APPLICATIONS EN MISE EN FORME DES MATÉRIAUX Analyse numérique du comportement des matériaux VISCOÉLASTICITÉ APPLICATIONS EN MISE EN FORME DES MATÉRIAUX Master 2005 CEMEF - CIM Ecole des Mines de Paris Umr CNRS 7635

Comportement viscoélastique Rheology = The science of deformation and flow rein = s ’écouler 1920 : Eugene Bingham (Lafayette College) ex. : polymère : mise en forme Post - écoulement Écoulement (conditions, durée) relaxation cristallisation contraintes figées Orientation globale = orientation amorphe + orientation cristalline relation ORIENTATION - PROPRIETES Les polymères fondus, les solutions de polymères et un bon nombre de fluides ont un comportement rheologique complèxe En raison de leur structure macromoléculaire spécifique, les polymères sont des matériaux VE. Cette VE induit dans le polymère un champ de contrainte dépendant de l ’histoire thermomécanique subi par le matériau durant l’écoulement. Les propriétés rhéologiques des liquides non-newtoniens sont dictées par l ’évolution de la microstructure interne due à l ’écoulement, caractérisée par l ’orientation et l ’étirement des macromolécules

Comportement viscoélastique Gonflement en sortie de filière Effet Weissenberg Le diamètre d ’un jet de liquide newtonien à la sortie d ’un écoulement de Poiseuille est peu différent du diamètre du tube Ce gonflement s ’explique par réarrangement du profil de vitesse Avec un polymère on observe un gonflement souvent beaucoup plus important et qui dépend: de la longueur de la filière du débit de l ’écoulement Cette expérience sugère que les polymères conservent une mémoire de la dimension du réservoir qu ’ils tendent à recouvrer et ce, d ’autant plus que la filière est courte. Effet Weisenberg: tendance des fluides VE à s ’écouler de façon différente des fluides newtoniens dans les appareillages comportant une partie fixe et une partie en rotation Il se manifèste soit par une modification de la surface libre dans le cas de l ’écoulement de Couette entre cylindres co-axiaux, soit par apparition d ’une force d ’écartement due à un dôme de pression, dans le cas d ’un cisaillement entre deux plateaux, ou entre cône et plan.

Comportement viscoélastique Dépendance par rapport au temps Retard et relaxation de la contrainte viscoélastique newtonien Recouvrance de la déformation après la cessation de la contrainte visqueux Prenons l ’exemple de l ’écoulement de Couette entre deux cylindres co-axiaux. La vitesse de rotation  du cylindre intérieur permet de connaître le taux de cisaillement  dans l ’entrefer et la mesure du couple C nécessaire à sa rotation permet de connaître la contrainte de cisaillement , qui s ’exerce dans le liquide. L ’appareil permet donc d ’établir une relation entre un paramètre de contrainte  et un paramètre de vitesse de déformation . Si on applique, pendant t un cisaillement  0, (en mettant le cylindre intérieur en rotation), on observe une contrainte 0 qui apparaît dans le cas d ’un fluide purement visqueux cette contrainte viscoélastique élastique

Physique de la viscoélasticité force qui minimise l’énergie totale du système chaîne  ressort de raideur K=K(nombre de maillons, tailles) tenseur des extra-contraintes nombre de chaînes par unité de volume diluée dans un solvant de coefficient de frottement  Tenseur orientation ou conformation de la chaîne la chaîne n’interagit pas avec les autres chaînes et le nombre de ressorts par unités de volumes est conservé... Equation d’évolution du tenseur orientation!!! Equation d’évolution du tenseur des extra-contraintes!!!

Physique de la viscoélasticité les chaînes interagissent les unes avec les autres la chaîne est bloquée transversalement par les autres chaînes la chaîne n’a pas d’obstacle le long de son chemin mouvement de reptation “tube model” la chaîne continue dans le tube la chaîne a des bras les bras peuvent engendrer un étirement de la chaîne mouvement de reptation des bras mouvement d’étirement de la chaîne mouvement de reptation de la chaîne lorsque les bras penètrent dans le tube

Modèles viscoélastiques UCM (Upper Convected Maxwell) Giesekus PTT (Phan-Thien-Tanner) Feta-PTT

Modèles viscoélastiques Le modèle Pom-Pom [McLeish et Larson, 1998] Equation d’évolution du tenseur orientation variation induite par l’écoulement macroscopique relaxation diffusion Equation d’évolution de l’étirement (équilibre de la chaîne principale) force de rappel élastique tension exercée par les bras Tenseur des extra-contraintes Tenseur des contraintes

