L’APPRENTISSAGE DES FRACTIONS ET DES NOMBRES DECIMAUX du CYCLE 3 à la 6ème. Stages interdegré - 2011 -

Des activités et des outils  Les nombres: écriture et nature  Les difficultés et leurs origines  Principes généraux d’enseignement Historique (Disme et Stévin)  Document d’accompagnement Cycle 3  Document d’accompagnement 6ème Des activités et des outils  Les nombres: écriture et nature  Exemple de programmation cycle3-6ème  Exemple de progression 6ème  Bibliographie EN GUISE D'INTRODUCTION : Résultats de quelques évaluations "1,015 et 1,05" : Quel est le plus grand ? 52% de réussite. Non prise en compte de 15 qui désigne des millièmes alors que 5 désigne des centièmes. (Eval 6ème 1993)  Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? Le tableau suivant donne les pourcentages de réussite : (Jeanne Bolon Années 90) Classe CM1 CM2 6° 5° Réussite 22% 30% 27% 29% Comment expliquer l’erreur persistante selon laquelle 7,08 et 6,9 serait le nombre le plus proche de 7 ? Là encore, les enfants travaillent vraisemblablement sur l’écriture des nombres indépendamment de ce qu’ils représentent. Ils savent que pour passer de l’écriture "6,9" à l’écriture "7,0", il faut "ajouter un 1", alors que pour passer de "7" à "7,08", il faut "ajouter un 8". L’écart est plus grand quand on ajoute 8 que quand on ajoute 1 ! L’erreur observée résulte bien, là encore, d’un défaut de conceptualisation, les élèves raisonnant avec ces nouveaux nombres en appliquant des règles qui ne valent que pour les entiers. On peut penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent (cf le pourcentage)

Difficultés relatives à la compréhension des nombres décimaux : Les difficultés et leurs origines Difficultés relatives à la compréhension des nombres décimaux : Les évaluations 6ème et CM2 mettent en évidence que certains élèves semblent considérer que la virgule sépare deux nombres entiers : ils traitent la partie décimale comme un entier. EN GUISE D'INTRODUCTION : Résultats de quelques évaluations "1,015 et 1,05" : Quel est le plus grand ? 52% de réussite. Non prise en compte de 15 qui désigne des millièmes alors que 5 désigne des centièmes. (Eval 6ème 1993)  Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? Le tableau suivant donne les pourcentages de réussite : (Jeanne Bolon Années 90) Classe CM1 CM2 6° 5° Réussite 22% 30% 27% 29% Comment expliquer l’erreur persistante selon laquelle 6,9 serait le nombre le plus proche de 7 ? Là encore, les enfants travaillent vraisemblablement sur l’écriture des nombres indépendamment de ce qu’ils représentent. Ils savent que pour passer de l’écriture "6,9" à l’écriture "7,0", il faut "ajouter un 1", alors que pour passer de "7" à "7,08", il faut "ajouter un 8". L’écart est plus grand quand on ajoute 8 que quand on ajoute 1 ! L’erreur observée résulte bien, là encore, d’un défaut de conceptualisation, les élèves raisonnant avec ces nouveaux nombres en appliquant des règles qui ne valent que pour les entiers. On peut penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent (cf le pourcentage) Menu Suite

