Usage des éphémérides de l’IMCCE chapitre III Changements de système de référence Changement de repère partie II : application données IMCCE

Les trajectoires de la Terre et de Mars La trajectoire de Mars vue depuis la Terre Ephémérides Mise en valeurs numériques Calculs Tracés Périhélie, aphélie Période sidérale Période synodique 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Ephémérides IMCCE Choix des coordonnées On peut partir directement des coordonnées cartésiennes Comme exercice, on part des coordonnées écliptiques héliocentriques pour la Terre géocentrique pour Mars Type de coord. : J2000 ou moyennes de la date Date de départ : 1 janvier 2007 Exercice : Avec excel, calculer le nombre de points à calculer entre deux dates Pas : 1 jour Nombre de points : Télécharger les éphémérides pour trois révolutions synodiques (780 j) de Mars (au moins sur 6,5 ans) Nombre de points ~ 3*800 = 2400 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Mise en tableur Ouvrir Excel et créer un fichier avec 3 feuilles ► 1 feuille – trajectoires Orbites Terre Mars ► 1 feuille – éphémérides héliocentrique de la Terre Ephem. Terre ► 1 feuille – éphémérides géocentrique de Mars Ephem. Mars Mettre par copié-collé dans les colonnes A des feuilles de la Terre et Mars, les éphémérides téléchargées. Formules des cellules à prendre dans le précédent travail ou dans le fichier data_ephemerides.pdf 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Extraction des données, passage en valeurs numériques Pour les deux planètes : dates col. B longitudes écliptiques col. C latitudes écliptiques col. D distances au corps col. E Calculs pour les deux planètes coordonnées rectangulaires col. F, G, H Calculs pour Mars coordonnées rectangulaires géocentriques de Mars col. I, J, K 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Passage coordonnées sphériques  coordonnées rectangulaires Calculs des coordonnées XYZ géocentriques pour le Soleil héliocentriques pour Mars 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système ►Coordonnées rectangulaires géocentrique de Mars Feuille Ephem. Mars col. F, G, H ►Coordonnées rectangulaires héliocentrique de la Terre Feuille Ephem. Terre col. F, G, H ►Coordonnées rectangulaires héliocentriques de Mars Feuille Ephem. Mars col. I, J, K 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Formules de conversion Feuille Ephem. Mars, col. F, G, H ►Coord. rectangulaires géocentrique de Mars =E16*COS(RADIANS(C16))*COS(RADIANS(D16)) =E16*SIN(RADIANS(C16))*COS(RADIANS(D16)) =E16*SIN(RADIANS(D16)) Feuille Ephem. Terre, col. F, G, H ►Coord. rectangulaires héliocentrique de la Terre =E16*COS(RADIANS(C16))*COS(RADIANS(D16)) =E16*SIN(RADIANS(C16))*COS(RADIANS(D16)) =E16*SIN(RADIANS(D16)) Feuille Ephem. Mars, col. I, J, K ►Coord. rectangulaires héliocentriques de Mars =F16+'Ephem. Terre'!F16 =G16+'Ephem. Terre'!G16 =H16+'Ephem. Terre'!H16 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système On reporte dans la feuille Orbites Terre Mars par copié-collé « spécial Valeurs » par colonnes entières Feuille Ephem. Terre col. B  col. A Dates Feuille Ephem. Terre col. F, G, H  col. B, C, D XYZ Terre/ Soleil Feuille Ephem. Mars col. F, G, H  col. E, F, G XYZ Mars/ Terre Feuille Ephem. Mars col. I, J, K  col. H, I, J XYZ Mars/ Soleil 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Tracés : Graphique I Orbites de la Terre et Mars héliocentriques Graphique II Orbite Mars géocentrique (projection plan XY) 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Tracés Pour mieux visualiser les trajectoires, on peut tracer séparément chaque révolution. On peut aussi tracer pour Mars, la projection du plan en XZ et YZ pour faire apparaître l’inclinaison de l’orbite 06/12/2006 Changement de repères, de système

