Exploitation des évaluations de CE1 Résolution de problème : Exercice 4 item 64-65-66 Dans Maman veut acheter des gâteaux. Elle a dans son porte-monnaie : Un billet de 10 € un billet de 5 € deux pièces de 2 € Trois pièces de 1 € Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7 €. Combien d’argent lui reste-t-il après avoir payé ? Ecris tes recherches et tes calculs dans le premier cadre ; réponds par une phrase dans le deuxième cadre. Maman veut acheter des gâteaux. Elle a dans son porte-monnaie : Crée par Véronique Jullien – CPC St Sébastien Vertou

Pour résoudre un problème Il existe deux voix de résolutions : Opérations itérées, dessin, schéma … « Solution personnelle » Opérations attendues « Solution experte »

Une priorité : la Démarche de résolution Certains élèves ne reconnaissant pas l’opération ou les opérations attendues ne s’autorisent pas ou n’envisagent pas une solution personnelle. La tradition scolaire offre une part très importante aux problèmes d’application : problèmes que l’élève doit être capable de résoudre avec une solution experte déjà rencontrée et entraînée de nombreuses fois. A 15 ans, les élèves français obtiennent des résultats supérieurs à la moyenne de l’OCDE, en résolution de problèmes d’application. Mais ce n’est plus le cas lorsqu’ils sont confrontés à des problèmes qui nécessitent une prise d’initiative : les problèmes pour chercher. Problèmes pour lesquels les élèves ne disposent pas de la technique opératoire attendue étant donné son âge et son niveau de classe. L’enjeu de l’école primaire est de travailler la prise d’initiative : faire en sorte que l’élève prenne conscience qu’avec des connaissances réduites de l’initiative et un peu d’imagination il est possible de résoudre des problèmes complexes. Une priorité : la Démarche de résolution

Comment arriver à ce que l’élève se construise une démarche de résolution de problème ? Il convient d’interroger les pratiques de classe et de les faire évoluer.

Un problème = une ou plusieurs opérations La tradition scolaire offre une part très importante aux problèmes numériques Cela provoque une représentation erronée de ce qu’est un problème Un problème = une ou plusieurs opérations L’élève se sert de toutes les données numériques sans exception.

Ajout de toutes les données numériques puis retrait de la dernière « 7 » sans pour autant que le retrait ne soit pris en compte, dans la réponse.

La tradition scolaire offre une part très importante aux problèmes d’application : problèmes que l’élève doit être capable de résoudre avec l’opération attendue et entraînée de nombreuses fois. Dans les petits niveaux de classe, on aura donc tendance à donner des problèmes simples à une seule étape qui peuvent être résolus avec l’opération qu’ils connaissent. Cela génère une représentation erronée de l’élève Un problème = Une opération L’élève s’arrête à la première étape de résolution

Après un premier essai, l’élève représente le contenu du porte-monnaie et s’arrête là. Il fait une erreur puisqu’il représente deux pièces de 1€ au lieu de trois.

Analyse d’un échantillon de productions d’élèves Ajout de toutes les données numériques puis retrait de la dernière « 7 » sans pour autant que le retrait ne soit pris en compte, dans la réponse. Dessin d’un porte-monnaie avec une flèche et 30 encadré. 10 + 5 + 2 = 20 Li 1 a combien reste tile = 20  =

Après un premier essai, l’élève représente le contenu du porte-monnaie et s’arrête là. Il fait une erreur puisqu’il représente deux pièces de 1€ au lieu de trois.

Le relevé des erreurs des productions élèves a été mis en regard de pratiques et pistes pédagogiques à mettre en œuvre au moment de la conception des séances, de leur déroulement ou de l’aide personnalisée. Ex. 4 Relevé des erreurs 1 – Conception de séances et différenciation 2 – Etayage 3 – Aide personnalisée Outils Items 64 65 66 Aucune trace de démarche Démarche abandonnée Une seule étape de la démarche est schématisée Démarche erronée : Addition de toutes les données numériques sans traitement des multiplicateurs Oubli de certaines données numériques Bonne démarche mais pas de résultat Aucune phrase réponse Phrase réponse erronée Phrase répondant à la somme d’argent possédée Erreur de calcul Observation des stratégies de l’élève/Entretien d’explicitation - 3 Problèmes complexes à plusieurs étapes - 1 Schématisation et Chronologie des étapes – 2 - 3 Problèmes sans données numériques - 1 Technique opératoire - 2 - 3 Passer de l’opération itérée à celle attendue - 1 Observation des stratégies de l’élève/Entretien d’explicitation -3 Formulation de la phrase réponse - 1 - 2 Repérage de la question posée, reformulation de l’objectif de résolution - 1 - 2 Répertoire additif, soustractif ou multiplicatif - 2- 3 Floc logique www.enseignement.be Problèmes pour apprendre à raisonner chez Access 77 jeux de logique 5 à 8ans/Retz Doc. Accompagnement en maths p 15 à 17