Réflexions sur un « test »: Les difficultés et leurs origines Réflexions sur un « test »: J. Bolon a proposé la tâche suivante à des élèves depuis la fin du CM1 jusqu’à la 5e : « Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? » Réussite obtenue: CM1 22% CM2 30% 6° 27% 5° 29% EN GUISE D'INTRODUCTION : Résultats de quelques évaluations "1,015 et 1,05" : Quel est le plus grand ? 52% de réussite. Non prise en compte de 15 qui désigne des millièmes alors que 5 désigne des centièmes. (Eval 6ème 1993)  Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? Le tableau suivant donne les pourcentages de réussite : (Jeanne Bolon Années 90) Classe CM1 CM2 6° 5° Réussite 22% 30% 27% 29% Comment expliquer l’erreur persistante selon laquelle 6,9 serait le nombre le plus proche de 7 ? Là encore, les enfants travaillent vraisemblablement sur l’écriture des nombres indépendamment de ce qu’ils représentent. Ils savent que pour passer de l’écriture "6,9" à l’écriture "7,0", il faut "ajouter un 1", alors que pour passer de "7" à "7,08", il faut "ajouter un 8". L’écart est plus grand quand on ajoute 8 que quand on ajoute 1 ! L’erreur observée résulte bien, là encore, d’un défaut de conceptualisation, les élèves raisonnant avec ces nouveaux nombres en appliquant des règles qui ne valent que pour les entiers. On peut penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent (cf le pourcentage) Menu Suite

Réflexions sur un « test »: Les difficultés et leurs origines Réflexions sur un « test »: Double conclusion: 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 (Cf. le pourcentage de réussite observé). 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, seront vraisemblablement confrontés à des obstacles dans les quelques années qui suivent. => Importance du travail initial à l’école. EN GUISE D'INTRODUCTION : Résultats de quelques évaluations "1,015 et 1,05" : Quel est le plus grand ? 52% de réussite. Non prise en compte de 15 qui désigne des millièmes alors que 5 désigne des centièmes. (Eval 6ème 1993)  Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? Le tableau suivant donne les pourcentages de réussite : (Jeanne Bolon Années 90) Classe CM1 CM2 6° 5° Réussite 22% 30% 27% 29% Comment expliquer l’erreur persistante selon laquelle 6,9 serait le nombre le plus proche de 7 ? Là encore, les enfants travaillent vraisemblablement sur l’écriture des nombres indépendamment de ce qu’ils représentent. Ils savent que pour passer de l’écriture "6,9" à l’écriture "7,0", il faut "ajouter un 1", alors que pour passer de "7" à "7,08", il faut "ajouter un 8". L’écart est plus grand quand on ajoute 8 que quand on ajoute 1 ! L’erreur observée résulte bien, là encore, d’un défaut de conceptualisation, les élèves raisonnant avec ces nouveaux nombres en appliquant des règles qui ne valent que pour les entiers. On peut penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent (cf le pourcentage) Menu Suite

Les nombre décimaux entre continuité et rupture … Document d’accompagnement 6ème Les nombre décimaux entre continuité et rupture … La difficulté de l’apprentissage des nombres décimaux tient notamment au fait que celui-ci nécessite la compréhension de propriétés ou de techniques dont les unes sont en continuité et les autres en rupture avec celles des entiers naturels. Menu Suite

Les difficultés et leurs origines Obstacles Les règles de fonctionnement des entiers ne peuvent être entièrement étendues aux décimaux. Elles ne sont pas supprimées pour autant. → Instabilité des connaissances un entier est d'autant plus grand qu'il a un plus grand nombre de chiffres (faux pour les décimaux): le nombre de chiffres d'un nombre n'est pas un indicateur de sa grandeur  multiplier augmente (parfois vrai, parfois faux pour les décimaux) ; diviser diminue (parfois vrai, parfois faux pour les décimaux). Rupture de sens pour la multiplication  Le chiffre des unités n'est pas le dernier  Le précédent d'un nombre n'a pas de sens  Les entiers nous font aller dans l' infiniment grand, les décimaux vers l' infiniment grand et aussi l' infiniment petit – Notion d'infinité dans un intervalle : Que se passe-t-il tout près du 0 ? Menu Suite

Document d’accompagnement 6ème Nombres entiers  nombres décimaux rupture Par exemple : 23  10 = 230 2,3  10 = 2,30 20,30 20,3 2,3  10 = 23 La virgule a-t-elle bougé ?... Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

