Le théorème de Pythagore savoir faire et applications Bruno DELACOTE AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par les droits d ’auteur. Les diapositives ne peuvent être ni dissociées ni redistribuées sans autorisation.

Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices : A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessous ou le clic droit de la souris. Le menu du clic droit, le numéro des diapositives et les liens hyper-texte permettent également de naviguer. Permet de revenir page précédente Permet de revenir au sommaire

Sommaire Enoncé du Théorème de PYTHAGORE. Calcul de l ’hypoténuse d ’un triangle rectangle. Calcul d ’un petit côté d ’un triangle rectangle. Sommaire De nouveaux nombres : les racines carrées. Montrer qu’un triangle n'est pas rectangle. Théorème réciproque : montrer qu’un triangle est rectangle. Les applications et exercices.

Enoncé du théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des mesures des deux petits côtés est égal au carré de la mesure de l ’hypoténuse. a Cet énoncé indique clairement que l ’hypoténuse est le côté le plus long. C’est aussi le côté opposé à l ’angle droit. b c b² + c² = a² UTILISATIONS Si les mesures de deux côtés d ’un triangle rectangle sont connues, le théorème de Pythagore permet de calculer la mesure du troisième côté. Dans un triangle, si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée alors le triangle n'est pas rectangle.

C Dans le triangle ABC rectangle en A la relation de Pythagore s ’écrit : BC² = AC² + AB² A B Ecris la relation de Pythagore dans le triangle MNP P PM² = PN² + NM² M N

On peut résoudre un premier type de problème : Calculer la mesure de l ’hypoténuse d ’un triangle rectangle dont on connaît les mesures des deux petits côtés. C Le Triangle ABC est rectangle en A, la relation de Pythagore s ’écrit : 4 cm BC² = AC² + AB² On substitue puis on calcule BC² = 4² + 3² BC² = 16 + 9 BC² = 25 A B BC = 5cm 3 cm

On peut résoudre un deuxième type de problème : Calculer la mesure d ’un petit côté du triangle rectangle dont on connaît les mesures de l ’hypoténuse et de l'autre petit côté. Le Triangle ABC est rectangle en A, la relation de Pythagore s ’écrit : C BC² = AC² + AB² 13 cm On substitue puis on calcule 13² = AC² + 5² 169 = AC² + 25 169 - 25 = AC² 144 = AC² A B AC = 12 cm 5 cm

Nous avons besoin de nouveaux nombres ! Dans les deux cas suivants, la relation de Pythagore s ’écrit P PM² = PN² + NM² ATTENTION PM² = 2² + 3² PM² = 13 2 cm M N Et la calculatrice donne une valeur proche de 3,6 cm 3 cm P PM² = PN² + NM² 3 cm 3² = 2² + NM² 9 = 4 + NM² 5 = NM² 2 cm M N Et la calculatrice donne une valeur proche de 2,2 cm. est le seul nombre positif dont le carré est égal à a !

Exemple de rédaction Ce triangle est-il rectangle ? Le côté le plus long du triangle ABC est BC = 15 cm. C Je compare 15 cm AC² + AB² = 7² + 13² AC² + AB² = 49 +169 AC² + AB² = 218 BC² = 15² BC² = 225 13 cm Si le triangle était rectangle en A, on aurait AC² + AB² = BC² d'après le théorème de Pythagore. Or ce n'est pas le cas donc le triangle n'est pas rectangle. A B 7 cm

Quelques applications du théorème direct Chaque ligne correspond à un triangle rectangle en A. Calcule la mesure manquante A B 13 24 39

Enoncé du théorème réciproque de Pythagore : Dans un triangle, si le carré de la mesure du côté le plus long est égal à la somme des carrés des mesures des deux petits côtés alors le triangle est rectangle. Si les trois mesures des côtés d ’un triangle sont connues, le théorème réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer que le triangle est rectangle.

Exemple de rédaction Ce triangle est-il rectangle ? Le côté le plus long du triangle ABC est BC = 10 cm. C Je compare 10 cm AC² + AB² = 8² + 6² AC² + AB² = 64 + 36 AC² + AB² = 100 BC² = 10² BC² = 100 8 cm D’après le théorème réciproque de Pythagore ce triangle est rectangle en A. A B 6 cm

Quelques applications du théorème et de sa réciproque. Chaque ligne correspond à un triangle. Ce triangle est-il rectangle ? 1) Chercher le côté le plus long. 2) Le carré du coté le plus long est-il égal à la somme des carrés des deux autres côtés ? ? NON OUI NON OUI NON

Sommaire Enoncé exercice 1 : le triangle est-il rectangle ? Enoncé exercice 2 : une équation est nécessaire. Enoncé exercice 3 : dans une sphère. Enoncé exercice 4 : dans une pyramide. Enoncé exercice 5 : dans un cube. Des problèmes pour réfléchir

Le triangle MNP est-il rectangle ? 12cm 10cm H 8cm N M Il faudrait calculer MP ou MP² pour comparer MP² + NP² avec MN². Utilise le théorème (direct) de Pythagore pour calculer PH² puis PM². Tu pourras chercher une valeur approchée de PH et MP pour vérifier ton travail et ton dessin. Mais attention : l'égalité de Pythagore doit être exactement vérifiée. L'emploi de valeurs approchées ne prouvera rien puisque deux nombres presque égaux peuvent être différents !