Modèles viscoélastiques Variations XPP (DXPP, SXPP) [Verbeeten et al., 2001] IPP (DIPP, SIPP) [Ottinger, 2000] CPP (DCPP, SCPP) [Clemeur et al., 2002]

Modèles viscoélastiques

Simulation d’écoulements viscoélastiques Forme continue: Séparation orientation + étirement Options pour la résolution: Complètement découplée: la résolution en v et p, ou l ’extra-contrainte (ou orientation + étirement) est une perturbation + résolution de la loi constitutive Partiellement couplée: résolution en v et p, et extra-contrainte (ou orientation + étirement) avec condensation de l ’extra-contrainte (peut inclure résolution directe de la loi constitutive) Méthode mixtes, EVSS, DEVSS, AVSS, DAVSS pour calcul de v et p Méthode SUPG, GD pour équations constitutives

Simulation d’écoulements viscoélastiques Méthodes mixtes [Marchal et Crochet, 1987] Trouver Extension naturelle du problème de Stokes Problèmes: We   importance  les espaces de discrétisation doivent satisfaire la condition LBB

Simulation d’écoulements viscoélastiques Elastic Viscous Split Stress (EVSS) [Rajagopalan et al., 1990] Trouver Fluide d’Oldroyd-B Problèmes: dérivée convectée du tenseur des vitesses de déformation  conditions aux limites des dérivées de vitesse  dérivée du second ordre du champ de vitesses

Simulation d’écoulements viscoélastiques Discrete Elastic Viscous Split Stress (DEVSS) [Guenette et Fortin, 1995] Trouver Avantages: évite la dérivée convectée du tenseur des vitesses de déformation

Simulation d’écoulements viscoélastiques Adaptive Viscoelastic Stress Splitting (AVSS) [Sun et al., 1996] EVSS + Adaptation locale de la viscosité  équilibre le poids entre la composante visqueuse et la composante élastique Adaptive Discrete Viscoelastic Stress Splitting (ADVSS) [Sun et al., 1999] DEVSS + Adaptation locale de la viscosité

Résolution du problème à 4 champs Espaces d’approximation discrets avec D Le domaine de l ’écoulement est approximé par l ’association d ’un nombre d ’éléments finis Les approximations sont: P1+ pour la vitesse P1 pour la pression P0 pour le tenseur des extra-contraintes P0 pour le tenseur des vitesses de deformation Enrichment de l ’espace des vitesses avec une bulle, fonction qui vaut l ’unité au centre et s ’annulle sur le bord

Résolution du problème à 4 champs Forme matricielle Condensation de la bulle Linéarisation Condensation des extra-contraintes La formulation DEVSS à la forme matricielle… La bulle elle est condensé comme dans le problème de Stokes C ’est un système non-linéaire, est donc on utilise la méthode de Newton-Raphson pour le linéariser, ce qui conduit au système d ’équations… Si on considere que les integrales de surface sont traités explicitement, on peut éliminer les contraintes au niveau de l ’élément Par substitution, on obtient…. Bien que le système ci-dessus puisse être résolu directement, il a été signalé dans la littérature que des meilleures résultats sont obtenus en utilisant une approche découplée (vu le nombre d ’inconnues)

Résolution du problème à 4 champs Pour k=1, n…. 1) Données trouver 2) Données trouver 3) Données trouver

Résolution du problème à 5 champs Pour k=1, n…. 1) Données trouver 2) Données trouver 3) Données trouver 4) Données trouver

Loi constitutive Espace-temps Galerkin discontinu Temps: Pn Espace: P0

Résultats: contraction [Hervé, 2000] Application à l ’écoulement dans une géométrie à contraction brusque : étude d ’un Pebdl dans une filière d ’extrusion 8:1:8 W/2=8mm Pebdl FC1010 20mm H=10mm L=20mm v h=1.25mm v 14913 nœuds 74304 tétrahèdres

Résultats: vitesse et lignes de courant x y z x y z

Résultats: contraintes x y z x y z x y z x y z x y z

Résultats: lignes de courant [Sirakov, 2000]

Résultats: étirement et vitesse

Résultats: écoulement sur un cylindre [Verbeeten, 2001]

Résultats: écoulement sur un cylindre

Résultats divers en remplissage