3. Logique et mathématiques Frege

(1848 – 1925) Après que la mathématique se fut pour un temps écartée de la rigueur euclidienne, elle y revient, et non sans de vifs efforts pour la dépasser

Manque de rigueur? Newton: les fluxions o : une « particule atomique de temps », un « infiniment petit » mais infiniment petit : terme contradictoire Paradoxes de Zénon Séries infinies

Niels Abel (1826): – « [les séries divergentes] sont quelque chose de bien fatal et cest une honte quon ose y fonder aucune démonstration… Ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et causé tant de paradoxes »

Niels Abel La vie de Niels Abel, mathématicien norvégien né le 5 août 1802, est marquée par la pauvreté. Son père était pourtant un éminent homme politique norvégien, mais à la fin de sa vie il est tombé en disgrâce, et quand il meurt en 1820, c'est Abel qui doit supporter la charge de la famille. Grâce à l'aide financière de ses professeurs, il parvient cependant à poursuivre ses études et à faire ses premières découvertes. Mais ses mémoires sont perdus par Cauchy, mésestimés par Gauss. Après son doctorat, Abel ne parvient pas à trouver un poste, ses conditions de vie sont de plus en plus précaires et sa santé se fait fragile : il est atteint de la tuberculose. Malgré des déplacements à Paris et à Berlin, ses travaux ne sont toujours pas perçus à leur juste valeur. Dans ses dernières semaines, il n'a plus assez de force pour quitter son lit. Il décède le 5 avril 1829, à même pas 27 ans, alors qu'un ami venait juste de lui trouver un poste à Berlin.

Cauchy, Weierstrass quand n tend vers si et seulement si :

La Begriffschrift-1 « je nai pas voulu faire un simple calculus ratiocinator, mais une lingua characterica au sens de Leibniz »

La Begriffschrift-1 Sujet / Prédicat Objet / Fonction x 2 – 4x _ conquit la Gaule Les objets (expressions saturées) ont une dénotation Donc aussi les propositions La dénotation dune proposition est soit le vrai, soit le faux

Idée de système formel Les déductions obtenues « par le seul moyen des règles données pour lutilisation de nos signes » Comme chez Euclide : axiomes La Begriffschrift-2

a b a a c b c a b c a c b c a axiomes

A Règle dinférence

A

A

A b a a b a a a a négation axiomes

a c b c a b c a b a b a a c b c a b c soit à prouver : avec les axiomes Exemple de déduction

a b a b a a c b c a b c dans mettre à la place de a et à la place de b

a c b c a b c a c b c a b c a b

a c b c a b c a c b c a b c a b a c b c a b c

a c b c a b c a b a b a c b c a b c a c b c a b c

(A) (a) a a a A Fonctions et champ

Beaucoup de flèches nont pas atteint la cible Pas beaucoup de flèches ont atteint la cible la cible na pas été atteinte par beaucoup de flèches

(a) a A a A assertions et contenus