Théorie de lagrégation Principaux résultats

Plan Contexte Définitions Résultats (+ exemples) Possibilités et limites Perspectives Discussion

I. Contexte

Historique Economie (Ijiri, 1971) Conservation des flux (ONeill & Rust, 79) Ecologie (Luckyanov, 81) Contrôle optimal (Sinha & Kuszta, 83)

Quelques exemples Echelles spatiales différentes Echelles temporelles différentes Sous-groupes écosystème ~découplés

Exemple x1x1 x2x2 a I1I1 I2I2 d x 1 +x 2 I 1 +I 2 k Conditions dagrégation parfaite : - a = d - x 1 (0)=x 1 ( ) ou x 2 (0)=x 2 ( )

II. Définitions

Agrégation X = (X 1, …,X n ) Y = (Y 1, …, Y m ) =(g 1 (X 1,…,X n ),…,g m (X 1,…X n )) m<n X Y f(X) F(Y) f F g g ? ~

Exemples Système différentiel : f(X)=dX/dt F(Y)=dY/dt Système dynamique : f(X(0))=X(t) F(Y(0))=Y(t)

Agrégation parfaite, F(Y)=F(g(X)) = (f(X)) ?

III. Résultats

Cas linéaire Modèle linéaire : –Y=g(X) =BX ; –X=f(X)=AX ; –Y= F(Y)= DY = BAX ?

Théorème A M n P m (A T ), B={P m (i), i I} M m,n transformation linéaire agrégative (système ordre n système ordre m)

Séparabilité linéaire Définition : (x 1,..,x p )->y 1 Théorème : possible sil existe des colonnes linéairement dépendants, de A.

Algor. de séparabilité linéaire Trouver la matrice la plus proche qui permette lagrégation parfaite Calcul itératif

Cas non linéaire f, g quelconques (non linéaires) dérivables Même principe Théorème –B jk = g j / X k ; A jk = [ l B jl f l ] / x k –C jl= F j / Y l ; – agrégation parfaite ssi AB + B=A X –Si (deg(B)=m) ! C=AB +

Agrégation approchée h j (X)= i ( g j / X i )f i (X) U ={X, ||g(X)-Y||< } = ||F(g(X))-F m || 2 w(X)dX / ||h(X)-h m || 2 w(X)dX F(Y) = lim 0 U h(X)w(X)dX / U w(X)dX

Schéma x1x1 x2x2 h(X) F(Y) Y=g(X) X0X0 F(g(X 0 ))

Agrégation approchée : erreur = || dY/dt(X) agreg -dY/dt(X) micro || 2 w(X)dX = || Y (t) agreg -Y (t) micro || 2 w(X 0 )dX 0 = || agreg - micro || 2 w(X 0 )dX 0 = || Y (t) agreg -Y (t) micro || 2 p(t)dt w(X 0 ) dX 0

Espace des phases V 1 ( 0) =(X(0),X(0)) 1 V 2 (0) V 3 (0) V 4 (0) V 5 (0) V 1 (10) V 2 (10) V 3 (10) V 4 (10) V 5 (10) V 1 (15)

Agrégation Approchée : limites ~Valable pour le voisinage défini par la fonction de pondération Peut modifier : –les points déquilibre –la stabilité des points déquilibre

Ajout dun paramètre dY/dt=F(Y(t),a) But : –imposer les points déquilibre –leur stabilité

Systèmes stochastiques dXi=fi(X)dt+ k=1..p g ik (X)dW k A (k) B + B= A (k) C (k) =A (k) B +

IV. Perspectives

Avantages Cadre rigoureux Minimisation de lerreur suivant un critère choisi

Limites Dans quel cadre peut-il sappliquer ? Contraintes (limites de loutil mathématique)

Prolongements possibles Développer la partie mathématique Autres domaines ? Approche algorithmique ?

Références bibliographiques LUCKYANOV, N.K. (1984). Linear aggregation and separability of models in ecology. Ecological Modelling, 21(1-2):1-12. ONEILL, R.V. & RUST, B. (1979). Aggregation error in ecological models. Ecological Modelling, 7(2): IWASA, Y., ANDREASEN, V. & LEVIN, S. A. (1987) Aggregation in model ecosystems :I.Perfect aggregation. Ecological Modelling, 37(3-4): IWASA, Y., LEVIN S. A. & ANDREASEN, V. (1989). Aggregation in model ecosystems : II. Approximate aggregation. IMA Journal of Mathematics Applied in Medicine & Biology, 6:1-23. GARD, T.C. (1988). Aggregation in stochastic ecosystem models. Ecological Modelling, 44(1-2): N. Picard, Passage dun modèle individuel à un modèle de distribution de la dynamique forestière. Application à une forêt dense tropicale humide de Guyane française. Mémoire de thèse, 1999.

V. Discussion