Le théorème de THALES dans 2 triangles Type d ’activité : leçon illustrée Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX

Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices : A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessous ou le clic droit de la souris. Le menu du clic droit, le numéro des diapositives et les liens hyper-texte permettent également de naviguer. Permet de revenir page précédente Permet de revenir au sommaire

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Sommaire Enoncé du théorème Exemple de rédaction Application directe de la leçon Exercice de synthèse

Pour utiliser le théorème de THALES il est indispensable de savoir trouver x dans les équations suivantes : On effectue le produit en croix Et on calcule x Résoudre 4x = 35 x = 8,75 9x = 21 x = 7/3

Très utile Indispensable x = 7,5 3x = 24 x = 8 4x = 21 x = 5,25 9x = 42 x = 14/3 4(x +2) = 21 4x + 8 = 21 4x = 13 x = 3,25 9(x - 1) = 21 9x - 9 = 21 9x = 30 x = 30/9 x = 10/3

SI Leçon Deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles A ALORS Les triangles AMN et ABC sont dits en situation de THALES et on a l’égalité des rapports : M N B C

Deux demi-droites sont coupées par deux droites parallèles Leçon SI N Deux demi-droites sont coupées par deux droites parallèles M ALORS A Les triangles AMN et ABC sont dits en situation de THALES et on a l’égalité des rapports : B C

Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors Les triangles AMN et ABC sont dits en situation de THALES. L’égalité de THALES s ’écrit : M N B Ecris l’égalité C ATTENTION : il ne faut pas te tromper en écrivant ce rapport ! Conseils Tu peux retenir : - on divise le petit côté par le grand côté qui lui est parallèle. - il faut faire attention au rôle particulier du point opposé aux deux parallèles.

L’égalité de THALES s ’écrit : Exemple de rédaction M Sur ce croquis on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On connaît AM = 8 AN = 10 AB = 12 BC = 9 . On demande de calculer MN et NC. N B C Les droites (MN) et (BC) sont parallèles donc les triangles AMN et ABC sont en situation de THALES. L’égalité de THALES s ’écrit :

On demande de calculer MN et NC. Exemple de rédaction M Sur ce croquis on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On connaît AM = 8 AN = 10 AB = 12 BC = 9 . On demande de calculer MN et NC. B N C Les droites (MN) et (BC) sont parallèles donc les triangles AMN et ABC sont en situation de THALES. L’égalité de THALES s ’écrit : Pour calculer MN je choisis 12 MN = 72 MN = 6

Donc Exemple de rédaction (suite) Sur ce croquis on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On connaît AM = 8 AN = 10 AB = 12 BC = 9 . On demande de calculer MN et NC. B N C Pour calculer NC je commence par calculer AC. Je choisis 8 AC = 120 AC = 120 / 8 AC = 15 Donc NC = AC - AN NC =15 - 10 NC = 5

Application directe de la leçon Les droites (MN) et (BC) sont parallèles A Si AM = 15 AB = 18 AN = 6 et MN = 9 calculer BC et AC M N BC =10, 8 AC = 7,2 B Si AM = 5 AB = 12 AC = 16 et BC = 9 calculer MN et AN C MN = 3,75 AN = 20 /3 Je ne sais pas comment faire Si MN = 12 AB = 18 AN = 6 et AC = 9 calculer BC et AM BC = 18 AM = 12 Je ne sais plus résoudre les équations

Application de la leçon Les droites (MN) et (BC) sont parallèles A 7 9 Si AM = 7 MB = 3 AN = 9 et BC = 13 calculer x et y M N x 3 Les droites (MN) et (BC) sont parallèles donc les triangles AMN et ABC sont en situation de THALES. L’égalité de THALES s ’écrit : y B 13 C Je ne sais pas comment faire Je ne sais plus résoudre les équations

Pour calculer x, je choisis Mais pour calculer y…. 9 7 M N x 3 y B 13 C Pour calculer x, je choisis Mais pour calculer y…. 91 =10x x = 9,1

Pour calculer y, je choisis 7 x 3 ou y 13 90 = 7 AC 90/7 = AC M N x 3 ou y B 13 90 = 7 AC 90/7 = AC NC = 90/7 - 9 y = 90/7 - 63/7 y = 27 / 7 90 = 7 ( 9 + y ) 90 = 63 + 7 y 27 = 7 y y = 27 / 7 C Si la valeur approchée n ’est pas demandée on laisse le résultat sous forme de fraction irréductible.

Exercice de synthèse Dans ce triangle ABC, on veut tracer un parallélogramme CTUV dont le périmètre soit égal à 25 cm. B Faire des essais avec géoplan U V 16 cm 14 cm Pour cela nous allons calculer AU = x x Les côtés opposés d ’un parallélogramme sont parallèles, donc les droites (UT) et ( CV) sont parallèles et les triangles AUT et ABC sont en situation de Thalès A C T 10 cm As - tu pensé à vérifier les hypothèses ? DONC

Dans ce triangle ABC, on veut tracer un parallélogramme CTUV dont le périmètre soit égal à 25 cm. B U V 16 cm 14 cm x A C T 10 cm On peut donc calculer AT en fonction de x Puis on calcule UT en fonction de x 10 x = 16 AT AT = 0,625 x 14 x = 16 UT UT = 0,875 x

Ce périmètre est égal à 25 cm si 20 + 0,5 x = 25 Les côtés opposés d ’un parallélogramme ont même mesure. Le périmètre du parallélogramme s’exprime en fonction de x B U V 16 cm 14 cm x P = 2 UT + 2 TC P = 2 ( 0,875 x) + 2 ( 10 - 0,625 x) P = 1,75 x + 20 - 1,25 x P = 20 + 0,5 x A C T 10 cm Ce périmètre est égal à 25 cm si 20 + 0,5 x = 25 c’est à dire si x =10 cm Maintenant, tu peux construire le dessin.

Dans ce triangle ABC, on veut tracer un parallélogramme CTUV dont le périmètre soit égal à 25 cm. B Les côtés opposés d ’un parallélo- gramme sont parallèles, donc U V 16 cm 14 cm x A C T 10 cm Puis on calcule UT en fonction de x On peut donc calculer AT en fonction de x 14 x = 16 UT UT = 0,875 x 10 x = 16 AT AT = 0,625 x