Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)

plan de lexposé la « Décomposition Modale Empirique » –principe –mise en œuvre –exemple deux interprétations –stochastique et fréquentielle –déterministe et temporelle conclusion et perspectives

idée de base principe : « signal = oscillations rapides superposées à des oscillations lentes » méthode (N.E. Huang, 1998) : « Décomposition Modale Empirique » (ou « EMD » pour « Empirical Mode Decomposition ») –identifier localement loscillation la plus rapide –soustraire au signal et itérer sur le résidu adaptation locale sur des échelles multiples et « naturelles » (pilotage par les données )

lalgorithme de Huang calculer 2 enveloppes (1 supérieure et 1 inférieure) par interpolations entre les extrema du signal –soustraire au signal de départ la moyenne de ces enveloppes –itérer jusquà ce que cette moyenne = 0 et #{extrema} = #{passages à zéro} ± 1 soustraire du signal le mode (IMF) ainsi obtenu et itérer sur le résidu

en pratique

un exemple FM oscillations localement quasi-sinusoïdales filtrage variant dans le temps et auto-adaptatif exemple : 2 FM sinus + 1 logon gaussien

EMD

signature temps-fréquence

problèmes ouverts algorithme ? –intuitif mais ad-hoc et pas unique –paramètres à la discrétion de lutilisateur interprétation ? –modes (IMF) vs. Fourier, ondelettes, …? –quelles échelles « naturelles » ? performances ? –évaluation difficile (pas de définition analytique) –recours à des simulations numériques

problèmes abordés ici algorithme ? –intuitif mais ad-hoc et pas unique –paramètres à la discrétion de lutilisateur interprétation ? –modes (IMF) vs. Fourier, ondelettes, …? –quelles échelles « naturelles » ? performances ? –évaluation difficile (pas de définition analytique) –recours à des simulations numériques

interprétation 1 (stochastique et fréquentielle) modèle : bruit gaussien fractionnaire (fGn) –exposant de Hurst 0 < H < 1 H = 1/2 : bruit blanc H 1/2 : corrélation –densité spectrale de puissance (DSP) ~ f 1-2H simulations : DSP estimées des modes pour H = 0.1 à 0.9 et 5000 réalisations de N = 512 points

fGn : DSP des modes structure de banc de filtres passe-haut pour k = 1 et passe-bande pour k > 1 décomposition « spontanée » de type ondelettes

passages à 0 & renormalisation passages à 0 = mesure de fréquence moyenne distribution quasi-dyadique DSP renormalisables sur une « fonction de transfert » unique

densité de proba. des modes IMF (k > 1) : gaussienne IMF (k = 1 et H = 1/2) : proche dun bruit blanc gaussien filtré passe-haut

variance-covariance variance (IMF k ) : loi d échelle covariance (IMF k, IMF k ) : faible k, k > 1 estimation de H par pente

interprétation 2 (déterministe et temporelle) modèle : « impulsion » idéalisée selon s(t) = (t) + n(t), avec n(t) bruit blanc gaussien et 0 +. simulations : calcul de la moyenne densemble des EMD pour 5000 réalisations de N = 2048 points

EMD moyenne

loi d échelle & renormalisation

conclusions et perspectives sur lEMD méthode attrayante car naturellement multi- échelles et pilotée par les données organisation spontanée en banc de filtres (dyadiques) dans des situations « stationnaires » et « transitoires », stochastiques (fGn) ou non (impulsions) définition par un algorithme : quel cadre théorique au-delà des simulations numériques ?

(p)ré-tirages, codes Matlab et démos