FINANCE Le risque systématique Professor André Farber Solvay Business School Université Libre de Bruxelles Fall 2006

June 19, 2015 DESG |2 Introduction Comment calculer la rentabilité attendue et le risque d’un portefeuille: mise en évidence du rôle de la covariance Décomposition de la variance: somme des covariances des titres avec le portefeuille Importance de la diversification (risque moindre) mais aussi limite Beta: mesure le risque (systématique) d’une action dans un portefeuille

June 19, 2015 DESG |3 Covariance et corrélation Mesures statistiques de la covariabilité Covariance Même unité de mesure que la variance. Pas sympa Corrélation covariance divisée par le produit des écart types Covariance et corrélation même signe –Positif : les variables corrélées positivement –Zero : les variables sont independentes –Negatif : les variables sont corrélées négativement La corrélation est un nombre compris entre –1 and + 1

June 19, 2015 DESG |4 Calcul de la rentabilité attendue et du risque d’un portefeuille Considérons un portefeuille P constitué de 2 actifs Données: –Rentabilité attendues : –Ecart types : –Covariance : Portefeuille: défini par les pondérations des titres x 1, x 2 x 1 + x 2 = 1 Rentabilité attendue du portefeuille: Variance du portefeuille:

June 19, 2015 DESG |5 Décomposition de la variance du portefeuille Quelle est la contribution de chacun des titres au risque du portefeuille? La variance du portefeuille peut s’écrire: La variance du portefeuille est la moyenne pondérée de la covariance de chacun des titres avec le portefeuille.

June 19, 2015 DESG |6 Exemple

June 19, 2015 DESG |7 Frontière efficiente – 2 actifs ρ = -1 ρ = +1 ρ = 0

June 19, 2015 DESG |8 1 actif risqué + 1 actif sans risque Constituons le portefeuille P suivant: Pondérations: –Actif sans risque 1-x (40%) –Actif risqué x (60%) Rentabilité attendue du portefeuille P: Ecart type du portefeuille : Actif sans risque Actif risqué Rentabilité attendue 6%12% Ecart type0%20%

June 19, 2015 DESG |9 Relation risque – rentabilité attendue En combinant les expressions : Rentabilité attendue Ecart type il vient:

June 19, 2015 DESG |10 Ratio de Sharpe Exemple: r F = 6% Rentabilité Ecart type attendue A 9% 10% B 15% 20% Ratio de Sharpe A (9-6)/10 = 0.30 B (15-6)/20 = 0.45 ** A B Ecart type Rentabilité attendue Choisir le portefeuille ayant le ratio de Sharpe le plus élevé: Max r étant donné σ Min σ étant donné r

June 19, 2015 DESG |11 Choix du portefeuille risqué optimal

June 19, 2015 DESG |12 Mathematical representation of preferences a: risk aversion coefficient u = certainty equivalent risk-free rate Example: a = 2 A 6% B 10% 10% 0.08 = ×(0.10)² C 15% 20% 0.07 = ×(0.20)² B is preferred Utility Aversion au risque

June 19, 2015 DESG |13 Optimal choice with a single risky asset Risk-free asset : r F Proportion = 1-x Risky portfolio S: Proportion = x Utility: Optimum: Solution: Example: a = 2

June 19, 2015 DESG |14 Généralisation à N actifs Composition du portefeuille : (x 1, x 2,..., x i,..., x N ) x 1 + x x i x N = 1 Rentabilité attendue: Risque: Remarque: N termes en variances N(N-1) termes en covariances Covariances dominent

June 19, 2015 DESG |15 Some intuition

June 19, 2015 DESG |16 Exemple Considérons un portfeuille d’actions ayant les mêmes caractéristiques: Pondération uniforme: Variance du portefeuille: Que se passe-t-il si le nombre de titres augmente ?: Variance of portfolio:

June 19, 2015 DESG |17 Diversification

June 19, 2015 DESG |18 Conclusion 1. Diversification pays - adding securities to the portfolio decreases risk. This is because securities are not perfectly positively correlated 2. There is a limit to the benefit of diversification : the risk of the portfolio can't be less than the average covariance (cov) between the stocks The variance of a security's return can be broken down in the following way: The proper definition of the risk of an individual security in a portfolio M is the covariance of the security with the portfolio: Total risk of individual security Portfolio risk Unsystematic or diversifiable risk