Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte

5. Vérité et cohérence en logique Tarski, Gödel et l’échec du formalisme hilbertien

Comment prouver la cohérence d’une théorie? 1) Par des voies directes: Hilbert : arriver à prouver qu’on ne peut pas déduire une absurdité du genre 11 Théorie de la démonstration Le prédicat « être démontrable » est-il récursif? Est-ce que par utilisation des moyens de démonstration « finitistes », on peut toujours arriver à démontrer qu’une théorie est cohérente? Gödel prouvera que non (cf. plus loin)

Comment prouver la cohérence d’une théorie? 2) Par des voies indirectes : la théorie des modèles Prouver que tout ce qu’on démontre est « vrai » … mais, dans quel sens de « vrai »? Retour au problème de la « définition de la vérité » !

Tarski et la définition de la vérité Alfred Tarski : 1902 – 1983 écrit en 1931, publié en 1933 : le concept de vérité dans les langages formalisés Déception : « Il est impossible non seulement de définir ce que signifie l’expression du langage quotidien « proposition vraie » mais encore de s’en servir dans ce langage » ! Se limiter aux « seuls langages actuellement connus qui soient construits à l’aide d’une méthode scientifique, à savoir les langages des sciences déductives formalisées »

Tarski et la définition de la vérité Le schéma général d’une définition de la notion de « proposition vraie »: x est une proposition vraie si et seulement si p

Tarski et la définition de la vérité Le schéma général d’une définition de la notion de « proposition vraie »: « il neige » est une proposition vraie si et seulement si Il neige

Tarski et la définition de la vérité Le schéma général d’une définition de la notion de « proposition vraie »: « la route est verglacée » est une proposition vraie si et seulement si la route est verglacée

Tarski et la définition de la vérité Considérons la proposition : « la proposition A n’est pas une proposition vraie », où A désigne la proposition elle-même (« la proposition A n’est pas une proposition vraie ») « la proposition A n’est pas une proposition vraie » est une proposition vraie si et seulement si la proposition A n’est pas une proposition vraie

Tarski et la définition de la vérité Considérons la proposition : « la proposition A n’est pas une proposition vraie », où A désigne la proposition elle-même (« la proposition A n’est pas une proposition vraie ») A est une proposition vraie si et seulement si la proposition A n’est pas une proposition vraie

Les langages formalisés ceux qu’on a « artificiellement construit de telle sorte que le sens de chaque expression [soit] univoquement déterminé par sa forme » Notion de système formel Ne sont pas « universalistes » comme l’est le langage quotidien pas de terme « appartenant à la science du langage », ni « des signes ou des expressions qui décrivent les relations structurelles existant entre ces signes et expressions »

Langage-objet du calcul des classes N (négation), A (disjonction),  (quantification universelle), I (inclusion) variables : x| , x||, x|||, …., x||||…|, ….. règles de formation permettant d’obtenir des expressions comme : Ix| , x||, NIx| , x||, x| Ix| , x| etc. axiomes, règles, etc. ceci donne un langage-objet.

pour tout x, x est inclus dans x Un autre langage… non, ou, pour tout, inclusion x| Ix|,x| est vrai si et seulement si pour tout x, x est inclus dans x Un méta-langage

structures et modèles Langage prédicatif extensionnel symboles : Variables individuelles : x, y, z, …. Constantes individuelles : a, b, c, … Foncteurs d’arité n : f, g, … Constantes prédicatives d’arité n : P, Q, … règles de formation des formules Ex:

sémantique Une L-structure M pour le langage L est défini par un couple (D, Val) où: D est un ensemble non vide (domaine) Val est une fonction telle que: c : constante individuelle : Val(c)D f : foncteur n-aire : Val associe à f une fonction de Dn dans D P : prédicat n-aire : Val associe à P une partie de Dn

assignation Une assignation g pour le langage L et la structure M est une fonction de l’ensemble des variables individuelles dans D

Évaluation par rapport à une structure Si M = (D, Val) est une L-structure pour le langage L, alors toute formule de L peut être évaluée par rapport à M et à une assignation g donnée On écrit || ||M,g la valeur de  par rapport à M et à g

Règles d’évaluation - I Si x est une variable : ||x||M,g = g(x) f foncteur et t1, …, tn des termes : ||f(t1,…, tn )||M,g = val(f)(|| t1||M,g,…,|| t1||M,g) P prédicat et t1, …, tn des termes : ||P(t1,…, tn )||M,g = val(P)(|| t1||M,g,…,|| t1||M,g)

Règles d’évaluation - II On note M |=g  le fait que  soit vraie dans la L-structure M pour l’assignation g M |=g P(t1,…, tn ) ssi ||P(t1,…, tn )||M,g = 1 M |=g A ssi M |g A M |=g AB ssi M |=g A et M |=g B M |=g x A ssi M |=g’ A pour toute assignation g’ qui ne diffère de g que par la valeur assignée à x

langage et domaine D : L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules

Val D : L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules

Val D : L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules

Val D : L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules

Val D : L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules

Val D : L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules

Val D : L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules

Val D : L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules

Val D : L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules

Val D : L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules

Assignations D : x : paul y : marie z : jules L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules x : paul y : marie z : jules

