CHAPITRE 6 Fonctions numériques

Le plan du chapitre Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée, opérations et théorèmes sur les limites Continuité d’une fonction en un point et sur un ensemble Opérations sur les fonctions continues Fonctions strictement monotones sur un intervalle Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle Extréma (maxima ou minima) locaux Dérivées successives

Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 1 D D l R R _ a e D f f admet une limite finie l e R au point a si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D : lim (xn)n = a lim (f(xn))n = l

f admet une limite finie l e R au point a Pour tout e >0, il existe h >0 , tel que : (x appartient à D et |x-a| < h ) |f(x) – l | < e

Le cas particulier où le point a est un point de D f : D ----> R a point de D lima f existe dans R (et vaut nécessairement f(a)) f est continue en a

Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 2 D D l R R _ a e D \ D f f tend vers + l’infini au point a si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D : lim (xn)n = a lim (f(xn))n =+ l’infini

f tend vers + l’infini au point a Pour tout A >0, il existe h >0 , tel que : (x appartient à D et |x-a| < h ) f(x) > A

Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 3 D D l R R _ a e D \ D f f tend vers - l’infini au point a si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D : lim (xn)n = a lim (f(xn))n =- l’infini

f tend vers - l’infini au point a Pour tout A >0, il existe h >0 , tel que : (x appartient à D et |x-a| < h ) f(x) < - A

Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 4 D _ +infinie D \ D D l R R f f tend vers l lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D lim (xn)n = +infini lim (f(xn))n =l

f admet une limite finie l e R en + l’infini Pour tout e >0, il existe B >0 , tel que : (x appartient à D et x > B ) |f(x) – l | < e

Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 5 D _ +infinie D \ D D l R R f f tend vers + infini lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D lim (xn)n = +infini lim (f(xn))n =+ infini

f tend vers + l’infini lorsque x tend Pour tout A >0, il existe B >0 , tel que : (x appartient à D et x > B) f(x) > A

f tend vers - l’infini lorsque x tend Pour tout A >0, il existe B >0 , tel que : (x appartient à D et x > B) f(x) < - A

Composition des limites (1) lima (g o f) = L D R E R f g f(D) l E _ a e D _ lima f=l e E _ liml g=L e R

Composition des limites (2) lima (g o f) = L D R E R f g f(D) l E _ a e D _ lim+infini g=L e R _ lima f=+infini e E

Composition des limites (3) Lim+l’infini(g o f) = L D R E R f g f(D) l E _ + infini e D \ D _ lim+infini g=L e R _ lim+ l’infini f=+infini e E

quand x tend vers + l’infini Attention aux formes indéterminées ! ? x2 – x ? (log x) /x = (1/x) x log x quand x tend vers + l’infini Lim (a0 xp + a1 x p-1 + … + ap) = + l’infini si a0 > 0 - l’infini si a0 < 0

? ? Attention aux formes indéterminées ! P(x)/Q(x) (P(x))1/k – Q(x) , k dans N*, en + l’infini (a0 xp + a1 x p-1 + … + ap)1/k = a01/k xp/k ( 1 + (a1/a0) x-1 + … )1/k b0 xq + b1 xq-1 + … + bq = b0 xq (1+ (b1/b0)x-1 + …)

Rappel de règles concernant les limites de suites

Limite à droite en un point a a est adhérent à Va+:= {x dans D ; x >a} La restriction de f à Va+ admet pour limite l au point a

Limite à gauche en un point a a est adhérent à Va-:={x dans D ; x <a} La restriction de f à Va- admet pour limite l au point a

« Une fonction monotone (c’est-à-dire croissante ou décroissante) sur un intervalle ouvert ]a,b[ (borné ou non) admet une limite à gauche et à droite en tout point  de ]a,b[»

Fonction continue en un point (rappel) f : D ----> R x0 point de D limx0 f existe dans R (et vaut nécessairement f(x0)) Continuité à droite (si existence de la limite à droite, égale nécessairement à f(x0)) Continuité à gauche (si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à f(x0))

Fonctions continues sur un segment [a,b] I. Une fonction f continue sur un segment [a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce segment) et à valeurs réelles est à la fois minorée et majorée sur [a,b]. II. Les deux bornes inf [a,b] f et sup[a,b] f sont atteintes par f en des points de [a,b]

Théorème des valeurs intermédiaires Une fonction f continue sur un segment [a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce segment) prend (sur ce segment) au moins une fois toute valeur intermédiaire y du segment [inf [a,b] f , sup [a,b] f] . Preuve par l’absurde !

