Le théorème de Pythagore Une initiation pour petits et grands
Mode d’emploi On peut laisser aller l’animation, mais les boutons permettent d’accéder aux différents sujets : Revenir au début Revoir la démonstration Exemples d’utilisation de la relation Quelques informations sur les carrés Les triplets de Pythagore
Il était une fois, Un triangle rectangle.
Opposée à l’angle droit Son hypoténuse
Si on trace deux côtés perpendiculaires Le triangle est formé. Le troisième côté nous est imposé par la construction. Sa longueur dépend donc des longueurs choisies pour les deux premiers côtés. Mais de quelle manière? C’est le sujet traité ici.
Le carré de l’hypoténuse. (c'est à dire dont le côté est l'hypoténuse)
Les carrés des deux côtés de l’angle droit.
= +
En langage mathématique : Théorème de Pythagore La place occupée par le grand carré (son aire) est la même que celle des deux plus petits carrés assemblés. En langage mathématique : Le carré de l ’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. x y z X² + Y² = Z²
Prenons un exemple: Prenons un triangle rectangle. Si un côté mesure 3 cm. Le carré construit sur ce côté mesure 9 cm². 25 cm² Si l’autre côté mesure 4 cm. 9 cm² 3 cm 5 cm 3 cm Le carré construit sur ce côté mesure 16 cm². 4 cm 16 cm² 4 cm La somme des aires de ces deux carrés est de 9 + 16 = 25 cm². Donc le carré construit sur l’hypoténuse mesure 25 cm². 3² + 4² = 5². Donc l’hypoténuse mesure 5 cm, car 5 5 = 25.
Par quel miracle cette situation est-elle possible?
Voici une «démonstration»!
On s ’intéresse à la moitié de l’un des deux petits carrés.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
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L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé. Pourquoi? Suite
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé. Suite
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on le fait tourner autour d’un point.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on le fait tourner autour d’un point.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on le fait tourner autour d’un point.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on le fait tourner autour d’un point.
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L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
Donc les deux triangles orange ont la même aire.
Si on double l ’aire de ces deux triangles: Alors on complète le carré Et on complète aussi le rectangle.
L’aire du carré .. est donc la même que … … l’aire du rectangle.
On procède de la même manière pour l’autre carré.
On le déplace
On le déplace
On le déplace
On le déplace
On le déplace
On le fait tourner
On le fait tourner
On le fait tourner
On le déplace
On le déplace
On le déplace
On le déplace
On le déplace
On double les aires
L’aire du carré .. est la même que … … l’aire du rectangle.
Donc, finalement, le grand carré est rempli par les deux petits.
Une autre manière de voir cette propriété. Dans un carré donné, On place quatre triangles rectangles identiques. Qui laissent apparaître une surface non occupée Qui est un carré dont le côté est l’hypoténuse des triangles rectangles. C’est donc le carré de l’hypoténuse.
Ainsi sont apparus les carrés des deux côtés de l’angle droit.
Le carré de l’hypoténuse
La somme des deux autres carrés Est égal à La somme des deux autres carrés
Le carré de l’hypoténuse La somme des deux autres carrés = Le carré de l’hypoténuse Est égal à La somme des deux autres carrés
D ’autres exemples d ’utilisation de la propriété de Pythagore
D’autres exemples d’utilisation de la propriété de Pythagore
29 cm 20 cm 20² + 21² = 400 + 441 = 841 21 cm et 29 29 = 841
17 cm 8 cm 8² + 15² = 64 + 225 = 289 15 cm et 17 17 = 289
7 cm 24 cm 25 cm 25² 24² = 625 576 = 49 et 7 7 = 49
On peut créer des triplets Pythagoriciens . Ce sont des exemples de trois longueurs entières qui permettent de construire des triangles rectangles. On les appelle des triplets Pythagoriciens. On peut créer des triplets Pythagoriciens . Comment? Suite
Généralisation La figure construite sur l’hypoténuse est équivalente à la somme des figures semblables construites sur les deux côtés de l’angle droit.
