b}, {x ; x r a}, R

Intérieur, adhérence Intérieur, adhérence intérieur (I) : é I \ {bornes (sup et inf)} = I intérieur (I) : é I \ {bornes (sup et inf)} = I adhérence (I) : _ I ( {bornes (sup et inf)} = I adhérence (I) : _ I ( {bornes (sup et inf)} = I

R vérifie le principe des « segments emboîtés » [a 1,b 1 ] [a 1,b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3,b 3 ] x Si ([a n,b n ]) n est une suite de segments emboîtés les uns dans les autres (au sens où [a n+1,b n+1 ] est inclus dans [a n,b n ] pour tout n), il existe nécessairement au moins un point dans tous les segments [a n,b n ].

Une application du principe des segments emboîtés : la non-dénombrabilité de R x 1 x 3 x 2 x 4 | | | | x S x 1, x 2, … ( (preuve par labsurde)

Sous-ensembles ouverts Un ouvert U de R est un sous-ensemble voisinage de chacun de ses points, ce qui signifie : Pour tout x dans U, il existe un intervalle ouvert borné I x contenant x et inclus dans U ] | [ x U

Sous-ensembles fermés Un sous-ensemble F de R est dit fermé si et seulement si son complémentaire est ouvert.

Intérieur, adhérence, frontière dun sous-ensemble E de R o Lintérieur E dun sous-ensemble E de R est le plus grand sous-ensemble ouvert de R inclus dans E _ Ladhérence E dun sous-ensemble E de R est le plus petit sous-ensemble fermé de R contenant E _ o _ o Frontière de E : = E \ E

Un point x de R est adhérent à un sous-ensemble E si et seulement si on peut latteindre comme limite dune suite de points de E. Caractérisation de ladhérence

La droite numérique « achevée » Adjonction à R de deux éléments Adjonction à R de deux éléments R - linfini + linfini

La droite numérique « achevée » (une autre manière de procéder) Adjonction à R dun élément Adjonction à R dun élément R x m Linfini 0

Fin du chapitre 3