Comment aider l’élève dans sa démarche de résolution ? Pour la classe Anticiper : penser aux différentes étapes et opérations mentales afin de prévoir la différenciation. Construire avec les élèves un affichage (et/ou outil élève ) méthodologique sur les différentes étapes de résolution de problème : contexte général de la situation problème - questions à résoudre - informations utiles – questions intermédiaires – calculs si nécessaires – phrase réponse Souligner la question à résoudre et surligner les informations utiles dans les énoncés …………………….………… Pour l’élève en difficulté…………………………… . Lister les étapes intermédiaires avec certains élèves . Donner un support différent sur lequel figure les étapes intermédiaires . Fournir des supports ou du matériel à manipuler pour aider aux étapes de calcul. Degré d’étayage plus ou moins important Etayage

Analyse détaillée d’un énoncé et exemples de supports d’aide Exercice 4 – item 64-65-66 (Voir aussi www.enseignement.be) Eclaircir le contexte du problème Eclaircir l’énoncé au même titre qu’un texte de lecture est essentiel ; certains élèves n’arrivent pas du tout à se représenter le contexte de l’action, son lieu, les intervenants…. De quoi parle ce texte ? Combien y a-t-il de personnes ? Que veut faire la maman ? Nb : on pourra même aller parfois jusqu’à mettre en scène la situation.

Analyse détaillée d’un énoncé et exemples de supports d’aide Exercice 4 – item 64-65-66 (Voir aussi www.enseignement.be) Repérer les informations utiles 1 - Où est l’argent de la maman ? 2 – Combien y a-t-il de billets de 10 €? 3 – Combien y a-t-il de billets de 5 € ? 4 – Combien y a-t-il de pièces de 2 € ? 5 – Combien y a-t-il de pièces de 1 € ? 6 - Combien coûte un gâteau ? 7 - Combien la maman achète-t-elle de gâteaux ?

Déterminer les étapes de la résolution 1 – Combien y a-t-il d’argent dans le porte monnaie de la maman ? 2 – Combien coûtent les trois gâteaux ? 3 – Combien reste-t-il d’argent dans le porte monnaie de maman après avoir acheté les gâteaux ? Amener l’élève à les déterminer seul et si nécessaire les lui fournir. On ne perdra pas de vue que le but sera d'amener l'élève à l'autonomie.

Des supports d’aide pour les phases de calculs Il ne s’agit pas là de travailler la monnaie, mais de fournir à l’élève une aide lui permettant, malgré ses difficultés en matière de monnaie, d’accéder à la résolution du problème.

Déterminer la somme d’argent du porte monnaie Colorie le contenu du porte monnaie de la maman 10 5 2 1 Combien la maman a-t-elle d’argent ?........ Relie le billet ou la pièce au bon ensemble 1 10 5 1 1 2

Déterminer le prix des gâteaux Un gâteau coûte 7€ : Reporte le prix des trois gâteaux : 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Peut être fait par coloriage ou découpage et report de bandes

Déterminer l’argent restant Compare le prix des gâteaux à l’argent du porte-monnaie 1. Reporte le prix des trois gâteaux : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 2. Reporte l’argent du porte-monnaie : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3. Combien reste-t-il d’argent dans le porte-monnaie de la maman ?

Comment aider l’élève à passer de l’addition itérée à l’addition attendue ? Un exemple d’activité L’enseignant dispose d’une boîte dans laquelle il demande à un élève de mettre 37 cubes. Devant les élèves, il prend sur le bureau une nouvelle poignée de cubes (sans dire combien aux élèves) qu’il met également dans la boîte. Après avoir dénombré les cubes contenus dans la boîte et annoncé le résultat (52 cubes), il demande aux élèves de trouver combien de cubes il a lui-même mis dans la boîte. La plupart d’entre eux ont recours à des solutions personnelles consistant à rechercher le complément de 37 à 52, soit en dessinant les cubes, soit en recourant à un calcul qui leur permet de trouver ce qu’il faut ajouter à 37 pour obtenir 52. Une écriture, utilisée par certains, peut être associée à cette résolution : 37 + … = 52. L’interrogation porte ensuite sur la validation des réponses trouvées : comment faire pour n’avoir dans la boîte qu’une quantité de cubes correspondant à celle qui a été ajoutée par l’enseignant. L’idée sera certainement émise qu’il suffit de retirer de la boîte 37 cubes. Incités à chercher le nombre de cubes que contient alors la boîte (avant de le vérifier effectivement), il est probable que certains élèves calculeront 52 – 37. Ainsi, deux écritures peuvent être associées à la recherche de la réponse au problème initial, l’une de type « recherche de complément » qui correspond au problème posé au départ, l’autre de type «soustraction» qui correspond au problème posé au moment de la validation. Le commentaire formulé par l’enseignant prend alors tout son sens : pour chercher le nombre de cubes qui ont été ajoutés dans la boîte, on peut soit penser aux cubes qu’on a ajoutés et chercher le nombre qui, ajouté à 37, permet d’obtenir 52, soit imaginer qu’on enlève 37 cubes de la boîte et chercher le résultat de 52 – 37. (extrait du doc. D’accompagnement)