Le triangle MNP est-il rectangle ? 12cm Dans le triangle PNH rectangle en H, l ’égalité de Pythagore s ’écrit : PN² = NH² + HP² 12² = 8² + HP² 144 = 64 + HP² 80 = HP² 10cm H 8cm N M Dans le triangle MNP, le côté le plus long est MN, Je compare MN² = 18² MP² + PN² = 180 + 12² MN² = 324 MP² + PN² = 180 + 144 MP² + PN² = 324 Dans le triangle PMH rectangle en H, l ’égalité de Pythagore s ’écrit : PM² = MH² + HP² PM² =10² + 80 PM² = 100 + 80 PM² = 180 Donc d ’après le théorème réciproque de Pythagore MNP est rectangle en P.

Un poteau électrique de 7,5 m de haut s ’est brisé Un poteau électrique de 7,5 m de haut s ’est brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce poteau s’est-il brisé ? Appelons x la hauteur cherchée. Si on suppose que le sol est horizontal et le poteau vertical alors le triangle ABC est rectangle en A. B BC s’exprime en fonction de x BC = 7,5 - x Et l’égalité de Pythagore s’écrit BC² = AC² + AB² (7,5 - x) ² = 1,5² + x² x Je ne sais plus développer suite A 1,5 m C

Je ne sais plus résoudre cette équation ! BC² = AC² + AB² (7,5 - x) ² = 1,5² + x² B (7,5 - x )(7,5 - x) = 2,25 + x² 56,25 - 7,5 x - 7,5 x + x² = 2,25 + x² Je ne sais plus résoudre cette équation ! -15 x = - 54 x =-54 / (-15) x = 3,6 x Le poteau s’est brisé à 3,6 m de haut. A 1,5 m C

Il faut réaliser un croquis Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s ’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle. Il faut réaliser un croquis Utilise le texte pour déterminer les valeurs de OA, AC et OC. O B C A

Il reste à appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle OBC. Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s ’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle. Il reste à appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle OBC. O 30cm B 5 cm C OB² = OC² + CB² 15² = 5² + OC² 225 = 25 + OC² 200 = OC² OC = 200 10cm A Le diamètre cherché est proche de 28,3 cm.

SABCD est une Pyramide régulière de base carrée. SA = AB = BC = CD = AD = 50 cm On demande de calculer la hauteur puis le volume en litres de cette pyramide. S A D Voir une construction de la pyramide. I B C Voir la solution guidée.

Compare ces différents croquis ! Tracé de la pyramide régulière. Trace la base ABCD : en réalité c'est un carré, mais en perspective il faut dessiner un parallélogramme. S D A Trace le centre I du parallélogramme. Trace une hauteur IS. I B C Trace les arêtes. Tu peux réaliser plusieurs dessins en faisant varier - l'angle BÂD - la longueur SI. Compare ces différents croquis !

ABCD est un carré ! Calcule AC puis AI. S A ABC est un triangle rectangle et isocèle en B, l ’égalité de Pythagore s ’écrit : AC² = AB² + BC² AC² = 50 ² + 50² AC² = 5000 D I C B 50 cm Donc

ABCD est un carré contenu dans un plan horizontal et SI est une droite verticale, donc : SIB est un triangle rectangle en I, et l ’égalité de Pythagore s ’écrit : SB² = SI² + IB² A D I C B 50 cm Les diagonales d ’un carré sont isométriques et ont même milieu, donc AI = IB. Finalement

Construire une pyramide régulière de base carrée 4 cm et de hauteur 5 cm ! Indications : Calculer AI puis SA. C B 4 cm Il faudra prendre SA proche de 4,65cm

On demande de calculer la diagonale intérieure d ’un cube de coté 5cm. Le triangle ABC est (isocèle et ) rectangle en B, la relation de Pythagore s ’écrit : AC² = AB² + BC² .... D Le triangle ACD est rectangle en C, la relation de Pythagore s’écrit : AD² = AC² + CD² ..... C A B

L ’oiseau, la souris et les deux chats Le balancier de l’horloge L ’oiseau, la souris et les deux chats activités de synthèse : voir dans l’espace, théorèmes de Pyhagore, Thalès, trigonométrie….

