Création à l’aide de modèles mathématiques Images de synthèse : Création à l’aide de modèles mathématiques 1

Introduction Problématique : on s ’attachera à comprendre comment sont créées les images de synthèse. Etant donné que les modèles mathématiques sont les premiers outils de leur création, on utilisera des figures relativement simples avec des logiciels permettant de les réaliser dans un plan tridimensionnel afin d ’obtenir des images basiques. L ’impression de trois dimensions peut être donnée par un maillage de la figure de base, qu ’on utilise pour appliquer ensuite des textures lumineuses modélisant l ’impact de la lumière sur l ’objet représenté. Mais nous n ’avions pas la possibilité de réaliser cette dernière étape. 2

Applications de nos jours Plan Courbes de Bézier Biographie Barycentres de points multiples Sphère et Ellipse Maillage Equation de courbes Courbes paramétrées Définition mathématique Hyperboloïdes Applications de nos jours 3

Biographie Pierre Bézier ( 1910-1999 ) Ancien ingénieur chez Renault , il conçoit en 1945 les machines pour la fabrication des 4CV et en 1948 une machine a commande numérique. De plus il crée ce qu ’on appelle maintenant les courbes de Bézier, utilisant les barycentres pour paramétrer les courbes de bases en 1960. 4

Courbes de Bézier Barycentre: Le barycentre est l’outil mathématique utilisé pour créer les courbes les plus simples à la base de toutes les images de synthèse.On construira ces courbes avec la technique suivante: Soit 3 points M1,M2,M3 A1 barycentre de M1(1-t) et M2(t) A2 barycentre de M2(1-t) et M3(t) A3 barycentre de A1(1-t) et A2(t) On cherche ainsi a déterminer le lieu géométrique L du point A3 avec M1,M2,M3 points mobiles . t variable de [0 ; 1] 5

On peut ainsi créer un grand nombre de courbes de toutes formes et régler leur longueur et formes en ajustant les bornes et en rendant les points mobiles dans le plan. Exemple : Ainsi que des formes plus complexes en 2D (police d’écriture, dessin) et des surfaces de Bézier (voiture) en 3D Toutes les courbes utiles formées à l’aide de cette application peuvent ainsi être enregistrées et réutilisées dans différents programmes pour plus de rapidité ,c ’est ce qu ’on appelle un modèle classique. On peut répertorier dans ces catégories les hyperboloïdes ,ellipsoïdes, sphères et beaucoup d’autres comme … la théière . 6

On peut aussi définir les courbes de Bézier avec les courbes paramètrées et a l ’aide de la formule de base : Dont on déduit: On trouve ainsi l ’équation paramétrique: On peut ainsi paramétrer des courbes précises qui suite à leur enregistre ment pourrons être utilisées dans d’autres programmes. 7

Sphère et ellipsoïde Notre but ici est de réaliser une sphère et une ellipsoïde a l ’aide de courbes simples et d ’un maillage efficace faisant apparaître le relief dans un plan o,y,z. Pour cela on utilisera GEOSPACW et les courbes paramètrées pour dessiner l ’image de base . On effectuera ensuite soit une rotation de cette figure de base, le demi-cercle ,ou la demi-ellipse pour créer les figures dans l’espace soit on effectuera un maillage à l ’aide d ’une translation de plan pour visualiser la figure puis éventuellement un habillage ,qui dans notre cas n’est pas possible. 8

Equations paramétriques On va à l’aide du logiciel geospacw réaliser une sphère puis une ellipsoïde à partir d’un maillage qui suivra les équations paramétriques de chacune des figures.On expliquera ici une partie de notre démarche : Pour le cercle on tracera le lieu géométrique d ’un point M (x;y) dans un repère orthonormal (oij)qui décrira notre figure suivant la représentation paramétrique: Avec C le cercle décrit ,A (a;b) le centre du cercle,T l ’angle (i;AM) avec T appartient à [-pi ; pi]. La représentation paramétrique de C(A,AM)est: x=a+AMcos(T) y=b+AMsin(T) Avec T appartient à [-pi ; pi]. 9

Schéma explicatif : Pour l ’ellipse, 10

On tracera alors le lieu géométrique du point P pour obtenir une ellipse plane. 11

Maillage On va a l ’aide du logiciel geospacw réaliser une sphère puis une ellipsoïde a partir d ’un maillage qui suivra les équations paramétriques vues précédemment de chacune des figures. Pour ce on effectuera une translation de plan parallèle au plan horizontal et/ou vertical et l ’on paramétrera dans chacun de ces plans la sphère/ellipse correspondante en fonction d’une variable t,l’angle trigonométrique, représentant la longueur OT, T étant l’intersection entre le plan déplacé et l  ’axe qu’il croise , (ox) ou (oy). On obtiendra alors pour la sphère: Et pour l ’ellipse : (Ne pas oublier de mettre le mode trace) 12

Courbes paramétrées Définition mathématique : Le système d ’équations : X=Xa+Ta est appelé une Y=Ya+Tb représentation paramétrique T Réel. De la droite (d) passant par A(Xa,Ya) et de vecteur directeur de coordonnés(a,b). A chaque valeur du paramètre T correspond un seul et unique point de (d) noté M(T). Réciproquement à tout point M de (d) correspond une seule et unique valeur de T . De plus une droite admet une infinité de représentation paramétrique.Il suffit de changer le point A(Xa,Ya). 13

Hyperboloïde 14

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Figure dans Geospacw: On réalise donc ici dans l’espace une hyperboloïde à la forme proche de celle d’une cheminée de refroidissement d ’une centrale nucléaire à l’aide du paramétrage vu auparavant . On présente ici d ’autres moyens d ’obtenir des hyperboloïdes même si ces représentations n ’on pas fait l ’objet d ’une étude détaillée . 17

Applications de nos jours Toutes les figures présentées ne sont que des modèles archi-basiques qui peuvent servir à toutes sortes d ’applications au sein même des plus hautes technologies. Ce n’est pas pour rien si Bézier était ingénieur chez Renault, et l ’industrie automobile fait partie des premières à avoir utilisé les images de synthèse . De même les industries aéronautiques ou spatiales ont souvent recours à ces images virtuelles 18

Bien entendu, les logiciels actuels sont simplifiés et permettent de créer des graphismes bien plus complexes sans avoir de connaissances poussées sur les modèles mathématiques obtenant a partir de figures de bases des figures plus complexes représentant des objets de nos jours. Aujourd’hui, ces images sont aussi utilisées à des fins plus artistiques : Après avoir participé de nombreuses fois à la confection d ’effets spéciaux cinématographiques, on trouve dorénavant des films entièrement réalisés en images de synthèses. 19

Bibliographie -- Les logiciels geoplanw et geospacw du CNDP. --Les logiciel Word et Photo Editor nécessaires pour certains liens. -- Site Internet sur Bézier : http:\\ pers.infonie.fr\rocbo\Max\culture\bezier\bez_t_s\bez_crb.htm -- Cours de mathématiques traitant des courbes paramétrées. 20