MODULE - METHODES POTENTIELLES VII. Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier VII.4 Opérateurs de prolongement et de dérivation VII.5 Réduction au pôle et à l’équateur, et signaux analytiques VII.6 Transformation en couche équivalente

Expressions via domaine de Fourier VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut Expressions via domaine de Fourier (passant d’un plan à l’altitude a vers un plan à l’altitude a+h) : Interprétation 2D (données sur un profil, TF à 1D) avec NB : le prolongement du profil fa pour obtenir le profil fa+h s’obtient par un produit de convolution Interprétation 3D (données sur une carte, TF à 2D) avec Idem : le prolongement de la carte fa pour obtenir la carte fa+h s’obtient par un produit de convolution

Expressions via identités de Green : VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut (passant d’un plan à l’altitude a=-z vers un plan à l’altitude a+h=-z+h Expressions via identités de Green : Seconde Identité de Green (U et V de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) : Troisième Identité de Green (U de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) : Superposition de 3 termes sources : - source volumique monopolaire, proportionnelle à la divergence de U - source surfacique monopolaire, proportionnelle au gradient de U - source surfacique dipolaire, proportionnelle à U Ref.: Richard J. Blakely 1996, Cambridge Univ. Press. (p. 38-40)

Expressions via sources surfaciques : VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut (cas de surfaces quelconques) Expressions via sources surfaciques : Troisième Identité de Green (U de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) : Superposition de 3 termes sources : - source volumique monopolaire, proportionnelle à la divergence de U - source surfacique monopolaire, proportionnelle au gradient de U - source surfacique dipolaire, proportionnelle à U Source surfacique dipolaire : où le terme source surfacique J vaut -U/2p si la surface est horizontale (ordre zero), il faut lui ajouter la contribution du gradient de U si la surface est irrégulière (ordres >0) : Ref.: Bhattacharyya & Chan 1977, Geophysics 42, 1411; Ciminale & Loddo 1989, Computer&Geosciences 15, 889

VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut Application : Source = Marche inclinée Une ligne d’iso-potentiel est droite Partie inférieure des iso-potentiel est droite Intersection = point singulier des sources (coin, et segment supérieur d’un bord) Ref.: Paul et al. 1966, Geophysics 31, 940

VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vertical Application : Uncorrected aeromagnetic data from the Edge Hills survey. The northern portion of the survey was drape flown whereas the southern portion was flown at a constant barometric altitude. Histogram equalized shaded image (Inc=30°, Az=30°, N up, cell-size 250m) Fig.: Thomas Ridsdill-Smith, PhD Sept. 2000, Univ. Western Australia, pp. 179

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques   Potentiel Newtonien et anomalie gravimétrique dans le domaine de Fourier et dans le domaine spatial :    Le long d’un profil (source à 2D = ligne ou cylindre, de masse linéique l) : Sur une carte (source à 3D = point ou sphère, de masse m, en kg) :         TF où

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques   Potentiel magnétique et anomalie magnétique du champ total dans le domaine de Fourier et dans le domaine spatial :    Le long d’un profil (source à 2D = ligne ou cylindre de dipôles d’aimantation linéique ) Sur une carte (source à 3D = point ou sphère, de dipôles d’aimantation , en A/m ) :         TF où Réduction au pôle = Passage de quelconque à

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° Anomalie au pôle (I=90°) Anomalie à l’équateur (I=0°) où

VII.5 Opératieurs de réduction au pôle et signaux analytiques Inclinaisons I et Inclinaisons Apparentes I’ pour des profils magnétiques

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques   Enveloppe du signal analytique déterminé à partir de dérivations dans le domaine de Fourier ou dans le domaine spatial :    Le long d’un profil (source à 2D = ligne ou cylindre de dipôles d’aimantation linéique ) Sur une carte (source à 3D = point ou sphère, de dipôles d’aimantation , en A/m ) :         TF Signal Analytique Signal analytique = Dérivation et ajout d’une partie imaginaire utilisant la transformée de Hilbert

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques Enveloppe du Signal analytique avec dérivation -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Enveloppe du Signal analytique sans dérivation