Document d’accompagnement Cycle 3 Les écritures à virgule prennent un sens en étant mises en relation avec les fractions décimales (introduction historique des décimaux). La valeur d’un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit à sa gauche et dix fois plus grande que celle de celui qui est écrit à sa droite. Travail sur l’échange : La cible. La cible Menu Suite

Origine des difficultés: Les difficultés et leurs origines La façon d’écrire, de lire et de dire les nombres décimaux (« 3 virgule 8 »). Dans la vie quotidienne, l’utilisation des nombres décimaux renforce l’idée de juxtaposition de deux entiers (7€35 ou 7h35min). Les techniques de calcul, pour ces nombres, sont les mêmes que pour les entiers. Les «recettes» mnémotechniques employées parfois pour la comparaison des nombres décimaux, ou pour certaines opérations (multiplication par 10, 100..) Quelques outils ●Une réglette. (tableau_virgule) ● Un tableur: mult div 10 100 1000 tableur.ods Origine des difficultés: 1) en juxtaposant les chiffres à gauche et à droite de la virgule ( c’est le dire) 7,35 lu « 7 virgule 35 », voire « sept trente cinq », au lieu de « 7 virgule 35 centièmes », ou encore « 7 virgule 3 dixièmes et 5 centièmes » 2) 7,35 € compris comme « 7 € 35 centimes », sur le modèle de « 7 H 35 mn » l’idée de fractionnement disparaît 4) Le fait que, pour la comparaison de deux décimaux, de nombreux maîtres enseignent la règle selon laquelle il faut écrire des zéros à droite de la virgule jusqu’à ce qu’ils aient le même nombre de chiffres après la virgule. • On enseigne parfois la règle "Pour comparer deux décimaux, on écrit des zéros à droite de la virgule jusqu’à ce qu’ils aient le même nombre de chiffres après la virgule". Un élève qui applique cette règle est conduit à comparer 1,015 et 1,050 et là, il ne se trompe plus parce que 15 < 50. A-t-il pour autant mieux compris ce que sont des centièmes par rapport à des millièmes ? Rien n’est moins sûr De même la division par cent possède, elle-aussi, sa règle : "Pour diviser un nombre par cent, je décale la virgule de 2 rangs vers la gauche". Il est vraisemblable que certains élèves réussissent en utilisant cette règle sans beaucoup de connaissances concernant les décimaux. Enseigner de telles règles est même très probablement un "piège pédagogique" parce qu’en les appliquant, certains élèves réussissent diverses tâches portant sur des décimaux alors qu’ils n’ont fondamentalement pas compris ce qu’est un décimal. ex. : pour comparer 1,015 et 1,05 : un élève qui applique cette règle peut très bien réussir sans, pour autant, comprendre ce que sont des centièmes par rapport à des millièmes) ; idem, pour la division par 10, 100… où l’on décale la virgule de 1 ou 2 rangs vers la gauche. • Pour comparer des nombres décimaux, ils comparent d'abord la partie entière 13,45 < 123,45. Mais à partie entière égale, ils comparent les parties décimales comme pour des entiers. Dans 13,475, 4 est pris assez souvent pour le chiffre des centaines. On comprend alors pourquoi tant d'enfants jugent 13,7 plus petit que 13,475. • Problème de la fraction décimale : dizaine < centaine mais dixième > centième Révélateur de l’enseignement «  à coup de règle » dixit Charnay: enseignement de recettes. 23,4*100= 2340: quelles justifications Menu Suite

Les difficultés et leurs origines Ces difficultés masquent la nature de « fraction » des nombres décimaux et peuvent conduire de très nombreux élèves à les assimiler à des entiers. Menu

 Principes généraux d’enseignement 1/ Les nombres décimaux ne sont pas seulement des nombres à virgule ; ils sont aussi et surtout représentés par des fractions décimales. 2/ Les nombres décimaux sont des nombres rationnels inventés pour approcher d’aussi près que l’on veut la mesure d’une grandeur continue. 3/ Enseigner d’abord les décimaux sous forme de fractions décimales puis, dans un deuxième temps, l’écriture à virgule de ces fractions décimales. Menu Suite

