M. EL Adel & M. Ouladsine LSIS – UMR-CNRS 6168 Marseille - France Adaptation du paramètre d’échelle de Laguerre pour le contrôle prédictif M. EL Adel & M. Ouladsine LSIS – UMR-CNRS 6168 Marseille - France LSIS – UMR-CNRS 6168

Plan de la présentation Introduction Séries de Laguerre Algorithme d’estimation contrôle Prédictif Résultats de Simulations Conclusion LSIS – UMR-CNRS 6168

Introduction Représentation par les séries orthonormales Le comportement des contrôleurs adaptatifs en présence des dynamiques non modélisées Le manque de connaissances a priori sur les procédés Abandon du modèle ARMA Représentation par les séries orthonormales LSIS – UMR-CNRS 6168

Grâce à sa simplicité de mise en œuvre, la base de fonctions orthogonales de Laguerre est choisie pour la modélisation et la commande des systèmes linéaires Problème : Cette base de fonctions orthogonales de Laguerre contient un paramètre crucial (Le paramètre d’échelle de Laguerre p > 0 ) Si ce paramètre est choisi convenablement, alors la base de fonctions orthogonales de Laguerre peut effectivement approximer n’importe quelle fonction de transfert d’un système stable. Le but principal de cette présentation, est le choix optimal de ce paramètre dans le cas de la commande prédictive. LSIS – UMR-CNRS 6168

Propriétés des Séries de Laguerre LSIS – UMR-CNRS 6168

T : période d’échantillonnage LSIS – UMR-CNRS 6168

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Algorithme d’estimation I – Le vecteur paramètre de projection De point de vue estimation, le modèle n’est pas convenable si le terme d’erreur e(t) n’est pas borné On définit Le modèle normalisé devient : où : LSIS – UMR-CNRS 6168

où : et LSIS – UMR-CNRS 6168

La matrice de covariance satisfait les propriétés suivantes avec et ii- si alors lorsque t tend vers l’infini où : est la matrice identité et est un scalaire LSIS – UMR-CNRS 6168

II - Le paramètre d’échelle adaptatif de Laguerre Dans le domaine de Laplace, nous supposons que le système réel à modéliser dont la sortie est peut être décrit par la fonction de transfert . Nous supposons aussi que cette fonction de transfert est bornée c.à.d En considérant un ordre de projection q, nous pouvons projeter cette fonction de transfert sur la base de Laguerre dont les éléments sont comme suit: Le calcul standard de est donné dans le domaine fréquentiel par : LSIS – UMR-CNRS 6168

Considérons le coût de fonction à minimiser En utilisant l’expression de , nous avons Donc le minimum de par rapport à correspond au maximum de LSIS – UMR-CNRS 6168

Nous pouvons montrer aisément ce qui suit : Lemme Nous pouvons montrer aisément ce qui suit : Pour p>0 , la transformée de Laplace des fonctions orthogonales de Laguerre satisfont l’égalité suivante : Théorème Nous pouvons montrer que : LSIS – UMR-CNRS 6168

La dérivée seconde est donnée par : Le théorème permet de déduire la variation de p. Cependant, puisque le paramètre d’échelle est strictement positif, nous cherchons des conditions qui doivent être satisfaites pour le maintenir dans un domaine réel et positif. Ces conditions peuvent être obtenues en passant à la dérivée seconde de : La dérivée seconde est donnée par : LSIS – UMR-CNRS 6168

La fonction tend à avoir des valeurs maximales en fonction de p si Ceci est satisfait si l’inégalité suivante est vraie Posons avec p>0, on a: LSIS – UMR-CNRS 6168

Considérons la variation de entre les instants t et t+1 on a: LSIS – UMR-CNRS 6168

Une séquence réelle positive est dite asymptotiquement Définition Une séquence réelle positive est dite asymptotiquement faible en moyenne si (AFM) if Lemme L’algorithme d’adaptation proposé possède les propriétés suivantes - Il existe un scalaire positif tel que : on a LSIS – UMR-CNRS 6168

Il existe un scalaire positif tel que Il existe un scalaire positif telle que l’erreur normalisée ’adaptation est -AFM Il existe un scalaire positif tel que est AFM . où Est la valeur optimale de au sens de LSIS – UMR-CNRS 6168

contrôle prédictif La prédiction de la sortie sur un horizon de d pas permet d’écrire: où et Supposons que :u(t) reste constant sur d alors Ce qui permet d’avoir où et LSIS – UMR-CNRS 6168

La trajectoire de référence du premier ordre est donnée par : où et est le signal de référence Pour un horizon de prédiction de d pas, on a Qu’on peut réécrire comme Posons La loi de commande est : LSIS – UMR-CNRS 6168

Application Considérons le système à phase non minimale décrit H(z), et supposons qu’il est donné son forme non structurée où les paramètres sont : Par application de l’approche proposée, les résultats obtenus sont les suivants LSIS – UMR-CNRS 6168

Le paramètre Les sorties et Le paramètre d’échelle La commande LSIS – UMR-CNRS 6168

Conclusion Adaptation du paramètre d’échelle de Laguerre à partir de l’estimation des paramètres de projection pour le contrôle prédictif Possibilité du contrôle prédictif des systèmes instables, non structurés et sans connaissances a priori. LSIS – UMR-CNRS 6168