Analyse temps-fréquence et ondelettes Module Traitement du Signal, EOST 2A et Master 1 11 jan. 2008 (Intervenant : Pascal Sailhac) Dans un monde virtuel linéaire : Fourier ad hoc Mais dans un monde plus réaliste non linéaire…

Svt les signaux réels = transitoire et à fréquence variable… Introduction Svt les signaux réels = transitoire et à fréquence variable… Figure : http://perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin/transpEDSFA.pdf

Svt les signaux réels = transitoire et à fréquence variable… Introduction Svt les signaux réels = transitoire et à fréquence variable… Jean Ville (Théorie et applications du signal analytique, Câbles et transmissions 2, 1948, 61-74) : Figure : http://www.isteem.univ-montp2.fr/LGHF/equip/gaillot/PDF_these/TM.html

Qualities and limits of the Fourier domain Qualities: Fourier energy spectrum shows the relative frequency content in a signal. For an oscillation or a superposition of oscillations (cosine functions), it provides the frequency ui and relative intensity Ai for each component: Limits: The localisation is in frequency only, but not in time (or space) For successive oscillations of different frequencies: fi(x)=Aicos(2puix)  Ei(u)=Aid(u-ui)/4 f(x)=f1(x)+f2(x)  E(u)=E1(u)+E2(u) f(x)=f1(x)H(-x)+f2(x)H(x)  E(u)≠E1(u)+E2(u)

Qualities and limits of the Fourier domain Figure : http://www.isteem.univ-montp2.fr/LGHF/equip/gaillot/PDF_these/TM.html

Comment déterminer un spectre temps-fréquence (ou temps-échelle) ? Covariance instantanée – Transformée de Wigner-Ville… (puis on en prend sa transformée de Fourier pour avoir un spectre instantané) Fourier à fenêtre glissante – Transformée de Gabor… (puis on en prend son module carré pour avoir un spectre instantané) Transformée en ondelettes – Transformée de Morlet… (pareil qu’à fenêtre glissante, mais avec une taille de fenêtre liée à la période) 

Points abordés Ondelettes continues A. Théorie A.0 Introduction A.1 Rappel : corrélations, convolutions, transformée et spectre de Fourier A.2 Représentations Temps-Fréquence et spectres d’énergie instantané A.3 Ondelettes A.3.1 Exemple de représentations Temps-Echelles A.3.2 Scalogramme et spectre local A.3.3 Formules de reconstructions et choix des ondelettes (inversion) A.3.4 A N-Dimensions : Ondelettes tensorielles B. Exemples d’applications géophysiques B.1 Sismique B.2 Illustrations numériques simples avec Matlab B.3 …

A.1 Rappel sur la TF A.1 Rappel : corrélations, convolutions, transformée et spectre de Fourier 

A.3 Temps-fréquence et spectre d’énergie instantané Domaine de Fourier ou des Fréquences Domaines Temps-Fréquence et Temps-Echelle Frequency Domain (Fourier Transform) infinite support Time-Frequency Domain (Gabor Transform) low-pass window of fixed length Time-Scale Domain (Wavelet Transform) low-pass window for a fixed oscillation number T=2p/f Increasing frequency Increasing scale Cosinus time-freq. resolution

A.3 Temps-fréquence et spectre d’énergie instantané Résolution temps-fréquence Gaborettes Ondelettes de Morlet t f Inégalité de Gabor (Heisenberg) : Largeur en temps x Largeur en pulsation où

A.4 Ondelettes A.4.1 Exemple de représentations Temps-Echelles Figure : http://www.isteem.univ-montp2.fr/LGHF/equip/gaillot/PDF_these/TM.html

A.4 Ondelettes   A.4.1 Exemple de représentations Temps-Echelles A.4.2 Scalogramme et spectre local A.4.3 Formules de reconstructions et choix des ondelettes (inversion)  A.4.4 A N-dimensions (cartes, blocs 3D, 4D) : Ondelettes tensorielles  Décompositions position-échelle-angles d’Euler (Pour une carte: décomposition position-échelle-azimut)

A.4.4. Ondelette classique à 2D : Chapeau Mexicain ou « DOG » (isotrope) (anisotrope, ici avec )

C. Illustrations numériques simples sur Matlab Lancer Matlab, puis dans le répertoire “OndelettesMontréal”, taper “TestSignaux” Il s’agit d’un script éducatif initialement réalisé pour un cours donné à l’Ecole Polytechnique de Montréal en février 2000. Il permet de calculer les spectres de Fourier de différents signaux, et de les comparer à la transformée en ondelette calculé avec l’ondelette de Cauchy.