 Principes généraux d’enseignement 4/ Pour enseigner les décimaux, utiliser d’abord des unités de mesure non conventionnelles pour favoriser l’appropriation de l’idée de fractionnement et éviter la confusion avec les entiers. 5/ Enseigner l’écriture à virgule comme un simple changement de notation. 6/ Faire oraliser systématiquement les nombres à virgule, en explicitant les dixièmes, centièmes etc. Menu

 Historique (Disme et Stévin) Première page de La Disme de Simon Stevin (édition de 1585) Menu Suite

Historique (Disme et Stévin) Menu

Document d’accompagnement Cycle 3 Au cycle 3, approche de la fraction dans le but d’aider à la compréhension des décimaux Les fractions sont des nouveaux nombres utiles pour résoudre des problèmes où les nombres entiers sont insuffisants. Quelques fractions (1/2, 1/3, 1/4, 1/8..) peuvent être illustrées ou évoquées en référence à des pliages successifs ou bien l’on peut avoir recours à un réseau de droites parallèles équidistantes qui permet de partager une longueur en plusieurs longueurs égales, sans recours à la division. (machine à partager) Nous reviendrons sur ce point un peu plus tard (diapo. 23) Menu Suite

Document d’accompagnement Cycle 3 La notion de valeur approchée fait l’objet d’un premier travail qui doit prendre sens pour l’élève, en relation avec un contexte issu de la vie courante. Développer des représentations mentales à propos de certains nombres et des relations qui les lient 0,1 et 1/10 ainsi que 0,5 et 1/2…. Menu

Consigne: 1er temps Rangez vos instruments. 1- La fraction partage EXEMPLE D’ACTIVITE: les bandelettes. Consigne: 1er temps Rangez vos instruments. Vous allez recevoir une feuille sur laquelle sera indiqué votre numéro de groupe (un numéro et la lettre A ou B). Sur cette feuille, sont tracés plusieurs segments Vous aurez une feuille navette pour envoyer un message : le professeur fera le facteur. Chaque groupe doit envoyer un message au groupe qui a le même numéro que lui. Le but du message est de faire reproduire le segment de votre choix, sans faire de dessin sur le message. travail sur le partage à travers l’activité des bandelettes. Menu Suite

2ème temps: Essayer de faire un dessin qui correspond au message qui vous a été envoyé pour l’autre groupe. 3ème temps: Rencontre et contrôle : le segment réalisé est-il le même que celui de départ ? Les segments A, B, C, D ont pour mesures respectives : 3/4 ; 7/6 ; 1 + 1/3 et 1/2 ; les segments E, F, G, H : 2/3 ; 1 + 1/4  ; 3/2 et 5/6 . Menu Suite

Objectifs Montrer l’insuffisance des nombres entiers pour effectuer des mesures. les fractions traduisent les actions menées. Plusieurs écritures peuvent désigner la même mesure: 1/2u +1/2u =1u ; 1u +1u +1/2u = 2u+1/2u En particulier nécessité d’avoir des fractions de l’unité, du type: ½u ; ¼u … Travail de rédaction des messages pour traduire les mesures en fractions de l’unité Décoder un message, comprendre une écriture fractionnaire pour construire un segment. Menu Suite

Exercice 1 A l'aide de votre bandelette et sans mesure supplémentaire, construire des segments de longueurs: ½u ; ¼u ; 1+½u ; 2u Exercice 2 Menu Suite

♦ Un partage plus ’’délicat’’ Comment partager une bande en 7 parties égales ? ierguideane.g2w Objectif présenter une machine à partager : le guide-âne Menu Suite

