ORGANISATION DES CONTENUS 1995 Trois parties Travaux géométriques Travaux numériques Organisation et gestion de données. Fonctions 2005 Quatre parties Organisation et gestion de données. Fonctions Nombres et calculs Géométrie Grandeurs et mesures Complément L’organisation en quatre parties est identique à celle du programme du cycle 3. Cette nouvelle répartition ne signifie pas que la partie « grandeurs et mesure » doit être traitée à part. Il existe en effet des liens nombreux entre cette partie du programme et les autres. Programme 6e – 2005 – Introduction 1

NOUVEAUTES DANS LA PRESENTATION Contenus Compétences Exemples d’activités, commentaires. Colonne Contenu : [Programme cycle 3 : document d’application, p. 22 à 24]… Colonne Compétences : [SVT] ; [SVT, histoire-géographie] ; … Troisième colonne  : [B2i] Compléments : On trouve dans les programmes : - le lien avec le programme de cycle 3, clairement repéré par des références, dans la colonne « contenus », au document d’application des programmes du cycle 3 - la prise en compte d’informations recueillies à l’occasion de diverses évaluations concernant les acquis des élèves à l’école élémentaire et en 6ème . Programme 6e – 2005 – Introduction 2

Partie 4 GRANDEURS ET MESURES 4.1 Longueurs, masses, durées 4.2 Angles 4.3 Aires : mesure, comparaison et calcul d’aires 4.4 Volumes Cette partie ne constitue pas un chapitre de cours mais doit être répartie tout au long de l’année. Programme 6e – 2005 – Grandeurs 3

QUELQUES IDEES FORTES DE L’INTRODUCTION Le recours aux longueurs et aux aires permet d’enrichir le travail sur les nombres non entiers et les opérations. Il est important que les élèves : disposent de références concrètes pour certaines grandeurs soient capables d’estimer une mesure (ordre de grandeur). L’utilisation d’unités dans les calculs sur les grandeurs est légitime. Compléments Pas de nombreuses différences de contenu (mais les contenus sur les grandeurs sont maintenant regroupés dans le programme). Suggestion d’utiliser les grandeurs dans l’apprentissage du calcul. Légitimité d’introduire des unités dans les calculs sur les grandeurs. On pourra par exemple écrire : 3m + 3dm Programme 6e – 2005 – Grandeurs 4

COMPETENCES EXPLICITEES Calculer le périmètre d’un polygone. Comparer des angles. Différencier périmètre et aire. Savoir que 1 L = 1 dm3. Effectuer pour les volumes des changements d’unités de mesure. Programme 6e – 2005 – Grandeurs 5

Partie 1 ORGANISATION ET GESTION DE DONNEES. FONCTIONS 1.1 Proportionnalité 1.2 Organisation et représentation de données Programme 6e – 2005 – Données 6

Exemples d’activité, commentaires 1.1 Proportionnalite Cycle 3 Compétence Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant des raisonnements personnels appropriés. . 6e – 2005 Contenus Compétences Exemples d’activité, commentaires Proportionnalité Rapports utilisés : Soit des rapports entiers ou décimaux simples Soit des rapports exprimés sous forme de quotient • Traiter des problèmes Développement : Compétences 6e : Traiter des problèmes « de proportionnalité », en utilisant des raisonnements appropriés, en particulier : (…) utilisation du coefficient de proportionnalité. Les rapports utilisés sont, soit des rapports entiers ou décimaux simples (2,5 par exemple qui peut être exprimé par "2 fois et demie"), soit des rapports exprimés sous forme de quotient Compétence 6e : Reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité et celles qui n’en relèvent pas. Commentaire : L’étude de la proportionnalité pour elle-même relève du collège. Compléments Le titre « proportionnalité » apparaît dans les contenus du programme de 6e, avec des compétences précises, alors qu’il n’était présent que dans les commentaires du programme précédent. En cycle 3, les élèves ont résolu des problèmes par des procédures personnelles, En 6e , les « raisonnements appropriées »sont précisés (passage par l’image de l’unité, utilisation d’un rapport de linéarité, utilisation du coefficient de proportionnalité ; le rapport de linéarité et le coefficient de proportionnalité peuvent être des quotients). On commence à évoluer vers l’utilisation de « procédures expertes ». En 5e, le tableau de proportionnalité est introduit et l’étude de la proportionnalité pourra se faire dans un cadre purement numérique. • Reconnaître des situations de proportionnalité. Programme 6e – 2005 – Données 7

