unité #2 Analyse numérique matricielle Giansalvo EXIN Cirrincione
Les deux problèmes fondamentaux Résolution d’un système linéaire A u = b Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matrice Les deux problèmes fondamentaux
Résolution d’un système linéaire Méthodes directes Résolution d’un système linéaire A u = b erreurs d’arrondi Méthodes itératives erreur de troncature
Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matrice Compagne du polynôme Théorème de Abel Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matrice Méthodes itératives !
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire Un système linéaire Au = b est autant mieux conditionné que le nombre cond (A) est voisin de 1.
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution
Conditionnement d’un système linéaire Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution
Conditionnement d’un système linéaire
Conditionnement d’un système linéaire A normale
Conditionnement d’un système linéaire A normale
Conditionnement d’un système linéaire Matrice de Hilbert
Conditionnement d’un problème de valeurs propres
Théorème de Bauer-Fike Conditionnement d’un problème de valeurs propres Théorème de Bauer-Fike Soit A une matrice diagonalisable, P une matrice telle que et || • || une norme matricielle telle que pour toute matrice diagonale. Alors, pour toute matrice A, C’est le conditionnement de la matrice de passage à une matrice diagonale qui intervient !
calcul de ses valeurs propres Conditionnement d’un problème de valeurs propres Si A est une matrice diagonalisable, conditionnement de A relativement au calcul de ses valeurs propres
Conditionnement d’un problème de valeurs propres Si A est une matrice diagonalisable, Les matrices normales sont très bien conditionnées pour le problème des valeurs propres.
Conditionnement d’un problème de valeurs propres Les matrices normales sont très bien conditionnées pour le problème des valeurs propres.
Approximation par les moindres carrées Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées regression
Approximation par les moindres carrées Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées moon fit
regression non linéare Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées regression linéare regression non linéare
Approximation par les moindres carrées Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées regression linéare
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples Soit wj , 1 j n (n < m) un ensemble de n fonctions réelles linéairement indépendantes, définies sur un ensemble contenant les points xj . Le problème consiste à déterminer une fonction telle que les égalités U(xi) , 1 i n , soient approchées « au mieux ».
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples ordinary least squares data least squares total least squares
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples On cherche une fonction U qui rend minimum le nombre : Équations normales
système mécanique à deux degrés de liberté Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples système mécanique à deux degrés de liberté m1 m2 f(t) k1 k2 x1(t) x2(t) Seconde loi de Newton Écriture matricielle
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples système mécanique à deux degrés de liberté m1 m2 f(t) k1 k2 x1(t) x2(t) Le comportement des deux ressorts est découplé - si l’on admet que les deux valeurs propres sont positives, il existe deux pulsations propres caractérisant le système. fréquences de résonance
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples système mécanique à deux degrés de liberté 0.5 1 1.5 2 2.5 4 6 8 10 fréquence excitatrice a Module de l'amplitude de la réponse Amplitude de la réponse d’un système oscillant fréquences de résonance
FINE