 Document d’accompagnement Cycle 3 L’activité papier à partager permet de montrer que l’on dispose d’un outil permettant d’envisager tout type de partage. Avec cette activité, on prépare également la notion de quotient à partir des mesure: 1/9 de 14 cm est la longueur de segment qu’il faut prendre 9 fois pour obtenir 14 cm. Notamment le lien avec le quotient est fait à la deuxième partie. Menu Guide_démo.g2w Activité papier à partager Suite

séance 1 : partage À main-levée Vers le repérage sur la demi-droite graduée séance 1 : partage À main-levée Menu Suite

Objectifs Distinguer le rôle du dénominateur, puis celui du numérateur. Expliciter les procédures: exemple pour placer 5/4 on utilise ses différentes écritures Notion d’unité et d’abscisse, double usage de ces nouveaux nombres : représenter une longueur de bande repérer un point de la demi-droite des nombres. Erreurs du type 1/3 = 1,3. Menu Suite

séance 2: à l’aide de graduations prédéfinies séance 3 : égalités de fractions et repérage Egalité de fractions et repérage Menu Suite

Exercice (Fractions et repérages) Place le plus précisément possible les nombres suivants: 1/2; 1/3; 1/5; 9/7; 3/5; 5/3 ; 9/3 Tu peux prolonger la demi-droite si c’est nécessaire. Objectifs: - Utiliser le guide-âne pour effectuer des graduations - Faire le lien entre des fractions de même dénominateur. Exercice 2 (fractions et aires) Fractions et aires de carrés Menu Suite

 Document d’accompagnement Cycle 3 CM2 7/3 c'est « 7 fois un tiers » Le dénominateur nomme le type de partage de l’unité (en parts égales) alors que le numérateur précise le nombre de parts qui seront reportées Collège 7/3 devient « le tiers de 7 ». 7 : 3 = 7/3 (pas d’opération en suspend) Menu Suite

2- En sixième, la fraction quotient séance 1: Compléter les égalités suivantes: 4 × … = 20 b) ... × 7 = 7 c) 16 × … = 432 d) 15 × … = 48 e) 5 × … = 2 f) … × 2 = 1 g) 0 × … = 3 h) 3 × … = 4 Menu Suite

séance 2: la puce Une puce se déplace sur une demi-droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA. Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la première fois sur un nombre entier et quel est ce nombre ? Menu Suite

Sauts de puce Objectifs : 4/3 est le nombre qui vérifie : 3 × 4/3 = 4 C’est le quotient de 4 par 3. Menu Suite

séance 3: le retour de la puce Une puce est partie du point D d’abscisse 0 et est arrivée au point F d’abscisse 4, en faisant 3 bonds de même longueur. Où est arrivée la puce au bout d’un bond ? Quelle est la longueur De ce bond ? Objectif: Utilisation de la machine à partager pour montrer que montrer que 4/3 (vision cycle 3) est le même nombre que le tiers de 4 (vision 6ème) Autre activité (Partage de cakes) Objectif: Montrer que 1/4 de 3 est égal à 3/4: Cakes Menu Suite

Exercice (Proportionnalité et repérage) Place 12; 72; 54 sur cette demi-droite. Tu peux la prolonger si cela te paraît nécessaire: Objectifs: - Exploiter la proportionnalité. - Mettre en œuvre la notion de quotient dans une situation de repérage. - Travailler la notion de fraction de… Menu Suite

En sixième on entreprend de « prendre une fraction d’un nombre » Exemple d’activité: Prendre un nombre de Menu Suite

Produit de nombres décimaux Utilisation des aires: exemple d’activité 1ère séance (6 rectangles de même périmètre) Consigne: Sur une feuille de papier millimétré, dessiner 6 rectangles de périmètre 10 cm. Menu Suite

6 rectangles de même périmètre. 2ème séance: Consigne : Voici des rectangles obtenus à la séance 1. Quel est le rectangle de plus grande aire ? C’est le 5: 6,1875 cm2 Menu Suite

1ère séance Consigne 1: Sur une feuille de papier millimétré, dessiner 6 rectangles de périmètre 10 cm. Pré-requis: multiplication par 10, 100 Prolongement : 3ère séance 7 rectangles de même aire. Consigne: Dessiner 7 rectangles différents de 36 cm² d’aire. Menu Suite