Assignations D : x : paul y : paul z : jules L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules x : paul y : paul z : jules

Assignations D : x : marie y : lucie z : jules L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules x : marie y : lucie z : jules

Assignations D : x : robert y : robert z : robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules x : robert y : robert z : robert

x E(x,y) F(y) D : x : robert y : jules z : robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules x : robert y : jules z : robert

E(x,y) F(y) D : x : _ y : jules z : robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules x : _ y : jules z : robert

E(x,y) F(y) D : x : robert y : jules z : robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules x : robert y : jules z : robert

E(x,y) F(y) 1  0 D : x : robert y : jules z : robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules x : robert y : jules z : robert

E(x,y) F(y) 0 D : x : robert y : jules z : robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F1, G1, C2, E2 D : x lucie x marie x robert x paul x jules x : robert y : jules z : robert

modèles Définition : étant donné un ensemble de formules closes  d’un langage L et une L-structure M, on dit que M est un modèle de  si toutes les formules de  sont vraies dans M

définitions  est dit consistant s’il en existe un modèle B se déduit sémantiquement de A1, …, An si et seulement si tout modèle de {A1, …, An} est aussi un modèle de B Une formule A d’un langage L est dite universellement valide si elle est vraie dans toute L-structure

Retour au problème de la vérité « image de L dans L’ » L La vérité dans L est fondée sur la vérité dans L’

Retour au problème de la vérité « image de L dans L’ » L La vérité toujours en construction

Liens entre théorie et modèle Tarski : (cas du calcul des classes) Tout théorème est vrai, donc le calcul des classes est non contradictoire mais… il peut exister des cas où des propositions vraies ne sont pas des théorèmes

Le problème de la complétude Définition 1: une théorie est (syntaxiquement) complète si pour chaque formule close , elle est capable de fournir soit une preuve de  soit une preuve de  Définition 2 : une théorie est (sémantiquement) complète si toute proposition sémantiquement vraie est démontrable dans la théorie

Complétude de la logique des prédicats du premier ordre Gödel Gentzen Henkin (revu par Hintikka) mais non décidabilité (Church, 1936) au sens : « pas d’algorithme général permettant de décider de la vérité d’une formule »

métathéorèmes Théorème de compacité : si une théorie T est telle que toute partie finie possède un modèle, alors elle a elle-même un modèle Théorème de Löwenheim – Skolem : si une théorie T admet un modèle infini, alors elle admet un modèle dénombrable

Quelques conséquences Compacité  l’axiomatique de Peano exprimée en premier ordre n’est pas catégorique Löwenheim – Skolem  Il est vain d’espérer une théorie du premier ordre pour la théorie des ensembles…

L’axiomatique de Peano exprimée en premier ordre n’est pas catégorique En premier ordre : infinité d’axiomes On peut ajouter à N une constante c avec une infinité d’axiomes : c  0, c  1, c  2, c  3, etc.  N’ Les parties finies de N’ ont toutes des modèles valables aussi pour celles de N Donc un modèle pour N’ est un modèle pour N Mais un modèle pour N’ n’est pas isomorphe à un modèle pour N, donc N admet des modèles non isomorphes

L’axiomatique de Peano exprimée en premier ordre n’est pas catégorique Ce n’est plus vrai en second ordre: Mais… le second ordre n’est pas axiomatisable

Gödel et l’incomplétude de l’arithmétique formelle Kurt Gödel : 1906 - 1978 1931 : « Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés ». (Kurt Gödel et Albert Einstein à Princeton)

« Le développement des mathématiques vers plus de précision a conduit à la formalisation de vastes domaines de telle sorte que les démonstrations puissent être développées en suivant un petit nombre de règles mécaniques. Les systèmes formels les plus étendus à ce jour sont, d’une part les Principia Mathematica de Whitehead et Russell et, d’autre part, le système de Zermelo-Fraenkel de la théorie axiomatique des ensembles. Ces deux systèmes sont si vastes que toutes les méthodes de démonstration utilisées aujourd’hui en mathématiques peuvent y être formalisées, c’est-à-dire peuvent être réduites à un petit nombre d’axiomes et de règles de déduction. Il semblerait donc raisonnable de conjecturer que ces axiomes et ces règles de déduction suffisent pour décider de toutes les questions mathématiques qui peuvent être formulées dans le système concerné. Dans ce qui suit, il sera montré qu’il n’en est pas ainsi, mais plutôt, que dans les deux systèmes cités, il existe des problèmes relativement simples de la théorie des nombres entiers ordinaires dont on ne peut décider sur la base des axiomes ».

Le théorème de Gödel Idée centrale: à partir du moment où nous avons un système formel incluant la possibilité d’exprimer des relations arithmétiques (les nombres entiers et leurs propriétés élémentaires), alors ce système est capable d’exprimer des propriétés sur lui-même, et si nous sommes capables de construire rigoureusement dans un tel système une formule analogue à celle du Menteur, alors de deux choses l’une : ou nous acceptons qu’il y ait une contradiction dans le système ou nous acceptons qu’il y ait des formules vraies qui ne puissent pas être démontrées et c’est bien sûr la deuxième possibilité que nous choisirons.

