Fractions et nombres décimaux D’Euclide à Peano.

I. Les entiers naturels Origines Axiomatiques.

Euclide d'Alexandrie vers 325 av JC - vers 265 av JC La notion de collection d'objets ou d'animaux, par exemple des fruits ou un troupeau, est supposée avoir précédée celle du nombre. Ces objets n'ont rien à voir entre eux, mais ils ont pourtant une caractéristique commune : dans un panier, les tomates sont distinctes et à peu près identiques, dans un troupeau, les vaches sont elles aussi distinctes et à peu près identiques. Ce ou ces caractères communs définissent une collection. Des objets abstraits furent inventés en se fondant sur la propriété suivante : ils sont distincts et interchangeables. Ces objets sont des unités. Euclide en donne au Livre VII la définition suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. » Euclide définit ainsi le nombre : « Le nombre est une collection d'unités ».

Giuseppe Peano (27 août 1858 [Cuneo, Italie] - 20 avril 1932 [Turin] Ce sont des nombres qui permettent de compter les objets quand ils sont en quantité discrète ; par exemple, les doigts, les feuilles d'un arbre. Ils ne permettent pas de mesurer des quantités continues comme une longueur, un volume ou une masse. Bien que cette notion paraisse intuitive, leur définition formelle en math n'a pas été simple à concrétiser. Les axiomes de Peano définissent l'ensemble des entiers naturels.

Les axiomes de Giuseppe PAENO l'élément appelé zéro et noté: 0, est un entier naturel. Tout entier naturel n a un unique successeur Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à IN.

La numération décimale Quelles sont les connaissances nécessaires à la compréhension de la numération?

Comprendre la numération Trois connaissances nécessaires à sa compréhension 1) La connaissance de la suite orale des nombres ( de 1 à 100 entre l’âge 2 ans et 7ans) 2) La connaissance de la suite chiffrée des nombres ( signification de la position du chiffre sous aspect ordinal et cardinal) 3) La relation entre la désignation orale et l’écriture chiffrée du nombre.

Activité « Numération égyptienne » (CM1) Présentation de la situation: Il s’agit de découvrir un autre système de numération écrite et de le comparer au nôtre. Objectif : Renforcer la maîtrise des règles de la numération positionnelle par l’étude d’une numération additive.

Consigne élève: Quelle est la façon égyptienne d’écrire les nombres? Tâche PE2: Activités possibles des élèves?

Numération égyptienne (suite) Mise en commun: Le zéro existe mais n’est pas représenté Les signes peuvent s’écrire dans de haut en bas et inversement, de droite à gauche et inversement. Chaque signe représente une puissance de 10, on peut écrire neuf fois le même signe. La valeur d’un nombre s’obtient en faisant la somme des valeurs de chaque signe.

Tache pour les PE2: Quelles sont les tâches possibles des élèves?

Numération égyptienne (suite) Décodage: il suffit de juxtaposer de gauche à droite le nombre de signes de chaque type par ordre de valeur décroissant sans oublier le zéro si nécessaire. Codage : On procède à la décomposition canonique . 42 528 = 4 x 10000 + 2 x1000 + 5 x100 + 2x10 + 8 x 1

Numération égyptienne (suite) Analyse comparative de ces deux systèmes de numération écrite. Tâche pour les élèves: Les élèves travaillent par groupe et doivent formuler par écrit les ressemblances et les différences entre les 2 systèmes.

Exemples de productions d’élèves 1 s’écrit presque pareil chez les Egyptiens. Les égyptiens écrivent dans tous les sens Les égyptiens peuvent changer les signes de place pour écrire le même nombre. Il faut ajouter les valeurs pour trouver le nombre. Les dessins sont long à représenter IL faut comprendre le nombre pour savoir s’il est grand pour nous il suffit de le regarder. Les Egyptiens ne peuvent pas écrire les grands nombres, il faudrait d’autres signes.

Mutualisation numération égyptienne

II. Les nombres décimaux et rationnels Taches pour les PE2: Qu’est-ce qu’un décimal? Qu’est-ce qu’un rationnel? Proposer une définition pour chacun des deux.

Les propositions des PE2 .

Un petit retour sur les maths Nombres décimaux Les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent un nombre décimal a : a admet un développement décimal limité (c'est-à-dire avec un nombre fini de chiffres différents de 0. Il existe m entier relatif et n un entier naturel tels que

Un petit retour sur les maths Nombres rationnels Un nombre rationnel r est un nombre qui peut s’écrire sous la forme

Une petite remarque Tous les entiers et tous les décimaux sont des rationnels.

Activité « Bande phase 1» Présentation de la situation: Les élèves devront tantôt construire des longueurs égales à une fraction d’une longueur donnée, tantôt reconstituer une longueur initiale à partir d’une ou de plusieurs fractions de cette longueur. Objectif : installer ou réinstaller une première signification des fractions simples (1/2; 1/4; 3/4; 1/8; 3/8 ) Matériel : des bandes d’environ 3 cm de largeur , 21 cm de longueur , pas de règle graduée Organisation : travail à 2 Consigne: Découpez dans cette bande un morceau égale à trois quarts de la longueur de la bande. Tâche pour les PE2: Activités possibles des élèves? Que permet d’ institutionnaliser la mutualisation?

Bande ( suite ) Taches possibles des élèves: Les élèves plient la bande en 4 puis ils découpent. La mise en commun permet : De donner du sens aux expression « un quart » et « trois quarts » D’introduire les écritures ¼ et ¾ Ici le sens donné à la fraction ¾ est je prends 3 parts d’une bande partagées en 4 parties égales.

Bande phase 2 ( suite ) Matériel : Pour le maître une bande de 36 cm de longueur. Pour chaque groupe une bande égale à trois quarts de celle du maître obtenue par pliage. Une bande de longueur 42 cm Organisation : travail à deux, chaque binôme reçoit les deux bandes. Consigne: Comme vous, j’ai obtenu par pliage et découpage des morceaux égaux à trois quarts. En utilisant ce morceau vous devez découper dans la grande bande une bande identique à la bande de départ. Tache pour les PE2/ Tâche, validation, institutionnalisation?

Réponses possibles Ils reportent ¾ puis ¼ Ils reportent 4 x ¼ Arguments avancés toutes les bandes doivent avoir la même longueur car tous les morceaux distribués ont été obtenus à partir de la même bande. Dégager les relations 1=1/4 + 1/4 +1/4 +1/4 1=1/2 +1/2 1= 3/4 +1/4 3/4=1/4 +1/4 +1/4 1/2 = 1/4 +1/4 2/4 = 1/4 +1/4