B.1 Application en sismique Représentation des sources sismiques (sweep/chirp) Source ‘‘propre’’ Source + harmoniques Figure : Li et al., Geophysics 60, 1995, 501-516

Caractérisation des traces sismiques Vosges Temps (s) 30 40 Fréquence Fossé Temps (s) 30 40 Fréquence Figure : J. Pi Alperin, DEA 2000, EOST

Ondelettes de Poisson (potentiel multipolaire) 1D wavelet of first order in x 2D wavelet of first order in x 1D wavelet of first order in x 2D wavelet of first order in x General expression of 2D wavelets of order g = Sgi are obtained by Convolution of oblic derivatives in directions qi and upward continuation: Oblic derivations Upward continuation

Transformées dans le domaine temps-fréquence 1D wavelet of first order in x 2D wavelet of first order in x Transformée en ondelettes complexes Ondelettes + Hilbert Transformée en ridgelettes Ondelettes + Radon Transformée de Wigner-Hough Wigner-Ville + Hough etc

Bibliographie (1) Ouvrages de références Ingrid Daubechies, 1992, Ten lectures on wavelets, Regional conference series in applied mathematics No 61, Society for Industrial & Applied Mathematics Marie Farge, Julian Hunt & J. Cristos Vassilicos, 1993, Wavelets, fractals and Fourier transforms: New developments and new Applications, Clarendon Press, Oxford. Efi Foufoula-Georgiou & Praveen Kumar, 1994, Wavelets in Geophysics, Academic Press, San Diego. Bruno Torrésani, 1995, Analyse continue par ondelettes, InterEditions, CNRS Editions, Paris. Matthias Holschneider, 1995, Wavelets, an analysis tool, Clarendon Press, Oxford. Wolfgang Dahmen, Andrew J. Kurdila & Peter Oswald, 1997, Multiscale Wavelet Methods for Partial Differential Equations, Academic Press. Stéphane Mallat, 1997/99, A Wavelet tour of signal processing, Academic Press, San Diego. Patrick Flandrin, 1998 (1993 1ière édition), Temps-fréquence, Edition Hermes, Paris.

Bibliographie (2) Quelques Thèses Hassina Boukerbout, 2004, Analyse en ondelettes et prolongement des champs de potentiels. Développement d’une théorie 3-D et applications en géophysique, Géosciences Rennes. Douzi Hassan, 1992, Construction de bases multi-échelles et application à l’estimation des paramètres en sismique, Univ. Paris 9. Fatimetou Mohamed-Salek, 1994, Inversion sismique par une méthode multi-échelles, Univ. Paris 9. Frédérique Moreau, 1995, Transformée en ondelettes de mesures géophysiques, Guy Ouillon, 1995, Application de l’analyse multifractale et de la transformée en ondelettes anisotropes à la caractérisation géométrique multi-échelle des réseaux de failles et de fractures, Univ. Nice-Sophia Antipolis/BRGM. Felix J. Herrmann, 1997, A scaling medium representation, a discussion on well logs, fractals and waves, Delft Univ. Technology. Pascal Sailhac, 1999, Analyse multiéchelles et inversion de données géophysiques en Guyane Française, Institut de Physique du Globe de Paris. Philippe Gaillot, 2000, Ondelettes continues en Sciences de la Terre - Méthodes et applications, Univ. Toulouse 3.

B.2 Application aux champs de potentiel Wavelet Domain Aeromagnetism Magnetic Signature of Dikes Magnetic Signature of a Fault Geology Green Belt (sandstone, quartzite,…) Mainly Acid Plutonism (~granodiorite)