Quelques précisions 1- la numérotation de Gödel  : 1  : 2  : 3  : 4  : 5 0 : 6 s : 7 ( : 8 ) : 9 , :10 x : 11 y : 13 z : 17 p : 112 q : 132 r : 172 P : 113 Q : 133 R : 173 var. numériques var. propositionnelles var. prédicatives

Quelques précisions 1- la numérotation de Gödel (  x ) ( x = s y ) 8 4 11 9 8 11 5 7 13 9  28.34. 511.79.118.1311.175.197.2313.299

Etendre la numérotation de Gödel aux déductions Exemple : 1 2 deux lignes possibles d’une déduction (substitution de 0 à y dans la ligne 1)

Etendre la numérotation de Gödel aux déductions Exemple : 1  m 2  n k = 2m3n « la déduction de nombre de Gödel k est une démonstration de la formule de nombre de Gödel n »

Etendre la numérotation de Gödel aux déductions Plus généralement : L’assertion « la suite de formule de nombre de Gödel x est une démonstration de la formule de nombre de Gödel z  » se trouve reflétée dans le système par une relation arithmétique Dem(x, z) Mais cette relation possède elle-même un nombre de Gödel!

Construction de «la formule G » La formule possède un nombre de Gödel Elle signifie : « il n’existe pas de démonstration (représentée par un nombre de Gödel x) de la formule de nombre de Gödel z » Soit sub(m, p, q) le ndG obtenu en substituant dans la formule de ndG m, à la variable de ndG p, le chiffre q

Construction de «la formule G » Soit la formule : elle dit: « la formule obtenue en substituant dans la formule de ndG y, à la variable de ndG p, le chiffre y » elle possède un nombre de Gödel n, qu’on peut substituer à y, on obtient: G =

Etude de la formule G Quel est son nombre de Gödel? On l’a obtenue en substituant au sein de la formule de ndG n, à la variable de ndG p, le chiffre n, ce qui est la définition de sub(n, p, n)! donc son ndG est sub(n, p, n) d’autre part elle dit que « la formule qui possède le ndG sub(n, p, b) n’est pas démontrable » Donc elle dit d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable

Le cœur de la démonstration Si G est démontrable, G est démontrable: Supposons G démontrable, il existe une suite de formules de ndG k telle que Dem(k, sub(n, p, n)), Si Dem(x, z) alors cette formule est démontrable, Donc Dem(k, sub(n, p, n)) est démontrable, Donc (x) Dem(k, sub(n, p, n)) = G est démontrable On prouve aussi: si G est démontrable, G est démontrable. Donc ni G ni G ne sont démontrables (si l’arithmétique est consistante!)

… mais G est vraie! G n’est pas démontrable Mais c’est justement ce que dit G!!!! Donc G est vraie! D’où l’existence d’une formule vraie non démontrable

2ème théorème de Gödel L’arithmétique est-elle consistante? La consistance s’exprime par la formule : A = La formule « A  G » est démontrable Si A était démontrable… G le serait donc aussi! Donc A n’est pas démontrable

Conséquence fondamentale La consistance de l’arithmétique formelle ne peut pas être démontrée dans la théorie de l’arithmétique formelle On ne peut pas prouver au moyen de méthodes finitistes à la Hilbert la non-contradiction d’une théorie incluant au minimum l’arithmétique formelle Échec du programme de Hilbert

Comment interpréter le théorème de Gödel? Interprétations abusives… cf. Régis Debray (Le Scribe, p. 70) : « Du jour où Gödel a démontré qu'il n'existe pas de démonstration de consistance de l'arithmétique de Peano formalisable dans le cadre de cette théorie (1931), les politologues avaient les moyens de comprendre pourquoi il fallait momifier Lénine et l'exposer aux camarades "accidentels" sous un mausolée, au Centre de la Communauté nationale »  !!!!!!!!!!! Lire : J. Bouveresse : « prodiges et vertiges de l’analogie » (ed. Raisons d’agir)

Comment interpréter le théorème de Gödel? G.G. Granger : « Tout ce qui est dit métaphoriquement est incertain » nous enseignait déjà Aristote (Topiques 1, 139b34). Nous y voyons (...) l'un des plus grands périls de la pensée philosophique, dans la mesure où, ne parlant pas des choses, le philosophe est sans cesse sommé de s'exprimer par images (...). La métaphore, dans le pire des cas, peut devenir ainsi le lieu de l'illusion et de la méprise, chacun y entendant ce qu'il veut et ce qu'il peut. Cette situation éminemment poétique est certainement un empêchement dirimant pour l'obtention de la rigueur. Certains philosophes, il est vrai, s'y sont complu autrefois; mais aucun des plus grands ne s'y est en tout cas établi à demeure. » Pour la connaissance philosophique, chap.7: « Les concepts philosophiques et le travail du symbolisme » 3-2: « les conditions de la rigueur conceptuelle en philosophie » éd. Odile Jacob, 1988.