Moyenne, écart type et incertitude de mesure. Chapitre 2 Moyenne, écart type et incertitude de mesure.

Tension U moyenne temps On étudie l’évolution d’une grandeur (tension) dans le temps. U = f(t) à cause des fluctuations de la tension elle-même ou à cause de l’instrument de mesure; ou les deux. On peut considérer que U est une variable aléatoire, chaque mesure effectuée correspond à une réalisation de cette variable.

On caractérise cette variable par sa valeur moyenne et par l’écart type qui rend compte de la dispersion des résultats autour de la valeur moyenne. .

2-1 Propriétés des distributions. Selon le cas, la grandeur physique étudiée doit être considérée comme une variable aléatoire discrète ou comme une variable aléatoire continue. 2-1-1. Moyenne. Variable aléatoire discrète X définie sur [xmin, xmax], valeurs associées x1 ,x2, …xN. On définit xN : moyenne discrète des N réalisations de X:

Cette moyenne n ’est pas complètement caractéristique de la variable X . Elle dépend des N réalisations considérées. Pour N autres réalisations on aura : x ’N  xN Cependant, si N est suffisamment grand on définit la moyenne de X ou espérance de X:

Dans le cas d’une variable continue, la moyenne s ’écrit: Ex: Libre parcours moyen du photon. = L Les photons parcourent donc, en moyenne, la distance L.

2-1-2 Variance et écart type. On cherche à caractériser la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de la moyenne. Comme ce n ’est pas une bonne idée. On définit alors la variance V(X): Pour une variable discrète: Pour une variable continue:

V(X) =s2(X) On démontre la relation: V(X) est la variance de X. On utilise plus généralement l’écart quadratique moyen ou écart type s(X) qui a la même dimension que la variable X: V(X) =s2(X)

2-1-3 Combinaisons linéaires de variables aléatoires Deux variables aléatoires indépendantes X1et X2; a partir de ces variables on définit une nouvelle variable Y: Y= a1X1 +a2X2 Toute réalisation y de Y correspond à la combinaison des réalisations x1 et x2 de X1 et X2. Y vérifie les propriétés: On obtient plus généralement:

2-2. Quelques types de distributions. 2-2-1. Distribution uniforme. 2-2-2. Distribution binomiale (Bernouilli). Un événement E a une probabilité p d ’apparaître au cours d’une expérience . On considère n expériences indépendantes avec p identique: P(observer k fois E en n exp.) = pk(1-p)n-k = pk(1-p)n-k

ou représente le nombre de combinaisons de k objets d ’un ensemble de n objets. Les sont les coefficients du binôme: (a+b)n = Ex: Ensemble E {1 ,2 ,3 ,4 ,5} . Nombre de sous ensembles de 2 objets? {(1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (3,4) ; (3,5) ; (4,5)}

Ex: Urne avec T boules, a1 boules blanches p=a1/T a2 boules noires pN=a2/T=1-p On tire n boules avec remise ( tirage non exhaustif) et on cherche la probabilité P d ’obtenir k blanches ( donc (n-k) noires): - toutes les séries de même taille n et contenant k blanches sont équiprobables. La probabilité de chacune d ’elle est pk(1-p)n-k Le nombre de ces séries est égal au nombre de combinaisons possibles de k éléments dans une série de n soit P(observer k fois E en n expériences) =

Ex: probabilité d ’obtenir un événement X k fois si p(X)=2/5 et n=30 On calcule la distribution de probabilité: P(4 )=0,001 P(5)=0,004 P(6)=0,011 P(7 )=0,026 P(8)=0,050 P(9)=0,082 P(10 )=0,15 P(11)=0,139 P(12)=0,147 P(13)=0,136 E(x)=np V(x)=np(1-p) s= P(14)=0,110 P(15)=0,078 P(16 )=0,049 P(17)=0,027 P(18)=0,013 P(19 )=0,005 P(20)=0,002 P(21)=0,000

2-2-3. Distribution normale. Une variable aléatoire X suit une loi normale (ou loi de Gauss ou de Laplace-Gauss) si la densité de probabilité est: s >0 - f(x)>0 - - Valeur moyenne de X=µ - Variance V(X) =s2 - Ecart type s

C ’est la loi limite de la loi binomiale dans une suite infinie d ’épreuves répétées ( beaucoup plus facile à utiliser). Pour pouvoir utiliser des tables on utilise la loi normale réduite pour µ=0 et s=1: qui donne une courbe en cloche de Gauss. Les tables donnent f(x) et la fonction P(x) (analogue à une fonction de répartition): .

Valeurs de P(x) en fonction de x: Table de dépassement de l écart absolu: Valeur de l’écart x qui possède la probabilité a d’être dépassé en valeur absolue 0.00 0.10 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x 1.645 1.282 1.036 0.842 0.674 0.524 0.385 0.253 0.126

Pour x=3 , Surface(x=3)= P(3)=0,9974 la variable x a 99,74% de chance de se trouver dans l ’intervalle [-3s,+3s]. Ceci a des applications pour le calcul des incertitudes.

Ex:- Répartition des valeurs mesurées autour de la valeur De nombreuses distributions naturelles sont approchées par une loi normale. Ex:- Répartition des valeurs mesurées autour de la valeur Moyenne (grand nombre de mesures indépendantes). - Elargissement des raies spectrales par certaines perturbations qui provoquent une distribution de l ’énergie autour d ’une valeur centrale. - Taille des individus autour de la taille moyenne. - Usure de marches d ’escalier.

2-3 Etude statistique des mesures expérimentales. 2-3-1. Incertitude sur une mesure. On mesure la masse d’un objet: variable aléatoire M. A partir d’un très grand nombre de réalisations mi, on détermine la moyenne <M> , la variance V(M) et l’écart type s(M). On observe que plus de 99% des résultats vérifient: On définit alors l ’incertitude absolue sur la mesure: e(M)=3s(M) e(M) est telle que on a 99% de chances d ’obtenir: noté également:

2-3-2 Influence du nombre limité de réalisations. Soit une variable aléatoire X caractérisée par sa valeur moyenne <X> et son écart type s. On suppose par exemple que les réalisations x1, x2,…..,xj de X sont réparties selon une loi normale centrée sur <X> . Si on fait 1 mesure x1 on a <X>= x1 ± e(X) = x1 ± 3 s(X) On cherche à connaître plus précisément <X>. On fait N mesures de X: x1, x2,…..,xj et xN et on calcule la moyenne d’ensemble <x>N sur ces N réalisations.

Comme on comprend intuitivement que si N est assez grand la moyenne <x>N se rapproche de <X>

Comment varie l’écart type s si on fait l’effort de faire N réalisations (mesures ) au lieu de une seule mesure? Pour interpréter <x>N , on considère N nouvelles variables aléatoires X1, X2 ,X3…,XN , indépendantes mais de distribution identique à celle de X, et on définit une nouvelle variable Y: La moyenne d’ensemble apparaît alors comme la réalisation de la variable Y telle que xi=xi.

Y étant une combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes sa moyenne et sa variance s’écrivent: En faisant N réalisations de la variable X, on a amélioré la détermination de la valeur moyenne et divisé l’écart type par Soit

Approximations. On admet donc que si le nombre N d’évaluations est assez élevé: est une bonne approximation de s(X). On obtient alors La valeur moyenne de X est déterminée avec d’autant plus de précision que N est élevé.

Ex: Si on répète 10 fois une épreuve représentée par une variable aléatoire X d’espérance 40 et d’écart type 5 la variable sur les 10 épreuves a une espérance de 40 et un écart type de Ex: S’ il faut 100 parties de pile ou face pour contrôler au 1/10 la relation p =q=0.5 Il faut 10 000 parties pour la contrôler au 1/100 Il faut 1 000 000 parties pour la contrôler au 1/1000 convergence lente.

2-4 Calcul d ’incertitude. 2-4-1. Combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes. Soient n variables aléatoires X1, X2…Xn avec n mesures x1, x2 ….xn associées et n incertitudes e(Xi) associées. Si la nouvelle variable Y , est une combinaison linéaire de X1, X2…Xn : l ’incertitude associée à Y: peut être surestimée par:

2-4-2 Fonctions non linéaires de variables aléatoires indépendantes. Les incertitudes étant réputées petites devant les valeurs moyennes, on passe par le développement linéaire de la fonction f autour du point moyen on estime la variance associée à Y à partir des dérivées partielles de f:

Méthode: On calcule la différentielle df de la fonction f On en déduit l ’écart type: Méthode: On calcule la différentielle df de la fonction f à partir de ses dérivées partielles.

Ex: Dipôle électrique; On mesure la tension U : valeur u et incertitude e(u) et le courant I : valeur i et incertitude e(I). Incertitude sur la puissance dissipée P=U.I ? Avec p=u.i On obtient: Ce qui correspond bien à la relation donnant l ’incertitude relative calculée, dans ce cas,à partir des différentielles logarithmiques : Ln (P )= Ln(U) + Ln(I)