1.2 Organisation et représentation de données Compétences 2005 Organiser des données en choisissant un mode de présentation adapté. Lire et interpréter des informations à partir d’une représentation graphique. Développement : Organiser des données en choisissant un mode de présentation adapté : tableaux en deux ou plusieurs colonnes ;tableaux à double entrée. [SVT, histoire-géographie] Lire et interpréter des informations à partir d’une représentation graphique (diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires ou demi-circulaires, graphiques cartésiens). NB : La lecture de l’information occasionne une bonne réussite aux évaluations dans le cas d’une lecture directe, une réussite moindre quand il s’agit de rechercher et d’exploiter une information pour répondre à une question. Compléments Ces compétences 2005 ne figuraient précédemment que dans les commentaires. Par ailleurs, elles sont maintenant davantage détaillées. Elles s’ajoutent à celles concernant une graduation sur une demi-droite (voir nombres et calcul). Programme 6e – 2005 – Données 8

Partie 2 NOMBRES ET CALCULS 2.1 Nombres entiers et décimaux 2.2 Division, quotient Développement 2.1 Nombres entiers et décimaux - Désignations - Ordre - Valeur approchée décimale - Opérations : addition, soustraction et multiplication - Ordre de grandeur 2.2 Division, quotient - Division euclidienne - Ecriture fractionnaire - Division décimale Programme 6e – 2005 – Nombres 9

Dans la continuité du cycle 3, le programme de 6e insiste sur : La résolution des problèmes ; Le travail sur le sens des opérations ; Les différentes formes de calcul. Par ailleurs, en 6e : La notion de quotient occupe une place centrale. Les problèmes proposés sont issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques. Développement Insistances 2005 : La notion de quotient occupe une place centrale en sixième, sous ses différentes significations : quotient euclidien, quotient décimal, quotient fractionnaire. Les problèmes proposés sont issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques, cette dernière source de problèmes ne devant pas être négligée (ex : le calcul réfléchi). Compléments La notion de quotient permet notamment d’élargir la portée des procédures utilisées à l’école élémentaire pour traiter des situations relevant de la proportionnalité. Programme 6e – 2005 – Nombres 10

2.1 NOMBRES DECIMAUX Préciser que la virgule n’est pas un séparateur (éviter la distinction « partie entière / partie décimale ») mais qu’elle permet de positionner l’unité (apprendre à lire 2,3 : deux unités et trois dixièmes, …) Programme 6e – 2005 – Nombres 11

Compétences du cycle 3 : Compétences 6e - 2005 UNE INSISTANCE DES PROGRAMMES ACTUELS : LA REPRESENTATION DES NOMBRES DECIMAUX SUR UNE DEMI-DROITE GRADUEE Compétences du cycle 3 : Situer précisément ou approximativement : des nombres entiers sur une droite graduée de 10 en 10, de 100 en 100 … des nombres décimaux sur une droite graduée de 1 en 1, de 0,1 en 0,1. Utiliser les nombres décimaux pour repérer un point sur une droite graduée régulièrement de 1 en 1. Compétences 6e - 2005  Lire et compléter une graduation sur une demi-droite graduée, à l’aide d’entiers naturels, de décimaux ou de quotients (placement exact ou approché). Développements Compétences 6e-2005 Les quotients utilisés sont simples ou peuvent s’écrire sous la forme de fractions décimales. En 6ème, en liaison avec l'ordre : Placer un nombre sur une demi-droite graduée ; Lire l'abscisse d'un point ou en donner un encadrement Compléments En 1995, les deux premières compétences n’étaient présentes que dans le paragraphe : nombres relatifs. Recommandation d’utiliser l’outil « représentation graphique » autant que nécessaire (exemple : pour accompagner les compétences sur l’ordre, dans la continuité du cycle 3. Programme 6e – 2005 – Nombres 12

CALCUL APPROCHE Contenu 1995 Contenus 2005 Compétences 2005 Troncature et arrondi ; Ordre de grandeur d’un résultat. Contenus 2005 Valeur approchée décimale ; Ordre de grandeur. Compétences 2005 Donner la valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) d’un décimal à l’unité, au dixième, au centième près. Etablir un ordre de grandeur d’une somme, d’une différence, d’un produit. Développement Compétences 1995 Prendre l’arrondi à l’unité ou la troncature. Proposer des ordres de grandeur de deux nombres et les utiliser pour donner un ordre de grandeur de leur somme et, éventuellement, pour contrôler un calcul machine. Complément Sans formalisation excessive, les notions d’arrondi et de troncature peuvent être distinguées, notamment en liaison avec l’usage des calculatrices. Programme 6e – 2005 – Nombres 13