Le balancier de cette horloge intrigue le jeune Guillaume. Quelle longueur mesure cet objet ? Soudain guillaume a une idée, il marque un point A au bas du balancier et constate que ce point A se déplace sur un arc de cercle. Il mesure l'amplitude des courses verticale puis horizontale de ce point. Il trouve respectivement 2cm et 12cm. Il construit un croquis et constate qu'il suffit de résoudre une petite équation... A

A partir de la position médiane OA Le balancier se déplace vers une position extrême OA' x l'énoncé donne les indications suivantes A' B 2cm Ce qui fait apparaître un triangle rectangle OA'B dont les dimensions sont... A 12cm 6cm

O D'après l'égalité de Pythagore OA'² = OB² + A'B² x² = (x-2)² + 6² x² = (x - 2)(x - 2) + 36 x² = x² -2x - 2x + 4 + 36 0 = -4x + 40 x =10 x x - 2 x A' B 2cm A Le balancier mesure 10 cm 6cm

Dans l'angle d'un entrepôt de forme parallélépipédique, deux chats observent un oiseau et une souris qui ont pris position sur un reposoir près du plafond proche de l'angle opposé. - Ne t'en fait pas, dit l'oiseau à la souris, cet entrepôt mesure 30 mètres de long, 15 mètres de large et 6 mètres de haut. Le théorème de Pythagore permet de calculer la distance qui nous sépare des mathoux. - Je sais, répond la souris, ils n'escaladent pas aussi facilement les murs que moi. De plus le théorème Thalès permet de trouver la longueur du plus court chemin qu'ils auraient à parcourir pour nous attraper. Les chats trouvent ces proies bien savantes et se méfient, contentons-nous de nos croquettes se disent-ils en quittant les lieux.

6m 15m 30m

S 6m Calcule la distance qui sépare les chats de la souris et de l'oiseau C 15m A 30m B

Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore au triangle ABC Rectangle en A. Puis au triangle SBC rectangle en C. S 6m C 15m A 30m B

Il faut maintenant déterminer le plus court chemin que peuvent emprunter les chats. (Ils ne volent pas mais peuvent escalader les murs) 6m 15m 30m

Marque les positions des chats et de la souris (ou de l'oiseau) Parmi les multiples chemins possibles lequel est le plus court ? Pour étudier ce problème, tu peux réaliser le patron du solide au 1/200. Longueur 15cm Les dimensions réduites sont alors Largeur 7,5cm 3cm Hauteur Marque les positions des chats et de la souris (ou de l'oiseau) déplie ton patron.

Tu vois apparaître deux chemins en "ligne droite" Oiseau et souris M B A S N C Chats

Le théorème de Pythagore permet de calculer SC Et le théorème de Thalès permet de calculer AN Donc BN = 12,5m S N 15m C B 30m 6m

Le théorème de Pythagore permet de calculer OC Et le théorème de Thalès permet de calculer BM 6m M A B C'est le plus court chemin pour un animal qui ne vole pas ! Donc 15m C 30m

A l'aide du cosinus et des travaux précédents Épilogue : calculer les angles indiqués sur le dessin A l'aide du cosinus et des travaux précédents on trouve O 6m C 15m A B 30m M

Pour développer un produit du type (3x - 2)(4x-3) Tu dois penser (3x - 2) x (4x-3) = 3x x 4x + 3x x (-3) + (-2 ) x 4x + (-2) x (-3) Et calculer mentalement 3x x 4x ; 3x x (-3) ; (- 2) x 4x ; (-2) x (-3) 12x² -9x -8x +6 Pour écrire directement (sans écrire ce que tu penses) (3x - 2)(4x-3) = 12x² - 9x - 8 x + 6 = 12x² - 17 x +6 Vous pourrez bientôt télécharger la présentation calclit.zip et recréer manuellement le lien vers cette page.

5x - 3 = 2 - 4x 5x -3 + 3 + 4x = 2 - 4x + 3 + 4x 9x = 5 donc Réduis l'équation pour obtenir une forme simple du type Pense ou écris 5x - 3 = 2 - 4x 5x -3 + 3 + 4x = 2 - 4x + 3 + 4x 9x = 5 5x - 3 = 2 - 4x donc +4x +3 +4x+3 5x + 4x = 2 + 3 9x = 5 En divisant par 9 Vous pourrez bientôt télécharger la présentation équa.zip et recréer manuellement le lien vers cette page.

P 12cm Le triangle MNP est-il rectangle ? M N 10cm H 8cm Un poteau électrique de 7,5 m de haut s’est brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce poteau s’est-il brisé ? S SABCD est une Pyramide régulière de base carrée. SA = AB = BC = CD = AD = 50 cm On demande de calculer la hauteur puis le volume en litres de cette pyramide. D A 1,5 m I C B On demande de calculer la diagonale intérieure d ’un cube de coté 5cm. Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle.