07/02/12

La géométrie peut être définie comme la combinaison de : - lespace sensible, contenant des objets et est accessible par le biais des sens. - lespace géométrique, effort théorique pour rendre le sensible raisonné. 2 07/02/12

Développer la «vision dans l'espace». Comment représenter ce que nous voyons autour de nous (schéma, plan, vue en perspective...) ?... Apprendre à raisonner : nécessité d'articuler observation, intuition, connaissance et rigueur. Initier aux aspects culturels et esthétiques : urbanisme, architecture, arts visuels... Connaître quelques utilisations courantes et professionnelles : lecture de plans ou de cartes, logiciels, astronomie... Les buts de lenseignement de la géométrie 07/02/12

La géométrie à lécole permet aux élèves : -de se familiariser avec les objets géométriques du plan et de lespace. -de passer progressivement dune géométrie perceptive (cycles 1 et 2) à une géométrie plus abstraite (cycle 3). En primaire, la validation, se fait sur les objets dans lespace sensible et la démarche de résolution a lieu dans le système symbolique ce qui établit un va et vient constant, entre le monde sensible et celui des modèles mathématiques. 4 07/02/12

Le point sur les programmes Au cycle des approfondissements : Lobjectif principal de lenseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement dune reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure. 5 07/02/12

Le point sur les programmes Au cycle des approfondissements : Les relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu dun segment. Lutilisation dinstruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé, pliage. Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le cercle : - description, reproduction, construction ; - vocabulaire spécifique relatif à ces figures : côté, sommet, angle, diagonale, axe de symétrie, centre, rayon, diamètre ; -agrandissement et réduction de figures planes, en lien avec la proportionnalité. Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide. - reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ; - vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face. Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont loccasion dutiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé. 6

Le point sur les programmes PROGRESSION CE2 : Dans le plan Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle rectangle. Vérifier la nature dune figure plane en utilisant la règle graduée et léquerre. Construire un cercle avec un compas. Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle, milieu. Reconnaître quune figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à laide du papier calque. Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique dune figure donnée par rapport à une droite donnée. Dans lespace Reconnaître, décrire et nommer : un cube, un pavé droit. Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet. Problèmes de reproduction, de construction Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir dun modèle. Construire un carré ou un rectangle de dimensions données. 7

Le point sur les programmes PROGRESSION CM1 : Dans le plan Reconnaître que des droites sont parallèles. Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre dun cercle, rayon, diamètre. Vérifier la nature dune figure plane simple en utilisant la règle graduée, léquerre, le compas. Décrire une figure en vue de lidentifier parmi dautres figures ou de la faire reproduire. Dans lespace Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme. Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé. Problèmes de reproduction, de construction Compléter une figure par symétrie axiale. Tracer une figure simple à partir dun programme de construction ou en suivant des consignes. 8 07/02/12

Le point sur les programmes PROGRESSION CM2 : Dans le plan Utiliser les instruments pour vérifier le parallélisme de deux droites (règle et équerre) et pour tracer des droites parallèles. Vérifier la nature dune figure en ayant recours aux instruments. Construire une hauteur dun triangle. Reproduire un triangle à laide dinstruments. Dans lespace Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. Reconnaître ou compléter un patron de solide droit. Problèmes de reproduction, de construction Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir dun programme de construction ou dun dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions). 9 07/02/12

2 ème PALIER POUR LA MAÎTRISE DU SOCLE COMMUN : COMPÉTENCES ATTENDUES À LA FIN DU CM2 Compétence 3 : A ) Les principaux éléments de mathématiques Lélève est capable de : reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels ; utiliser la règle, léquerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision ; résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, règle de trois, figures géométriques, schémas ; B) La culture scientifique et technologique Lélève est capable de : pratiquer une démarche dinvestigation : savoir observer, questionner ; manipuler et expérimenter, formuler une hypothèse et la tester, argumenter ; exprimer et exploiter les résultats dune recherche en utilisant un vocabulaire scientifique à lécrit et à loral ; exercer des habiletés manuelles, réaliser certains gestes techniques /02/12

Travailler avec des situations-problèmes But de lanimation : Point sur la didactique en géométrie. Découverte des potentialités dun logiciel de Géométrie Dynamique (Tracenpoche) et prise en main de loutil. Construction de ressources incluant l utilisation de la Géométrie Dynamique en partant du principe que la géométrie senseigne à partir de situations- problèmes. Lien entre Géométrie Dynamique et Géométrie traditionnelle. Travail à partir dactivités concrètes transversales issues des domaines artistique, géographique,… 11 07/02/12

Travailler avec des situations-problèmes 12 Les situations-problèmes en géométrie ont pour objet : - la construction de connaissances, - la maîtrise de procédures géométriques, - la compréhension du vocabulaire particulier. 07/02/12

Travailler avec des situations-problèmes 13 07/02/12

Travailler avec des situations-problèmes 14 La démarche de résolution de problèmes, cest : chercher accepter lincertitude (déstabilisant pour lélève mais aussi pour lenseignant) abstraire se distancier du monde réel expliquer sexposer, se confronter aux autres raisonner accéder aux règles de la logique 07/02/12

Travailler avec des situations-problèmes 15 Apprendre à raisonner consiste à développer ses fonctions exécutives : la planification la récupération active dinformations en mémoire la mise à jour la lutte contre sa propre inhibition la flexibilité mentale 07/02/12

Travailler avec des situations-problèmes 16 2 types de raisonnements : la réutilisation adaptée. d'une solution déjà utilisée. face à un problème pour lequel il n'y pas de solution existante à appliquer en l'état. Le raisonnement en maths se travaille autour de : figures imposées (retrouver les losanges) programme libre (terminer cette figure) 07/02/12

Travailler avec des situations-problèmes 17 07/02/12

Travailler avec des situations-problèmes 18 Aligner des points = Réutilisation adaptée Construire un point inconnu = Pas de solution existante 07/02/12

Accumulation de définitions et de lexique, confusion entre définitions et propriétés. Trop souvent en géométrie, les élèves exécutent et nexpliquent pas leurs raisonnements. Séances sans lien évident : Conséquence : construction des savoirs de manière isolé. Les concepts ne sont pas replacés parmi d'autres plus généraux ou plus particuliers. Exemple : lien entre carré, losange, rectangle. Dogme géométrique : construction règle/compas/papier blanc Construire les savoirs en diversifiant les approches : dessin à main levée, feuille pointée, lignée ou blanche, avec un logiciel... Constats et obstacles 07/02/12

La taille de lespace 20 Selon Brousseau, il existe 3 tailles despace dans les apprentissages en géométrie : Le micro-espace (jusquà 3 ou 4 ans) Le méso-espace (jusquà 8, 9 ans) Le macro-espace (à partir de 8, 9 ans) Donc certains savoirs ne sont disponibles quà certains âges. Ces connaissances ne prennent du sens que dans les activités effectives. Constats et obstacles 07/02/12

Nouveau Coin ? Pic ? Bout pointu ? Sommet ! Angle ! Polysémique Le vocabulaire … Constats et obstacles 07/02/12

Un vocabulaire POUR : - Nommer précisément les objets, les particularités. - Créer chez lélève la prise de conscience de la spécificité géométrique. - Accéder à labstraction. - Le maître utilise ce vocabulaire et en facilite laccès et la maîtrise progressive pour les élèves.

Créer des images mentales 23 Se construire un système mental de référents à partir dexpériences accumulées dans lespace physique : Reproduction, construction, transformation, description, représentation Par la mise en place dimages mentales des principaux concepts géométriques lélève affine sa vision de lespace en donnant du sens au vocabulaire spécifique. 07/02/12

Créer des images mentales 24 Jusquà 2 ans (période sensori-motrice) : intelligence pratique mais sans images mentales. De 2 à 6 ans (intelligence préopératoire) : intelligence concrète et représentative (chaque objet correspond à une image mentale). De 7 à 12 ans (intelligence des opérations concrètes) : enfant capable de se décentrer, de tenir compte des autres points de vue, de se justifier mais il doit raisonner sur du concret. 07/02/12

- Par des activités d'observation à partir de forme-objet. -Par des activités de dénomination. -Par des activités dévocation. -Par des activités de compositions. Développer les images mentales 07/02/12

Par compositions... But : créer des RELATIONS entre ce monde d'objets perçus d'abord comme ISOLES. Dans l'espace : - Construire les polyèdres à partir des polygones - Par puzzle type Tangram - Retrouver la composition d'un modèle à partir d'une silhouette noire sans ligne de coupes (en réduction ou non) Développer les images mentales 07/02/12

Une fois que l'élève est capable de : - Reconnaître des formes simples dans un ensemble complexe, - Classer et nommer ces formes par des mots appropriés, -Composer des figures, il va être confronté à des créations de dessins géométriques. Les formes deviennent outils pour dessiner en devenant gabarits. Développer les images mentales 07/02/12

Le rôle du langage 28 La résolution de problèmes sappuie sur le langage de communication, engendré par les interactions sociales. Lenfant a besoin de lappui de lenseignant ou de ses pairs, dinteractions sociales. Cest par le langage que les représentations de lélève vont évoluer. Ce quil sait faire en collaborant aujourdhui, il saura le faire seul demain. 07/02/12

Le rôle du langage 29 1.Dabord, lélève entre seul dans laction, essaie, réfléchit, revient en arrière explore, ajuste,… 2.Puis vient la phase de verbalisation où il doit sexpliquer, partager, écouter ses pairs. 3.Vient ensuite le moment de la validation avec justification et argumentation pour convaincre le reste de la classe de lexactitude et de la pertinence de son modèle. 4.La connaissance ou la procédure est institutionnalisée dans un cahier de géométrie qui peut être mis en œuvre dès la Grande Section. 07/02/12

Faut-il employer un vocabulaire spécifique ? 30 Employer un vocabulaire figuratif ou imagé crée-t-il de la confusion entre les termes ? Les instructions officielles conseillent de favoriser lapparition formulations spontanées du langage naturel. 07/02/12

Faut-il employer un vocabulaire spécifique ? 31 La langue naturelle nest pas assez précise pour exprimer des concepts mathématiques. Le vocabulaire technique ne prend de sens que sil peut sappuyer sur des représentations et une phase de manipulation. La reconnaissance du concept précède la maîtrise du terme. 07/02/12

Faut-il employer un vocabulaire spécifique ? 32 -Pas de séances spécifiques de vocabulaire. -Acceptation dun langage imprécis à condition quil ait du sens. -Construction dun lexique partant du langage naturel pour aboutir à un langage mathématique, plus précis et plus approprié. - Les mots de la géométrie facilitent la compréhension des concepts, et la structuration des connaissances. 07/02/12

Différentes activités 33 Retrouver une figure daprès une description 1. Décrire un objet géométrique : Description verbale ou écrite Pour reconnaître un objet ou le construire Les descriptions porteront sur les objets ou leurs propriétés 07/02/12

Différentes activités Reproduire un objet géométrique : Réaliser la copie dun objet. Reproduction superposable, en agrandissement ou en réduction. Observez cette figure et reproduisez-la précisément. 07/02/12

35 Observez cette rosace et reproduisez-la précisément. 07/02/12

Différentes activités Représenter un objet : Le dessiner quil soit présent ou non. « Dessiner deux droites perpendiculaires, dessiner deux droites parallèles. » 07/02/12

Différentes activités Construire un objet géométrique : A partir dune description ou dune représentation de lobjet. 07/02/12

Différentes activités Construire un objet géométrique : 07/02/12

Différentes activités 39 Construis un carré dont chaque sommet est le centre dun cercle. (Le rayon de ce cercle est égale à la longueur dun côté du carré) Construis un carré dont chaque sommet est le centre dun cercle. Les cercles ne se coupent pas. 07/02/12

Différentes activités Classer des objets géométriques : Les regrouper par catégories 07/02/12

Différentes activités 41 Colorie en rouge deux droites parallèles et en bleu deux droites perpendiculaires : 07/02/12

Exemple du prisme droit à base triangulaire : Il est composé de 4 faces rectangulaires et de 2 faces triangulaires. Il a 9 arêtes et 6 sommets. Penser à la variabilité perceptuelle Présenter le même concept sous différentes formes. Etudier les solides peut se faire à partir de différents outils : 07/02/12

43 On peut distinguer six manières de voir une « même » figure : 1.La vision-surface 1.La vision ligne 1.La vision des points singuliers Varier les supports et les exemples : Lexemple des tracés 1.La vision itinéraire 1.La vision codage A5 – C5 – C9 – A9 – A5 6. La vision évidée 07/02/12

Varier les supports et les exemples : Lexemple des tracés 44 Lors de l'introduction d'un concept, présenter des exemples riches et variés. Par exemple, pour une même figure, présenter différentes tailles, différentes orientations... une figure peut être obtenue par : - son EMPREINTE - son CONTOUR - des TRACÉS À MAIN LEVÉE 07/02/12

45 TRACÉS À MAIN LEVÉE Varier les supports et les exemples : Lexemple des tracés 07/02/12

46 une figure peut être obtenue par : - son EMPREINTE - son CONTOUR - des TRACÉS À MAIN LEVÉE - des TRACÉS AVEC INSTRUMENTS Construis des cercles qui se coupent. Varier les supports et les exemples : Lexemple des tracés

47 une figure peut être obtenue par : - son EMPREINTE - son CONTOUR - des TRACÉS À MAIN LEVÉE - des TRACÉS AVEC INSTRUMENTS - des TRACÉS avec un LOGICIEL DE GEOMETRIE DYNAMIQUE sur un écran dordinateur Varier les supports et les exemples : Lexemple des tracés 07/02/12

48 LA GEOMETRIE DYNAMIQUE En quoi cela consiste-t-il ? Ce terme désigne un espace géométrique dans lequel les objets construits peuvent être manipulés et déplacés sans perdre les propriétés qui leur ont été attribuées. Par extension, ce terme désigne les outils logiciels qui permettent cette construction, dont TRACENPOCHE. DONC, SI ON DÉPLACE LOBJET : Il conserve sa forme = construction correcte. Il ne conserve pas sa forme = construction incorrecte. Laspect dynamique favorise une pédagogie par lerreur et amène lélève à sautoévaluer. Exemple avec les trois carrés 07/02/12

49 LA GEOMETRIE DYNAMIQUE Valeur ajoutée du logiciel Véritable travail de recherche pour lélève. Importance du langage et des interactions. Mise en œuvre dune pédagogie par lerreur. Auto-évaluation et auto-régulation de lélève. La reproduction suppose lanalyse de la figure et la déduction dune chronologie de construction. La phase de tracé est allégée par rapport au travail sur feuille, ce qui libère de la capacité intellectuelle pour lanalyse et la construction. 07/02/12

50 LA GEOMETRIE DYNAMIQUE - Partir des objectifs dapprentissage visés qui seront la solution de la situation-problème. Pistes dactivités : -Description lors des phases de déconstruction et de reconstruction de lobjet. -Travail de reproduction daprès modèle. 07/02/12

Déconstruction de l objet :

07/02/12 Reconstruction de l objet :

07/02/12 Nécessaire précision du langage de description :

54 LA GEOMETRIE DYNAMIQUE - Partir des objectifs dapprentissage visés qui seront la solution de la situation-problème. Pistes dactivités : -Description lors des phases de déconstruction et de reconstruction de lobjet. -Travail de reproduction daprès modèle. -Plan de construction à créer. -Reproduction à partir dun plan de construction. 07/02/12

55 LA GEOMETRIE DYNAMIQUE Obstacles et difficultés : Privilégier la maîtrise de loutil à une entrée par le regard géométrique sur lobjet (formes, propriétés) serait contreproductif. Ne pas laisser assez de place aux interactions entre les différents acteurs de la classe. 07/02/12

Interactions et pédagogie par lerreur :

07/02/12 Chronologie de construction explicite et auto-évaluation :

07/02/12 Chronologie de construction explicite et auto-évaluation : Lors de la synthèse : Travail sur le repérage des propriétés et lexposé des chronologies de construction.

59 LA GEOMETRIE DYNAMIQUE Liens avec la géométrie « traditionnelle » : Dans Tracenpoche, toutes les propriétés et les actions doivent être demandées EXPLICITEMENT pour être effectives, comme elles sont construites et vérifiées sur feuille avec les instruments adéquats. On nest plus dans la reconnaissance perceptive des objets mais dans une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure. 07/02/12

60 PONT DE MILLAU 07/02/12

61 REPRODUIRE UN PILIER, LE TABLIER AVEC DES HAUBANS 07/02/12

62 REPRODUIRE UN PILIER, LE TABLIER AVEC DES HAUBANS

63 REPRODUIRE UNE ROSACE DE LA CATHEDRALE DE SEEZ

64 REPRODUIRE UNE ROSACE DE LA CATHEDRALE DE SEEZ

BIBLIOGRAPHIE Géométrie à lécole Le cahier de lélève, support des apprentissages – Cycle 3 Danièle Lachaussée, Scérén-CRDP Académie dAmiens (156 p. + 1 CDROM) 07/02/12

Devenir élève par les apprentissages géométriques Jean-François Grelier, Scérén-CRDP Midi-Pyrénées, 2011 BIBLIOGRAPHIE 07/02/12

Travail par groupe en géométrie dynamique TROUVER LES SAVOIRS, SAVOIR-FAIRE ET SAVOIR-ÊTRE LIES A LA COMPETENCE VISEE CRÉER UNE SITUATION-PROBLEME (situation de départ) en partant dune des œuvres proposées. Voûte romane Pentacub – T VendomeTriangle impossible - Reutersvard Bill Mondrian Rosace ND de Moulins