INSISTANCE 2005 : TABLES D’ADDITION ET DE MULTIPLICATION Contenus Compétences Exemples d’activités, commentaires. Opérations : additions, soustractions, multiplications La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental. Connaître les tables d’addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. Développement La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples Complément Les tables d’addition et de multiplication figurent désormais explicitement dans le programme (lien avec le cycle 3) et leur connaissance est considérée comme une compétence en voie d’acquisition. Ne pas négliger la pratique de la « table à trous ». Programme 6e – 2005 – Nombres 14

Nouveautés dans les commentaires 2005 MULTIPLICATION ET DIVISION PAR 10 ; 100 ; 1000 OU PAR 0,1 ; 0,01 ; 0,001 Compétences 1995 Compétences 2005 Multiplier et diviser un décimal par 10 ; 100 ; 1000 ou par 0,1 ; 0,01 ; 0,001. Multiplier un nombre par 10 ; 100 ; 1000 et par 0,1 ; 0,01 ; 0,001. Diviser par 10 ; 100 ; 1000. Nouveautés dans les commentaires 2005 La multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 est à mettre en place en sixième en liaison avec le sens de la multiplication par une fraction décimale : « prendre le dixième (le centième …) d’un nombre ». Développement La multiplication par 10, 100, 1000 est déjà mise en place à l’école élémentaire. Compléments Exigence moindre sur la division Dans le programme, la division par 10 ; 100 ; 1000 se trouve dans le paragraphe sur la division. Programme 6e – 2005 – Nombres 15

somme, différence, produit, terme, facteur. VOCABULAIRE Compétence 2005 Connaître la signification du vocabulaire associé (aux opérations) : somme, différence, produit, terme, facteur. Complément Ce qui se trouvait dans les commentaires de 5e devient une compétence de 6e. La présentation de ce vocabulaire se fait en situation (ex : description d’un calcul, …) Programme 6e – 2005 – Nombres 16

« OPERATIONS A TROUS » Commentaire 2005 La maîtrise du calcul passe en particulier par la capacité à trouver dans des situations numériques simples (problèmes concrets) : le nombre à ajouter à un nombre donné pour obtenir un résultat donné ; le nombre à retrancher à un nombre donné pour obtenir un résultat donné ; le nombre par lequel multiplier un nombre donné pour obtenir un résultat donné. La désignation de l’inconnue par une lettre n’est pas nécessaire dans ces activités. Compléments Abandon de l’expression : « initiation à la résolution d’équation » (titre de paragraphe 1995) mais référence aux compétences associées dans l’optique d’une maîtrise du calcul (exemple : table de multiplication à trou ; 7 x ? = 56). Cf inutilité de l'unité Programme 6e – 2005 – Nombres 17

2.2 Division - Quotient Programme 6e – 2005 – Nombres 18

Exemples d’activités, commentaires. DIVISION EUCLIDIENNE Contenus Compétences Exemples d’activités, commentaires. Reconnaître les situations qui peuvent être traitées à l’aide d’une division euclidienne et interpréter les résultats obtenus. Connaître la signification du vocabulaire : dividende, diviseur, quotient, reste Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9 Division, quotient, division euclidienne Le calcul mental (en particulier approché) est l’objectif prioritaire. Techniques « expertes » : se limiter à des diviseurs à un ou deux chiffres. « Multiple » et « diviseur » : La notion de multiple a été introduite à l’école élémentaire ; A l’école élémentaire, les élèves ont appris à reconnaître les multiples de 2 et 5 ; Les différentes significations du mot diviseur doivent être explicitées. . Compléments Nouveauté 2005 en tant que paragraphe indépendant. Précisions nouvelles des compétences et des commentaires. Montrer l’avantage de la procédure experte sur les schémas. Programme 6e – 2005 – Nombres 19

QUOTIENT L’enjeu est d’accompagner le passage de la fraction (partage) au quotient (nombre) Contenus Compétences Exemples d’activité, commentaires Interpréter l’écriture comme : - le quotient de l’entier a par l’entier b, - le nombre qui multiplié par b donne a. Ecriture fractionnaire Les activités en sixième s’articulent autour de trois idées fondamentales : - le quotient est un nombre. - le produit de par b est égal à a. - le nombre peut être approché par un décimal. Développement Il s’agit de « prendre une fraction » d’une quantité. L’utilisation de quotients, sous forme fractionnaire, permet de gérer plus facilement les raisonnements et de repousser la recherche d’une valeur approchée décimale à la fin de la résolution. Compléments 3 idées fortes pour travailler sur le quotient au lieu de 2. L’interprétation de a/b comme quotient devient une compétence. Commentaire oral de la 2e compétence : multiplication indépendamment de tout calcul approché. Multiplier un nombre entier ou décimal par un quotient de deux entiers sans effectuer la division. Programme 6e – 2005 – Nombres 20

