MODULE - METHODES POTENTIELLES I. Introduction Générale – J.B. Edel II. Champs de potentiel (gravimétrique, magnétique, …) – P. Sailhac III. Sources (densité et aimantation, distribution, fonction de Green, …) – P. Sailhac IV. Propriétés physiques des roches : densités, aimantations induites et aimantations rémanentes – J.B. Edel V. Etablissement de profils et cartes d'anomalies gravimétriques et magnétiques : les mesures, les corrections des données,... – J.B. Edel VI. Calculs de leffet de structures simples : sphère, cylindre, filon, faille et prisme quelconque à deux dimensions – J.B. Edel VII. Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies (prolongement, dérivation, réduction au pôle), qui permettent d'affiner la localisation des structures et d'en délimiter les contours. VIII. Cartes magnétique et gravimétriques du fossé rhénan : Interprétations – J.B. Edel Contenu du cours (par J.B. Edel & P. Sailhac)

VII. Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier VII.4 Opérateurs de prolongement et de dérivation VII.5 Réduction au pôle et à léquateur, et signaux analytiques VII.6 Transformation en couche équivalente

~2km 500m ~40° Structures en Profondeur (Objectif) Certaines transformation des données facilitent leur interprétation en mettant en évidence : labscisse des sources la profondeur des sources le type de source (filon ou contact par exemple) la taille des sources linclinaison de laimantation (en magnétisme) lorientation des structures sources … Profil aéromagnetique de lanomalie du champ total Signature de FilonsSignature dune faille Profil de lanomalie Aéromagnetique (Données) VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Objectifs

Horizontal Phase Gradient Horizontal Anomalie du Champ Total Géologie en Surface VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Exemple en Aéromagnétisme km

Masses à z=z 0 ou à z=z 2 Dérivation z 2 =z 0 +h z0z0 Dipôles à z=z 0 Prolongement VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Rappel sur le champ de pesanteur et le potentiel magnétique dans le cas de la sphère (ou « source ponctuelle »

VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel Equation de Poisson : Masses à z=z 0 Prolongement vers le haut z 2 =z 0+ h z0z0 Fonction de Green en gravi définit lopérateur de prolongement vers le haut : DéfinitionPropriété Solution où : Objectifs Principaux = Corriger les artéfacts liés à des altitudes irrégulières, à la topographie et au bruit des données Moyen = Utilisation dun filtre passe-bas transformant les donnée dune altitude vers une altitude plus élevée

VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel Relation entre les anomalies gravimétriques et magnétiques : Dérivation oblique Relation entre une anomalies magnétique quelconque et celle quon aurait mesurée au pôle pour une même source : Intégration oblique puis dérivation verticale Masses à z=z 0 Dérivation z 2 =z 0 +h z0z0 Dipôles à z=z 0 Objectifs Principaux = Mettre en évidence le bord des anomalies, et placer le maximum des anomalies à laplomb des sources Moyen = Utilisation de combinaison de filtres de dérivation

VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Principe Résumé Relation entre les champs à différentes altitudes : Prolongement vers le haut Relation entre les anomalies gravimétriques et magnétiques : Dérivation oblique Relation entre une anomalies magnétique quelconque et celle quon aurait mesurée au pôle pour une même source : Intégration oblique puis dérivation verticale Masses à z=z 0 Dérivation z 2 =z 0 +h z0z0 Dipôles à z=z 0 Prolongement vers le haut

VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables Principales connaissances utiles : cf. par exemple cours de Traitement du Signal de Dominique Gibert (Géosciences Rennes) A) Origine = Résolution dun problème physique Problème étudié par Jean Batiste Fourier Définitions possibles Base physique = résolution déquations physiques Cas général de léquation de Sturm-Liouville Cas particulier du prolongement vers le haut (dun profil) B) Propriétés et applications Linéarité, symétrie, Similitude, Translation, Dérivation Produit de convolution et causalité sources/potentiel Transformée de Hilbert et signal analytique C) Processus Stochastiques Corrélation Spectre dénergie de différents types de bruit Spectre dénergie dune source en bruit blanc à une profondeur fixée D) Echantillonnage et numérisation Troncature du spectre et effet de Gibbs (filtrage passe bas) Troncature du signal et résolution spectrale Echantillonnage et fréquence de Nyquist Erreur de discrétisation : repliement du spectre

VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables A) Origine = Résolution dun problème physique Problème étudié par Jean Batiste Fourier Définitions possibles 1D 2D

VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables B) Propriétés et applications Définitions possibles Les opérateurs différentiels ont des expressions simples 1D 2D

VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables B) Propriétés et applications Définitions possibles Le produit de convolution est un produit simple 1D 2D

VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier Exercice permettant de déterminer lopérateur de prolongement vers le haut On considère la fonction homogène f(x,y,z) dans le demi-plan supérieur ne contenant aucune source (z croissant vers le bas). Cette fonction f est soit lanomalie magnétique du champ total T soit lanomalie gravimétrique g. Ainsi lanomalie vérifie léquation de Laplace : (1) 1/ Définir la transformée de Fourier 2D F(u,v,z) de f(x,y,z) suivant les variables x et y. 2/ Montrer que léquation (1) dans le domaine de Fourier 2D sécrit : (2) 3/ Pour résoudre léquation différentielle (1 ou 2), on a besoin de fixer les conditions aux limites. Une première condition est fournie par largument physique : lanomalie est nulle très loin des sources, i.e. f(x,y,z)0 pour z-. La deuxième condition est fournie par des données sur le plan z=0 : f 0 (x,y)=f(x,y,z=0). En notant F 0 (u,v)=F(u,v,z=0), déterminer les solutions F de léquation (2) en fonction de F 0, puis les solutions f de léquation (1) en fonction de f 0. 4/ Déduire de la question 3/ lexpression de lopérateur de prolongement vers le haut depuis un plan horizontal. 5/ Ce qui précède est utile à une modélisation 3D utilisant des données en carte (variables x,y) ; refaire lexercice dans le cas dune modélisation 2D utilisant des données en profil (variable x seulement).

VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier Expressions de lopérateur de prolongement vers le haut (passant dun plan à laltitude a vers un plan à laltitude a+h) : Interprétation 2D (données sur un profil, TF à 1D) Interprétation 3D (données sur une carte, TF à 2D) avec NB : le prolongement du profil f a pour obtenir le profil f a+h sobtient par un produit de convolution Idem : le prolongement du profil f a pour obtenir le profil f a+h sobtient par un produit de convolution

VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier Exercice permettant de déterminer lopérateur de dérivation verticale 1/ Considérer lexpression de la fonction homogène f(x,y,z) à partir du prolongement de la fonction f 0 (x,y)=f(x,y,z=0), puis utiliser une dérivation partielle suivant z pour définir lopérateur de dérivation verticale (vers le bas) dans le domaine de Fourier. On pourra commencer par faire cet exercice dans le cas dune modélisation 2D utilisant des données en profil (variable x seulement), puis dans celui dune modélisation 3D utilisant des données en carte (variables x,y). 2/ En déduire, toujours dans le domaine de Fourier, une expression de lopérateur de dérivation oblique, dans la direction du vecteur suivant :

VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel Prolongement vers le haut tel que nous lavons exprimé, à partir de données sur un plan (pour un potentiel f) : avec Troisième Identité de Green (U de classe C 2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) : Superposition de 3 termes sources : - source volumique monopolaire, proportionnelle à la divergence de U - source surfacique monopolaire, proportionnelle au gradient de U - source surfacique dipolaire, proportionnelle à U Remarque concernant le prolongement vers le haut et la troisième identité de Green Lien : comparer lopérateur de prolongement vers le haut avec