CONFORMITE d’une distribution expérimentale à une distribution théorique Professeur Pascale FRIANT-MICHEL > Faculté de Pharmacie Pascale.Friant@univ-lorraine.fr

DISTRIBUTION EXPERIMENTALE à une DISTRIBUTION THEORIQUE CONFORMITE d’une DISTRIBUTION EXPERIMENTALE à une DISTRIBUTION THEORIQUE I - GENERALITES Problème de conformité Répartition théorique est-elle conforme à la répartition expérimentale ? Remarque : Même si une série empirique suit effectivement une loi de distribution théorique donnée, les fréquences expérimentales différeront forcément, en raison des fluctuations fortuites d’échantillonnage, des fréquences que l’on devrait théoriquement observer, compte tenu de l’effectif de la série Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL

Comparer deux distributions dans leur ensemble I – GENER ALITES (2) On se demande donc si les différences constatées entre la distribution expérimentale et la distribution supposée restent dans les limites des fluctuations fortuites d’échantillonnage (auquel cas l’assimilation de la distribution expérimentale à la distribution théorique est légitime) Principe du test : Comparer deux distributions dans leur ensemble Caractériser la divergence, pour chacune des valeurs de la distribution, entre les effectifs observés (O1, O2, . . ., On) et les effectifs théoriques (T1, T2, . . ., Tn) que l’on aurait dû observer dans une distribution théorique de même effectif total que la distribution expérimentale étudiée Vérification de la conformité par le test du c2 de K. PEARSON . c2 d’ajustement . test d’hypothèse Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL

II - TEST de c2 1. Principe du test . divergence définie par l’écart (Oi – Ti) . carrés des écarts appelés écarts quadratiques . écart quadratique relatif : 2. Nombre de degrés de liberté Soient T1, T2, . . ., Tn les effectifs théoriques Si n - 1 d’entre eux sont fixés, le nième est défini par Ti = N => n = n - 1 Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL

r étant le nombre de relations supplémentaires II – TEST de c2 2. Nombre de degrés de liberté (2) Toute relation supplémentaire imposée aux effectifs théoriques conduit à réduire d’une unité le nombre de degrés de liberté => n = n - 1 - r r étant le nombre de relations supplémentaires - Pour une distribution binomiale : r = 1 (p) => n = n - 2 - Pour une distribution de POISSON : r = 1 (m) => n = n - 2 - Pour une distribution de LAPLACE-GAUSS : r = 2 (m, s) => n = n - 3 Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL

III - CONDITIONS d’EMPLOI du TEST de c2 1. Le c2 s’applique exclusivement aux effectifs 2. Le c2 est suivi lorsque : * N ≥ 50 * n ≥ 5 Si 30 ≤ N < 50, le test est utilisable mais avec prudence, => exclusivement applicable lorsque c2 franchement différent de celui des tables Si N < 30, le test n’est plus applicable Si n < 5, groupements de classe => n diminue => sensibilité du test est abaissée 3. Effectifs théoriques calculés avec précision Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL

IV - EXEMPLES Ho : Les différences constatées entre la distribution expérimentale et la distribution théorique ne sont dues qu’aux fluctuations d’échantillonnage Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION BINOMIALE Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants tirées au hasard dans une population Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL

Nombre de familles théoriques IV – EXEMPLE Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION BINOMIALE (2) Famille de xi filles Nombre de familles ni = Oi 1 2 3 4 16 48 62 30 = 160 Nombre de familles théoriques nk = Ti 16,30 50,21 57,99 29,76 5,73 = 160 Oi - Ti 0,30 2,21 4,01 - 1,49 0,0055 0,0973 0,2773 0,0625 = 0,4426 34 35,49 n = n - 2 = 4 - 2 = 2 Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL

c2 << co2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque IV – EXEMPLE Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION BINOMIALE (3) a = 5 % => co2 = 5,99 c2 << co2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque Conclusion : l’hypothèse d’une distribution binomiale avec p = = 0,435 n’a pas été infirmée par les constatations expérimentales 2. Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION de POISSON Distribution du nombre d’accidents hebdomadaires à un carrefour dangereux Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL

Nombre de semaines théoriques IV – EXEMPLE 2. Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION de POISSON (2) Nombre d’accidents xi Nombre de semaines ni = Oi 1 2 3 4 5 ≥ 6 10 7 = 30 Nombre de semaines théoriques nk = Ti 5,11 9,05 8,00 4,72 2,09 0,74 0,29 = 30 Oi - Ti 0,11 0,95 1,00 0,16 0,0024 0,0997 0,1250 0,0033 = 0,2304 8 7,84 Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL

c2 << co2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque IV – EXEMPLE 2. Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION de POISSON (3) n = n - 2 = 4 - 2 = 2 a = 5 % => co2 = 5,99 c2 << co2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque Conclusion : l’hypothèse d’une distribution suivant une loi de POISSON de moyenne m = 1,77 n’est pas démentie par les constatations expérimentales 3. Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION de LAPLACE-GAUSS Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL

Effectifs exp. ni = Oi Effectifs théo. nk = Ti Oi - Ti IV – EXEMPLE 3. Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION de LAPLACE-GAUSS (2) Limites (kg) Effectifs exp. ni = Oi 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,20 3,40 3 8 26 50 69 85 Effectifs théo. nk = Ti 2,43 5,36 13,56 26,96 46,16 62,20 70,52 Oi - Ti - 10,35 0,96 3,84 6,80 14,48 5,0174 0,0342 0,3194 0,7434 2,9732 < 2,20 21,35 11 Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL

Effectifs exp. ni = Oi Effectifs théo. nk = Ti Oi - Ti IV – EXEMPLE 3. Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION de LAPLACE-GAUSS (3) Limites (kg) Effectifs exp. ni = Oi 3,60 3,80 4,00 4,20 4,40 4,60 4,80 62 44 35 17 3 2 = 406 Effectifs théo. nk = Ti 67,44 50,79 32,93 16,77 7,35 2,56 0,77 0,20 = 406 Oi - Ti - 5,44 - 6,79 2,07 0,23 - 3,88 0,4388 0,9077 0,1301 0,0031 1,3837 = 11,9510 7 10,88 ≥ 4,80

c2 < co2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque IV – EXEMPLE 3. Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION de LAPLACE-GAUSS (3) n = n - 3 = 10 - 3 = 7 a = 5 % => co2 = 14,07 c2 < co2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque Conclusion : l’hypothèse que la distribution suive une loi normale de moyenne m = 3,33 kg et d’écart-type s = 0,45 kg n’a pas été démentie par les constatations expérimentales Chapitre – Conformité P. FRIANT-MICHEL