Généralisation La figure construite sur l’hypoténuse est équivalente à la somme des figures semblables construites sur les deux côtés de l’angle droit.
Comment obtenir un carré deux fois plus grand? Si on double la longueur du côté 1 2 4 3 l’aire du carré est, non pas deux fois, mais quatre fois plus grande. Il faut donc trouver autre chose….
a a² 2a² Il suffit de construire la diagonale du carré. Puis le carré en prenant cette diagonale pour côté. a² 2a² Si a est le côté du petit carré, le carré de l’hypoténuse est a² + a² = 2 a² En savoir plus sur les carrés
a a² 2a² Il suffit de construire la diagonale du carré. Puis le carré en prenant cette diagonale pour côté. a Si a est le côté du petit carré, le carré de l’hypoténuse est a² + a² = 2 a² a² 2a²
Qu’est-ce qu’une racine carrée? Dans un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 4 cm et 7 cm, h 4 cm On calcule la longueur de l’hypoténuse par la relation de Pythagore: 7 cm h² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65 Pour connaître la valeur de h, on cherche un nombre dont le carré est égal à 65. Il n ’existe pas de nombre entier qui réponde à cette situation. Par définition, on appelle «racine carrée» de 65 le nombre cherché. On le note
Pour en savoir plus sur les racines carrés, consulter, dans la même collection Pythagore et les racines
The end Clique là bas
Les triplets de Pythagore. Pour que les trois côtés du triangle vérifient la relation de Pythagore, on ne peut pas les choisir au hasard. x = a² + b² y = a² - b² z = 2 a b Des formules permettent de les fabriquer par le calcul. x, y et z sont les longueurs des côtés, quand on prend des valeurs entières pour a et pour b
x = a² + b² y = a² - b² z = 2 a b On donne des valeurs à a et à b. a b On calcule x, y et z avec ces valeurs. a² b² x = + = y = - = z = 2 = a² b² a b
On donne des valeurs à a et à b. x = a² + b² y = a² - b² z = 2 a b a b 1 On calcule x, y et z avec ces valeurs. 2² 1² 4 + 1 = 5 On obtient le triplet (3, 4, 5) 2² 1² 4 - 1 = 3 2 4 1 On vérifie la relation de Pythagore. 3² + 4² = 9 + 16 = 25 et 5² = 25 , donc x² = y² + z²
On calcule x, y et z avec ces valeurs. x = a² + b² y = a² - b² z = 2 a b On donne d’autres valeurs à a et à b. a b 3 1 On calcule x, y et z avec ces valeurs. 3² 1² 9 + 1 = 10 x = + = y = - = z = 2 = On obtient le triplet (6, 8, 10) 3² 1² 9 - 1 = 8 3 6 1 On vérifie la relation de Pythagore. 8² + 6² = 64 + 36 = 100 et 10² = 100 , donc x² = y² + z²
On calcule x, y et z avec ces valeurs. On donne d’autres valeurs à a et à b. x = a² + b² y = a² - b² z = 2 a b a b x = + = y = - = z = 2 = 5 3 On calcule x, y et z avec ces valeurs. 5² 3² 25 + 9 = 34 On obtient le triplet (16, 30, 34) 5² 3² 25 - 9 = 16 5 30 3 On vérifie la relation de Pythagore. 16² + 30² = 256 + 900 = 1156 et 34² = 1156, donc x² = y² + z² Retour
L’aire du triangle. Hauteur Hauteur Hauteur Hauteur Hauteur Hauteur Si on déplace un sommet sur une parallèle au côté... Hauteur Hauteur Hauteur Hauteur Hauteur Hauteur Côté Le côté et la hauteur ne changent pas, donc l’aire non plus. Son aire : A = 1/2 C H Retour
Pythagore Pythagore (v.570-v.490av.J.-C.), philosophe et mathématicien grec dont les doctrines exercèrent une profonde influence sur Platon. Originaire de l'île de Samos, Pythagore fut initié aux enseignements des premiers philosophes ioniens Thalès, Anaximandre et Anaximène. Pythagore aurait quitté Samos en raison de son aversion pour la tyrannie de Polycrate. Vers 530av.J.-C., Pythagore s'établit à Crotone, colonie grecque dans l'Italie du Sud, où il fonda un mouvement qui nourrissait des aspirations religieuses, politiques et philosophiques, connu sous le nom de pythagorisme. On connaît la philosophie de Pythagore uniquement par l'œuvre de ses disciples. Doctrines de base Les pythagoriciens adhéraient à certains mystères, semblables à bien des égards aux mystères de l'orphisme. Obédience et silence, abstinence de nourriture, simplicité vestimentaire, modestie des possessions et examen de conscience, telles étaient leurs règles. Les pythagoriciens croyaient à l'immortalité et à la transmigration des âmes. On rapporte que Pythagore lui-même prétendait avoir été un guerrier de la guerre de Troie, et qu'il se targuait d'avoir pu emporter dans sa vie terrestre le souvenir de toutes ses existences antérieures.