Travaux sur l’orbite de Mars (feuille Ephem. Mars) 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Passages au périhélie et à l’aphélie Recherche des moments précis des passages au périhélie et à l’aphélie Période sidérale ? ► Calcul des distances Mars Soleil (feuille Ephem. Mars) Col. I J K L 13 14 15 16 17 18 Formule : =RACINE(I16^2+J16^2+K16^2) 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Passages au périhélie et à l’aphélie Recherche des changements de signes des variations de r aphélie : passage r décroissant  r croissant périhélie : passage r croissant  r décroissant Création colonne M flag de variation : 1 croissance, 0 décroissance. On commence à la ligne 17 : r ↑ : si r ligne – r ligne précédente > 0 flag à 1 r ↓ : si r ligne – r ligne précédente < 0 flag à 0 } =SI((L17-L16)>0;1;0) Col. I J K L M Formule : =SI((L17-L16)>0;1;0) Détection facile des moments où la variation de la distance au Soleil change de sens. 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Passages au périhélie et à l’aphélie Pour affiner la précision de l’instant, on ajuste par une parabole passant par 3 points Recherche du minimum ou maximum : On prend l’instant où la valeur est extrémale (maximale ou minimale) et les deux instants qui l’encadrent (voir usage_ephemeride.pdf) t1 = -1 t2 = 0 (extremum : maximum ou minimum de x) t3 = 1 Position de l’extremum : Flag passe de 0 à 1 : décroissance  croissance minimum périhélie Flag passe de 1 à 0 : croissance  décroissance maximum aphélie 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Passages au périhélie et à l’aphélie Pour un minimum (périhélie), on prend l’instant où la valeur est la plus petite et les deux instants qui l’encadrent. Position du minimum : col. L col. M col. N r t1 = -1 t2 = 0 t3 = 1 =-(L172-L170)/(L172+L170-2*L171)/2 =B170+SI(N171<0;-1;0) =SI(N171>0;N171;N171+1) 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Passages au périhélie et à l’aphélie Période sidérale ? Sur l’intervalle des données, il y a deux périhélies et aphélies successifs. La période sidérale de Mars, aux perturbations près est le temps écoulé entre deux passages aux périhélie ou aphélie. Les deux valeurs de r au périhélie et à l’aphélie permettent de calculer les éléments de l’orbite de Mars : a = (rpérihélie+ raphélie)/2 c = a - rpérihélie e = c/a Comparer avec les valeurs de la littérature. 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Conjonctions et oppositions de Mars Calcul : longitude Mars – longitude Soleil (longitude héliocentrique Terre -180°) Feuille Ephem. Mars col. C feuille Ephem. Terre col. C Feuille Ephem Mars col. O : MOD(C16-('Ephem Terre'!C16-180);360) Conjonctions : différence de longitude Mars-Soleil = 0° - recherche par interpolation, du moment où DL = 0 Oppositions : différence de longitude Mars-Soleil = 180° - recherche par interpolation, du moment où DL = 180 On suppose la variation linéaire de DL avec t : Conjonction Opposition DL = 0 DL = 180 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Conjonctions et oppositions de Mars Oppositions de Mars : Feuille Ephem Mars col. O : MOD(Cxxx-('Ephem Terre'!Cxxx-180);360) Oppositions : différence de longitude Mars-Soleil = 180° - recherche par interpolation, le moment où DL = 180 t1 = 0 t2 = 1 DL1 DL2 On suppose la variation linéaire de DL avec t : DL t1 Formule de cellule : =(180-O373)/(O374-O373) 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Période synodique de Mars ? La période synodique correspond en première approximation, car les orbites ne sont pas circulaires, au temps écoulé entre deux oppositions. - calculer les périodes synodiques successives - comparer à la littérature. réflexions. Voir Cahiers Clairaut, 110, été 2005, 9-13. A propos de la période synodique d’une planète. 06/12/2006 Changement de repères, de système

Période synodique de Mars ? La période synodique correspond en première approximation, car les orbites ne sont pas circulaires, au temps écoulé entre deux oppositions ou deux conjonctions. - calculer les périodes synodiques successives Calcul des différences de longitudes géocentriques Mars - Soleil Feuille Ephem. Mars, col. O Formule rand A16 =MOD(C16-('Ephem. Terre'!C16-180);360) La longitude géocentrique du Soleil = 180° + longitude héliocentrique de la Terre Formule en O16 : =MOD(C16-('Ephem. Terre'!C16+180);360) S T g lT/S lS/T 06/12/2006 Changement de repères, de système

Changement de repères, de système Période synodique de Mars ? - calculer les instants précis des oppositions ou conjonctions par interpolation linéaire (valeur nulle de la variable) - en déduire les périodes synodiques successives. 06/12/2006 Changement de repères, de système