Fonctions strictement monotones et continues sur un intervalle (1) M = sup {f(x), x dans I} I intervalle de R f(I) f(I) intervalle de R (du même type) I m=inf {f(x), x dans I} f : I  f(I) bijective f admet une application inverse f-1 : f(I)  I

Fonctions strictement monotones sur un intervalle (2) f-1 strictement monotone (même type que f) y f(I) I f continue f-1 continue f-1(y-) c f-1(y) c f-1(y+) = =

Fonction réciproque d’une fonction strictement monotone f : I  J=f(I) [(x e I) et (y=f(x))] [(y e J) et (x=f-1(y))] Graphe (f) = {(x,y) e I x J ; y =f(x)} Graphe (f-1) = {(y,x) e J x I ; y=f(x)}

Droite ‘miroir’ y=x (x0,y0) (y0,x0)

Dérivabilité en un point et sur un intervalle f définie dans un intervalle ouvert contenant un point donné x0 f(x0+h) = f(x0) + a(x0) h + h e(h) pour tout h de valeur absolue assez petite e défini dans un intervalle ]-h,h[ (privé de 0) et lim0 e = 0

Interprétation géométrique (x0+h, f(x0+h)) (x0, f(x0)) y=a(x0)(x-x0)+ f(x0)

Dérivabilité en un point Continuité en ce point Isaac Newton (1643-1727)

Opérations sur les fonctions dérivables f et g dérivables en x0 f+ g dérivable en x0 , (f+g)’(x0)= f’(x0)+g’(x0) fg dérivable en x0 , (fg)’(x0)= f’(x0) g(x0)+g’(x0) f(x0)

Dérivabilité de x  xn n > 0 (x0+h)n = x0n + n x0n-1 h + o(h) n > 0 et x0 non nul (x0+h)-n = x0-n - n x0-n-1 h + o(h)

Règle de Leibniz f définie au voisinage de x0 et dérivable en x0 G.W. von Leibniz (1646-1716) f définie au voisinage de x0 et dérivable en x0 g définie au voisinage de f(x0) et dérivable en f(x0) (gof)’(x0) g o f dérivable en x0 car : (g o f) (x0+h) = g (f(x0+h)) = g (f(x0) + h f’(x0) + o(h)) = g(f(x0)) + h g’(f(x0)) x f’(x0) + o(h)

Opérations sur les fonctions dérivables f et g dérivables en x0 et g(x0) non nul f/g dérivable en x0 et f’(x0) g(x0) - g’(x0) f(x0) (f/g)’(x0) = ______________________ (g(x0))2

Dérivabilité de la fonction inverse Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle ouvert I de R, dérivable sur I On suppose f’ R 0 sur I (f’>0 ou f’<0) f-1 : f(I)  I est dérivable sur f(I) 1 (f-1)’(y0) = -------------- f’ ( f-1 (y0))

y= y0 + f’(x0) (x-x0) (x0,y0) x= y0 + f’(x0) (y-x0) (y0,x0)

Remarque : un énoncé admis Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I , de dérivée identiquement nulle sur I , est constante sur I. Attention cependant Aux escaliers du diable !

Maximum local en un point Une fonction (à valeurs réelles) f définie dans un intervalle ouvert I contenant un point x0 admet un maximum local en x0 Il existe e>0 tel que [x0 - e, x0+ e] c I et que, pour tout x dans [x0 – e , x0+ e], f(x) est inférieur ou égal à f(x0)

Minimum local en un point Une fonction (à valeurs réelles) f définie dans un intervalle ouvert I contenant un point x0 admet un minimum local en x0 Il existe e>0 tel que [x0 - e, x0+ e] c I et que, pour tout x dans [x0 – e , x0+ e], f(x) est supérieur ou égal à f(x0)

Extréma locaux et dérivabilité Si une fonction à valeurs réelles, définie et dérivable sur un intervalle ouvert I de R, admet un extrémum local (maximum ou minimum) en un point x0 de I, alors : f’(x0) = 0 Mais la réciproque est fausse !!

Dérivées successives Si f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R est dérivable en tout point de I assez voisin d’un point x0 de I donné et que de plus f’ est dérivable en x0 On dit que f est deux fois dérivable en x0 et on pose f’’(x0) = (f’)’(x0)

Dérivées successives (suite) Si f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R est deux fois dérivable en tout point de I assez voisin d’un point x0 de I donné et que de plus f’’ est dérivable en x0 On dit que f est trois fois dérivable en x0 et on pose f’’’(x0) = (f’’)’(x0)

Dérivées successives (suite) Si f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R est n fois dérivable en tout point de I assez voisin d’un point x0 de I donné et que de plus la fonction dérivée n-ème f (n) est dérivable en x0 On dit que f est n+1 fois dérivable en x0 et on pose f (n+1) (x0) = (f(n))’(x0)

Fonctions de classe C sur un intervalle ouvert de R 8 Fonctions de classe C sur un intervalle ouvert de R Une fonction admettant des dérivées à tout ordre en tout point d’un intervalle ouvert I de R est dite de classe C sur I . 8

Fin du Chapitre 6