Pythagore Retour Théorie des nombres Parmi les multiples recherches mathématiques réalisées par les pythagoriciens, leurs travaux sur les nombres pairs et impairs, et les nombres premiers et carrés eurent une importance fondamentale dans la théorie des nombres. Le concept de nombre devint pour eux le principe ultime de toute proportion, ordre et harmonie dans l'univers. Grâce à ces travaux, ils dotèrent les mathématiques d'un fondement scientifique. En géométrie, la grande découverte de l'école (mais qui fut découverte par d’autres ailleurs à d’autres époques) fut le théorème de l'hypoténuse, ou théorème de Pythagore, qui établit que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Astronomie L'astronomie des pythagoriciens marqua une étape importante dans la pensée scientifique antique, parce qu'ils furent les premiers à considérer la Terre comme un globe gravitant avec d'autres planètes autour d'un feu central. Ils soutenaient que la disposition harmonieuse des corps célestes s'explique par le fait qu'ils se situent dans une sphère de réalité unique et englobante, se déplaçant selon un plan numérique. Comme ils pensaient que les corps célestes sont séparés les uns des autres par des intervalles correspondant aux longueurs harmonieuses des cordes, les pythagoriciens soutenaient que le mouvement des sphères est à la source d'un son musical, l'“harmonie des sphères”. Source : Encarta 97 Retour
A propos des carrés Que se passe-t-il quand le côté augmente? n n² 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1 + 3 2 4 + 5 3 9 + 7 4 16 + 9 5 25 + 11 6 36 + 13 7 49 + 15 8 64 + 17 9 81 + 19 10 100 + 21 11 121 + 23 12 144 + 25 13 169 + 27 14 196 Retour au théorème
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 5 1 2 3 4 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 1 2 5 4 3 1 2 3 1
Pour passer d’un carré au carré suivant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 1 Il faut rajouter deux fois le côté précédent et encore 1 1 2 3 4 5 6 (n + 1)² = n² + 2n + 1
Pour passer d’un carré au carré suivant (n + 1)² = n² + 2n + 1 Par exemple : 41² = (40+1)²= 40²+ 240 +1= 1600 + 80 + 1 = 1681 101² = 100² + 2 100 + 1 = 10 201 Mais aussi,pour passer d’un carré au carré précédent : 59² = 60² - 2 59 - 1 = 3 600 - 118 - 1 = 3 481 24² = 25² - 2 24 - 1 = 625 - 48 - 1 = 576
Si on multiplie le côté d’un carré par 2 1 2 4 3 On obtient un carré 4 fois plus grand
Si on multiplie le côté d’un carré par 3 1 2 3 4 5 6 9 8 7 On obtient un carré 9 fois plus grand
Si on multiplie le côté d ’un carré par 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 On obtient un carré 25 fois plus grand
Si on multiplie le côté d’un carré par 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 On obtient un carré 100 fois plus grand 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Retour