THEOREME DE THALES Bernard Izard 3° Avon 2010 04-TH Chapitre 04-TH THEOREME DE THALES I - PROPORTIONNALITE II – LE THEOREME III- UNE CONSEQUENCE IV – LA RECIPROQUE V – AGRANDISSEMENT/ REDUCT. VI- CONSTRUCTIONS VI- DEMONSTRATION Bernard Izard 3° Avon 2010

Notes biographiques Thalès est né vers ~624 à Milet. Milet, colonie grecque d’Asie Mineure qui fait maintenant partie de la Turquie. Il est mort au même endroit vers ~546. On lui attribut sans certitude le théorème qui porte son nom

Qui était Thalès ? On ne sait que très peu de choses sur les œuvres de Thalès dans la mesure où il n’a laissé aucun écrit . Mort vers 80 ans , il était mathématicien grec mais aussi commerçant, astronome, ingénieur, savant, et philosophe . Fondateur de l’école ionienne, il fut le premier des 7 Sages de la Grèce . Il est considéré comme le premier mathématicien de l’histoire .

Que lui doit-on ? Concernant les mathématiques, il est à l’origine de 4 Théorèmes de géométrie élémentaire : Tout diamètre partage un cercle en deux parties égales et superposables Les angles d’un triangle isocèle sont égaux

— Deux angles opposés par le sommet sont égaux —Un angle inscrit dans un demi cercle est droit -deux triangles sont congruent s’il on deux angles et le côtés compris égaux

Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Milet aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre. Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre. L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante : «  A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. » Citons : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. »

I PROPORTIONNALITE A (MN) // (BC) M N Il y a proportionnalité entre les 2 triangles AMN et ABC Tableau de proportionnalité B C Triangle AMN AM AN MN Triangle ABC AB AC BC AM AN MN AB AC BC = =

II LE THEOREME DE THALES 1) Les configurations Situation papillon Situation 4ème

2) L’énoncé du théorème Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. configuration Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles Alors Ce théorème permet de calculer des longueurs.

(CB) et (BD) se coupent en B C,P, B des points distincts de (CB) Les données sont celles de la figure(PR)//(CD). Calculer BR.Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près. Ex1: E D C P R B A BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. (CB) et (BD) se coupent en B C,P, B des points distincts de (CB) D,R,B des points distincts de (BD) Config. Comme (PR) et (CD) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès on a : Remplaçons: BR = 5 x 4 ÷ 6 BR =  3,33 cm.

(ED)et(AC) sont 2 droites sécantes en B E,B,D points distincts de (ED) Ex2: Les données sont celles de la figure (EA)//(CD). Calculer EA. Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près. E D C P R B A BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. (ED)et(AC) sont 2 droites sécantes en B E,B,D points distincts de (ED) A,B,C points distincts de (AC) Comme (EA) et (CD) sont parallèles d’après le théorème de Thalès on a : EA = 6 x 2 ÷ 5 (produit en croix) EA = 2,4 cm.

III-VARIANTE (CONSÉQUENCE) Si les rapports ne sont pas égaux alors les droites ne sont pas // car, le Th. de Thalès dit que si elles sont // les rapport doivent être égaux les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si alors Cette 2° forme du théorème (variante, conséquence ou contraposée) permet de prouver que des droites ne sont pas //

D’une part D’autre part M Ex: Dans la configuration de la figure ci-contre avec MI = 8 cm, MC = 12 cm, MJ = 13 cm, MB = 21 cm. Indiquer si les droites (IJ) et (CB) sont parallèles. J I Nous sommes dans une configuration de Thalès C CM) et (BM) deux droites sécantes en M. C,I,M des points distincts de (CM). B,J,M des points distincts de (BM) B Comparons: D’une part D’autre part Car les produits en croix sont différents (IJ) et (CB) ne sont pas // d’après la conséquence du Th. De Thalès comme

IV-RECIPROQUE Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si et si les points A, M,B et les points A, N,C sont dans le même ordre Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Cette réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles.

Ex1: Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? C P R D E 1,5 A 3 4,5 2 4 2,5 On a et donc De plus les points A, C et E et les points B, C et D sont dans le même ordre (AB) et (DE) sont parallèles. d’après la réciproque du théorème de Thalès,

D’après la conséquence du théorème Ex2: Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ? B C P R D E 1,5 A 3 4,5 2 4 2,5 On a et donc (PR) et (DE) ne sont pas parallèles. D’après la conséquence du théorème de Thalès.

II-AGRANDISSEMENT-REDUCTION

Ex1: 3cm 1cm 3cm X 3 1cm Aire = 1x1 Aire = 1 cm² Aire = 3x3 Aire = 9 cm² X 9 X 3²

3cm Ex2: 3cm 1cm 1cm X 3 3cm 1cm Aire totale =1x1x6 Aire totale = 6 cm² Aire totale=3x3x6 Aire totale = 54 cm² X 9 X 3² Volume = 3x3x3 Volume = 27 cm3 Volume = 1x1x1 Volume = 1 cm3 X 27 X 33

Ex3: 1cm 2cm X 2 Longueurs Aire base 3,14x1² Aire base  3,14 cm² Aire base  3,14x05² Aire base  0,785 cm² X 4 X 2² Volume  0,785x1 3 Volume  0,2617cm3 Volume  3,14x2 3 Volume  2,093cm3 X 8 X 23

Si dans un agrandissement ou une réduction les dimensions sont dans le rapport k alors les aires sont dans le rapport k² et les volumes dans le rapport k3

Ex1: Une pizza pour une personne mesure 10 cm de diamètre Ex1: Une pizza pour une personne mesure 10 cm de diamètre. Combien de personnes peut-on prévoir avec une pizza de 30 cm de diamètre ? 9 personnes Ex2: L’autopsie d’une cerise fait apparaître que le diamètre du noyau est exactement égal à l’épaisseur de sa chair. Si noyau et chair ont la même densité, combien faut-il de noyaux dans une balance pour équilibrer une cerise ? 27 noyaux Ex3: La Fée Jivaro réduit les humains au dixième de leur taille. Je mesurais 1,80 m et je pesais 80 kg. Après le sort de la Fée je ne mesure plus que 18 cm. Quel est mon poids actuel ? 80g

Ex4: La Tour Eiffel mesure environ 300m et pèse environ 8000 tonnes Ex4: La Tour Eiffel mesure environ 300m et pèse environ 8000 tonnes. On construit un modèle réduit avec le même métal de 1m de hauteur. Quel est le poids de la maquette ?  0,3 kg

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