QUOTIENT ET DIVISION DECIMALE Contenus Compétences Exemples d’activités, commentaires. Faire remarquer que tout nombre décimal peut s’écrire sous forme de quotient. Par exemple, 0,4 = = . En revanche, certains quotients ne sont pas des nombres décimaux : ≠ 2,33. Ecriture fractionnaire Développement Le calcul d’une valeur approchée d’un quotient se fait par calcul mental, posé, instrumenté Compléments Le passage par la fraction décimale crée le besoin de la division décimale. Présentation différente des notions liées de division décimale et de quotient dans l’ancien et le nouveau programme. Division décimale Calculer une valeur approchée décimale du quotient d’un entier ou d’un décimal par un entier dans des cas simples. Programme 6e – 2005 – Nombres 21

ECRITURES LITTERALES ET GRANDEURS 2005 Compétences : Connaître et utiliser les formules donnant : la longueur d’un cercle ; l’aire d’un rectangle. Commentaire : Le travail sur les périmètres est favorable à une première initiation aux écritures littérales : recherche d’une formule exprimant un périmètre en fonction d’une ou deux longueurs désignées par une ou deux lettres. Complément Pas d’initiation aux écritures littérales en dehors du domaine des grandeurs. Programme 6e – 2005 – Nombres 22

Suppression des relatifs Programme 6e – 2005 – Nombres 23

PARTIE 3 GEOMETRIE L’objectif majeur est d’accompagner le passage de l’identification perceptive et instrumentée de figures et de configurations à leur caractérisation par leurs propriétés. 3.1 Figures planes, médiatrice, bissectrice Développements L’objectif est donc d’entraîner progressivement les élèves à effectuer des démonstrations. Les contenus du programme doivent être considérés en gardant cet éclairage présent à l’esprit. 3.1 Figures planes, médiatrice, bissectrice - Propriétés des quadrilatères usuels - Propriétés des triangles usuels - Reproduction, construction de figures usuelles - Reproduction, construction de figures complexes - Médiatrice d’un segment, bissectrice d’un angle - Cercle Vocabulaire et notation Compléments Aires, périmètres, volumes apparaissent dans la partie grandeurs-mesures Le contenu concernant les figures planes est beaucoup plus détaillé qu’auparavant et les compétences sont davantage détaillées. 3.2 Parallélépipède rectangle : patrons, représentations en perspective 3.3 Symétrie orthogonale par rapport à une droite (symétrie axiale) Programme 6e – 2005 – Géométrie 24

Une nouvelle figure apparaît dans les contenus : LE CERF-VOLANT le cerf-volant est un quadrilatère dont une diagonale est un axe de symétrie. OU le cerf-volant est un quadrilatère dont une diagonale est la médiatrice de l’autre. Développement Cette figure permet de mettre en œuvre la symétrie axiale… Compléments Le programme ne donne pas de définition. Une définition sera sans doute donnée dans le document d’accompagnement, lorsqu’il paraîtra. Il faudra être vigilant avec les présentations des manuels. Programme 6e – 2005 – Géométrie 25

LE CERF-VOLANT quadrilatères cerf-volants parallélogrammes losanges carrés rectangles Programme 6e – 2005 – Géométrie 26

PARALLELES – PERPENDICULAIRES En 6ème, on s’appuiera sur les acquis de l’école primaire : Les élèves ont utilisé le fait que l’écartement entre deux droites parallèles est constant. En sixième, deux droites parallèles sont définies comme deux droites non sécantes. Deux droites perpendiculaires ont été définies comme deux droites sécantes déterminant quatre angles égaux (qui sont des angles droits). Développement Pour les droites parallèles On perçoit bien ici le niveau d’abstraction plus importante : « l’écart constant » pouvait être vérifié à la règle graduée, la caractérisation des parallèles par le fait qu’elles possèdent une perpendiculaire commune demande un raisonnement. Complément Le programme apporte des précisions nouvelles au sujet des parallèles et des perpendiculaires. Programme 6e – 2005 – Géométrie 27

CERCLE Caractériser les points du cercle par le fait que : Tout point qui appartient au cercle est à une même distance du centre. Tout point situé à cette distance du centre appartient au cercle Développement Le compas ne sert pas qu’à tracer des cercles, il est utile pour vérifier des équidistances. La donnée de points d’un cercle permet de justifier des équidistances Programme 6e – 2005 – Géométrie 28

BISSECTRICE – MEDIATRICE La bissectrice Commentaire : La bissectrice d’un angle est définie en 6ème comme la demi-droite qui partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure. La médiatrice Compétences : connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d’équidistance. Développement La caractérisation des points de la médiatrice est utilisée dans les démonstrations (le mot caractérisation n’est pas pour les élèves ; on présentera deux énoncés distincts. Compléments Bissectrice et médiatrice n’ont pas été vues au cycle 3. Pour la bissectrice, le nouveau programme de 6ème lève l’ambiguïté droite / demi-droite Programme 6e – 2005 – Géométrie 29

QUADRILATERES ET SYMETRIE AXIALE Commentaires 6° - 2005 : - Certaines propriétés (…) ont déjà été étudiées à l’école primaire, d’autres sont nouvelles. - On situera les figures (losange, carré, cerf-volant, rectangle) les unes par rapport aux autres en mettant en évidence leurs propriétés communes et des propriétés différentes. - La symétrie orthogonale est mise en jeu le plus fréquemment possible pour justifier les propriétés. Développement Certaines propriétés (…) ont déjà été étudiées à l’école primaire, notamment celles relatives aux côtés, à la présence d’angle droit ou d’axes de symétrie, d’autres sont nouvelles, notamment celles relatives aux angles autres que les angles droits et celles relatives aux diagonales. Complément La symétrie axiale est proposée comme un fil rouge de l’étude des quadrilatères. Programme 6e – 2005 – Géométrie 30

Exemples d’activités, commentaires FIGURES COMPLEXES Contenus Compétences Exemples d’activités, commentaires Reproduction, construction de figures complexes Reconnaître des figures simples dans une figure complexe. Travail d’analyse : Identification des propriétés et des figures simples dans une figure complexe à reproduire. Il s’agit d’une activité essentielle. Résoudre des petits problèmes de type « construction » et « lieux géométriques ». Développement Problèmes de construction et de lieux géométriques : l’usage d’outils informatiques permet aussi une mise en œuvre de ce travail d’analyse. [B2i] Complément Beaucoup plus développé que dans le programme 1995. Programme 6e – 2005 – Géométrie 31

PROGRAMME 2005 physionomie generale Programme 6e – 2005 – Généralités 32

Trois buts de l’enseignement des mathématiques en 6ème Outre les objectifs de formation générale auxquels participe l’enseignement des mathématiques, le programme assigne plus spécifiquement trois buts à cet enseignement en 6e.   Trois buts de l’enseignement des mathématiques en 6ème Consolider, enrichir et structurer les acquis de l’école primaire. Préparer à l’acquisition des méthodes et des modes de pensée caractéristiques des mathématiques. Développer la capacité à utiliser les mathématiques dans différents domaines. Programme 6e – 2005 – Géométrie 33

ATELIERS Programme 6e – 2005 – Ateliers 34

ATELIER 1 Mettre en rapport des compétences ou activités du chapitre « Grandeurs et mesures » avec les contenus et compétences de la partie « Nombres et calculs ». Pour cela : Repérer dans le chapitre « Grandeurs et mesures » les occasions d’un travail préconisé dans le chapitre « Nombres et calculs ». Programme 6e – 2005 – Ateliers 35

Grandeurs et mesures Nombres et calculs Les résultats du travail de l’atelier 1 peuvent se présenter sous la forme d’un tableau : Grandeurs et mesures Nombres et calculs Programme 6e – 2005 – Ateliers 36

ATELIER 2 Repérer les interventions possibles de la symétrie axiale dans la mise en œuvre du chapitre « Figures planes, médiatrices, bissectrices ». Présenter des exemples de raisonnements déductifs accessibles aux élèves de 6ème, mettant en œuvre la symétrie axiale pour justifier des résultats de cours. Programme 6e – 2005 – Ateliers 37

ATELIER 3 Repérer dans le paragraphe « Division, quotient » des occasions de calcul mental. Prévoir quelques séquences à proposer aux élèves. Programme 6e – 2005 – Ateliers 38

Suggestions possibles lors du travail de l’atelier 3 : Résolution de problèmes (contextualisés) avec : division euclidienne, "fraction de", … Calculer : , … Simplifier : , … Programme 6e – 2005 – Ateliers 39