Document d’accompagnement 6ème Différentes désignations d’un nombre décimal Un premier objectif du collège est donc d’aider les élèves à différencier la nature d’un nombre de son écriture, notamment en mettant en relation différentes désignations d’un même nombre. Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

 Document d’accompagnement 6ème le nombre dix-sept peut s’écrire 17 ou 34/2 ou 17,00 (écriture souvent utilisée pour les prix), etc. Dans tous les cas, c’est un nombre entier (et aussi un nombre décimal…) ; le nombre deux plus cinq dixièmes peut s’écrire 2,5 ou 2,50 (cas des prix, toujours) 5/2, etc. Dans tous les cas, c’est un nombre décimal. Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu

Les nombres Ecriture d’un nombre: Exercice 1 Combien de nombres différents sont écrits ? 800/100 2  4 1 – 0,4 6 + 2 8,00 80/10 0,6 16 : 2 6  0,1 Exercice 2 (sixième) Fractions et nombres décimaux: Fractions d’aire et nombres décimaux Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

Ecritures d’un nombre: Les nombres Ecritures d’un nombre: Deux virgule quarante-six 2 +46x0,01 2+ (4x0,1)+(6x0,01) 2 +6/100+4/10 2,46 Partie entière , le rompu ( un petit morceau) 246/100 Deux unités et quarante-six centièmes Vingt-quatre dixièmes et six centièmes 2+ 46/100 Menu Suite

Les nombres Nature d’un nombre: Exercice 3 (sixième) Voici une liste de nombres :   6/2 6/4 6/7 7/10 14/5 8/3 3/2 . Parmi les nombres de la liste, lesquels ne sont ni entiers, ni décimaux ? Parmi les nombres de la liste, lesquels sont égaux ? Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu

Exemple de programmation cycle 3- 6ème Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

Programmes et socle commun Programmation CM1 - numération

Exemple de progression 6ème I Reprise et consolidation du Cycle 3 1. Les nombres entiers 2. Les fractions Comparaison de longueurs : directe, mesure avec des unités non usuelles. Activité Bandelette avec échange de messages par binôme Présentation de la machine à partager Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

Exemple de progression 6ème 3. Les fractions décimales et les nombres décimaux Sur demi-droite graduée, partage de l’unité en dix parts égales puis en cent parts. Texte de la Disme de Simon STEVIN pour arriver à l’écriture décimale Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

Exemple de progression 6ème II -Programme de Sixième Les nombres rationnels ● Activité Multiplications à trou suivi du Saut de puce: la notion de quotient. ● Activité Le retour de la puce : utilisation de la machine à partager pour montrer que les « 4 tiers » est le même nombre que « le tiers de 4 ». - Activité : partage de cakes ● Transversalement, un travail sur les différentes écritures d’un nombre doit être mené. ● Comparaison 1/10 ; 1/100 … (exemple : « La cible ») ● Le calcul mental régulier est à poursuivre dans la continuité de l’école primaire (compter de 0,1 en 0,1; peut-on trouver un nombre entre 2,3 et 2,4 ...) ● Utilisation de la calculatrice pour aider à comprendre les nombres décimaux. calculatrice Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

Bibliographie Brochure « Des nombres au collège : parcours vers le réel », de la CII Collège « ERMEL : Apprentissages numériques et résolutions de problèmes », INRP, Hatier «  Les fractions et les décimaux au CM1 - Une nouvelle approche » Conférence de Rémi BRISSIAUD - IUFM de Versailles « La machine à partager - Fractions et décimaux au cours moyen » - C. Houdement – IREM Haute Normandie La sixième entre fractions et décimaux (Irem de Lyon) Des nombres au collège Parcours vers le réel Brochure APMEP No181 Irem Lyon ( activité des rectangles) Entrées dans l’algèbre 6e et 5e( Irem de Bordeaux1) Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu