Calcul et Numération du CP au CE1 2ème partie Crée par Véronique Jullien - CPC Saint Sébastien Vertou -

A - l’addition des nombres à 2 ou 3 chiffres L’addition naturelle améliore la connaissance de la numération décimale L’addition naturelle est une technique orale employée souvent par des gens non scolarisés et qui consiste à commencer par compter les centaines, les dizaines puis les unités. 25 + 43 = 20 + 40 + 5 + 3 ou même 25 + 43 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 3 Soit l’enfant a mémorisé 20 + 40 égal 60 Soit l’enfant sait retrouver cette relation en disant 20 c’est 2 dix, 40 c’est 4 dix… Soit qu’il compte de 10 en 10 : 10, 20, 30 … Dans ce cas on favorisera le passage à une deuxième formulation du type 1 dix, 2 dix 20, 3 dix trente… D’après les travaux de Rémi Brissiaud

On procèdera selon le même principe pour les nombres à 3 chiffres. Enseigner l’addition naturelle avant l’addition en colonne de manière à ce que l’élève comprenne bien le sens de ce qu’il fait dans la technique en colonne. Seul problème restant à résoudre : la retenue 10 + 3 28 + 45 = 20 + 40 + 8 + 5 On procèdera selon le même principe pour les nombres à 3 chiffres. 25 + 43 La signification des chiffres est souvent perdue 5 plus 3, 8 pour 8 unités et 2 plus 4, 6 pour 6 dizaines On favorisera cette oralisation tout au long de l'apprentissage On favorisera le retour à la dizaine : 8 + 5 c'est 10 + 3…donc une dizaine de plus… Afin que l'élève donne du sens à la retenue. D’après les travaux de Rémi Brissiaud

B – Enseigner la résolution de problèmes Quelles sont les difficultés des élèves dans la résolution de problème ?

Pour résoudre un problème Il existe deux voix de résolutions Opérations itérées, dessin, schéma … « Solution personnelle » Opérations attendues « Solution experte »

Une priorité : la Démarche de résolution Certains élèves ne reconnaissant pas l’opération ou les opérations attendues ne s’autorisent pas ou n’envisagent pas une solution personnelle. La tradition scolaire offre une part très importante aux problèmes d’application : problèmes que l’élève doit être capable de résoudre avec une solution experte déjà rencontrée et entraînée de nombreuses fois. A 15 ans, les élèves français obtiennent des résultats supérieurs à la moyenne de l’OCDE, en résolution de problèmes d’application. Mais ce n’est plus le cas lorsqu’ils sont confrontés à des problèmes qui nécessitent une prise d’initiative : les problèmes pour chercher. Problèmes pour lesquels les élèves ne disposent pas de la technique opératoire attendue étant donné son âge et son niveau de classe. L’enjeu de l’école primaire est de travailler la prise d’initiative faire en sorte que l’élève prenne conscience qu’avec des connaissances réduites de l’initiative et un peu d’imagination il est possible de résoudre des problèmes complexes. Une priorité : la Démarche de résolution

Comment arriver à ce que l’élève se construise une démarche de résolution de problème ? Il convient d’interroger les pratiques de classe et de les faire évoluer.

Un problème = une ou plusieurs opérations. La tradition scolaire offre une part très importante aux problèmes numériques Cela provoque une représentation erronée de ce qu’est un problème. Un problème = une ou plusieurs opérations. L’élève se sert de toutes les données numériques sans exception.

Maman veut acheter des gâteaux. Elle a son porte-monnaie : - un billet de 10 € - un billet de 5 € - deux pièces de 2 € - trois pièces de 1 € Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7 €. Combien d'argent lui reste-t-il après avoir payé ? Ajout de toutes les données numériques puis retrait de la dernière « 7 » sans pour autant que le retrait ne soit pris en compte, dans la réponse.

La tradition scolaire offre une part très importante aux problèmes d’application : problèmes que l’élève doit être capable de résoudre avec l’opération attendue et entraînée de nombreuses fois. Dans les petits niveaux de classe, on a donc tendance à donner des problèmes simples à une seule étape qui peuvent être résolus avec l’opération qu’ils connaissent. Cela génère une représentation erronée de l’élève Un problème = Une opération L’élève s’arrête à la première étape de résolution

Maman veut acheter des gâteaux. Elle a son porte-monnaie : - un billet de 10 € - un billet de 5 € - deux pièces de 2 € - trois pièces de 1 € Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7 €. Combien d'argent lui reste-t-il après avoir payé ? Après un premier essai, l’élève représente le contenu du porte-monnaie et s’arrête là. Il fait une erreur puisqu’il représente deux pièces de 1€ au lieu de trois.

A - Quelles pratiques mettre en place ? Proposer des problèmes de logique ne mettant en jeu aucune données numériques (Voir les documents des éditions Access : jeux de logique de …à …ans) Utiliser des situations pratiques (en contexte ou imagées) mais en faisant en sorte que les élèves soient contraints de passer par la représentation des quantités sans manipulation de balle. La résolution pratique servant d’autocontrôle. Ex : Dans une classe, il y a 28 élèves ; on distribue une balle pour deux élèves. Combien faut-il de balles ? L’élève doit se représenter les quantités : envisager 28 comme une quantité de 28 unités. L’élève doit résoudre le problème numérique : se représenter 28 sous forme d’une collection témoin, former des groupes de 2 et dénombrer ces groupes : 14 groupes. L’élève doit réaliser la solution : construire une collection de 14 balles. La simulation pratique permettra de vérifier la solution proposée. La résolution pratique sera utilisée comme une aide aux élèves en difficulté. Aider l’élève en difficulté à raconter comment il ferait pour résoudre de façon pratique ce problème. Proposer en partie du matériel pratique : Etiquettes portant le prénom des élèves plutôt que des jetons. D’après les travaux de Rémi Brissiaud

4 catégories de problèmes Composition de 2 états Varier le type de problème proposé aux élèves. 4 catégories de problèmes Composition de 2 états Transformation d’un état Comparaison de 2 états Composition de transformations - D'après les travaux de Vergnaud -

Dans un problème : ei T + ef l’état initial et l’état final sont connus et on recherche la transformation dont on sait en plus qu’elle est positive, c’est-à-dire qu’elle correspond à une augmentation.

sur une quantité ou une mesure Composition de 2 états sur une quantité ou une mesure • Recherche d’un tout • Recherche d’une partie e1 e2 Ef e1 e2 Ef ? ? Un bouquet est composé de 8 roses et 7 iris. Combien y-a-t-il de fleurs ? Une classe est composée de 25 élèves dont 14 filles. Combien y-a-t-il de garçons ?

Transformation d’un état sur une quantité, une mesure, ou une position sur piste graduée / transformation positive ou négative •Recherche de l’état final ei t + Ef Paul avait 17 billes. Il en a gagné 5 Combien en a-t-il maintenant ? •Recherche de l’état initial Ei t + ef Léo a gagné 5 billes. Il en a maintenant 22. Combien en avait-il avant la partie ? •Recherche de la transformation ei T+ef Léo avait 17 billes avant de jouer. Il en a maintenant 22. Combien en a-t-il gagné ? ? ? ?

Comparaison de 2 états ? ? •Recherche d’un état : e1c - E2 sur une quantité, une mesure, ou une position sur piste graduée / comparaison positive ou négative •Recherche d’un état : e1c - E2 Basile a 25 ans. Il a 5 ans de moins que Steven. Quel Age a Steven ? •Recherche de la comparaison : e1C - e2 Karim possède 18 voitures. Son frère Kader en possède 13. Combien de voitures Kader a-t-il en moins ? ? ?

Composition de transformations les transformations sont positives ou négatives •Recherche de la transformation composée Kim a joué 2 parties de billes. A la 1ère il gagne 7 billes, à la 2ème il en gagne 8. Combien en a-t-il gagné en tout ? Rosa a joué 2 parties de billes. A la 1ère elle gagne 7 billes, à la 2ème elle en perd 12. Combien a-t-elle gagné ou perdu de billes ? •Recherche de l’une des composantes Au jeu de l’oie Julie joue 2 coups. Au 2ème coup elle avance de 9 cases. Au total elle s'aperçoit qu’elle a reculé de 4 cases. Que s’est-il passé au premier coup ? t1 t2 T ? T1 ? t2 t

B - Comment aider l’élève dans la démarche de résolution ? ……………………………………..Pour la classe……..………………………… Construire avec les élèves un affichage (et/ou outil élève ) méthodologique sur les différentes étapes de résolution de problème : - Contexte général de la situation problème - Chronologie pour les problèmes relevant d'une transformation et qui présentent une temporalité - Souligner la question à résoudre - Surligner les informations utiles dans les énoncés - Identifier et formuler les questions intermédiaires - Ecrire la phrase réponse Anticiper : penser aux différentes étapes et opérations mentales afin de prévoir la différenciation. ……..…………………….…Pour l’élève en difficulté……..………………… . Lister les étapes intermédiaires avec certains élèves. Donner un support différent sur lequel figure les étapes intermédiaires. Fournir des supports ou du matériel à manipuler pour aider aux étapes de calcul. ( Cf. Diapos à suivre) Degré d’étayage plus ou moins important Etayage

Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. A PRATIQUER EN CLASSE ENTIERE Analyse de la chronologie des évènements pour les problèmes relevant d'une transformation Exemple : Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation, il joue et perd 5 bâtons. Combien a-t-il de bâtons de chocolat après la récréation ? Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Après la récréation, il lui en reste 12 bâtons. On amènera les élèves en les accompagnant à perturber cet ordre chronologique pour attirer, leur attention sur le fait que dans un énoncé de problème l'ordre des évènements peut varier et donc qu'il faut bien lire tout l'énoncé pour pouvoir refaire la chronologie des évènements. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Après la récréation, il lui reste 12 bâtons. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Après la récréation, il lui reste 12 bâtons. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat.

Pour les amener à comprendre qu'il y a toujours une question à la fin mais qu'il ne faut pas toujours rechercher la même information, on jouera avec des caches. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Après la récréation, il lui en reste 12 bâtons. Combien lui reste-t-il de bâtons ? Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Après la récréation, il lui e reste 12 bâtons. Combien avait-il de bâtons avant la récréation ? Après la récréation, il lui reste 12 bâtons. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Combien a-t-il perdu de bâtons ?

A PRATIQUER AVEC LES ELEVES EN DIFFICULTES OUTILS SUPPLEMENTAIRES D'AIDE à construire avec des élèves en difficulté pendant la résolution d'un problème

Outil d'aide à l'analyse du contexte Maman veut acheter des gâteaux. Elle a son porte-monnaie : un billet de 10 €, un billet de 5 €, deux pièces de 2 €, trois pièces de 1 € Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7 €. Combien d'argent lui reste-t-il après avoir payé ? Eclaircir le contexte du problème Eclaircir l’énoncé au même titre qu’un texte de lecture est essentiel ; certains élèves n’arrivent pas du tout à se représenter le contexte de l’action, son lieu, les intervenants…. De quoi parle ce texte ? Combien y a-t-il de personnes ? Que veut faire la maman ? Nb : on pourra même aller parfois jusqu’à mettre en scène la situation.

Outil d'aide au repérage de la chronologie des évènements à construire avec les élèves en difficulté pendant la résolution. Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation, il joue et perd 5 bâtons. Combien a-t-il de bâtons de chocolat après la récréation ? Avant la récréation, Augustus avait 17 bâtons de chocolat. Pendant la récréation Augustus joue et perd 5 bâtons de chocolat. Après la récréation, il lui en reste 12 bâtons.

Repérer les informations utiles Outil d'aide au repérage des informations utiles à construire avec les élèves en difficulté pendant la résolution Maman veut acheter des gâteaux. Elle a son porte-monnaie : un billet de 10 €, un billet de 5 €, deux pièces de 2 €, trois pièces de 1 € Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7 €. Combien d'argent lui reste-t-il après avoir payé ? Repérer les informations utiles 1 - Où est l’argent de la maman ? 2 – Combien y a-t-il de billets de 10 €? 3 – Combien y a-t-il de billets de 5 € ? 4 – Combien y a-t-il de pièces de 2 € ? 5 – Combien y a-t-il de pièces de 1 € ? 6 - Combien coûte un gâteau ? 7 - Combien la maman achète-t-elle de gâteaux ?

Déterminer les étapes de la résolution Outil d'aide au repérage des informations utiles à construire avec les élèves en difficulté pendant la résolution Déterminer les étapes de la résolution 1 – Combien y a-t-il d’argent dans le porte monnaie de la maman ? 2 – Combien coûtent les trois gâteaux ? 3 – Combien reste-t-il d’argent dans le porte monnaie de maman après avoir acheté les gâteaux ? Amener l’élève à les déterminer seul et si nécessaire les lui fournir. On ne perdra pas de vue que le but sera d'amener progressivement l'élève à l'autonomie. Maman veut acheter des gâteaux. Elle a son porte-monnaie : un billet de 10 €, un billet de 5 €, deux pièces de 2 €, trois pièces de 1 € Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7 €. Combien d'argent lui reste-t-il après avoir payé ?

Des supports d’aide pour les phases de calculs Il ne s’agit pas là de travailler la monnaie qui sera travaillée dans une séance dédiée, mais de fournir à l’élève une aide lui permettant, malgré ses difficultés en matière de monnaie, d’accéder à la résolution du problème.

Déterminer la somme d’argent du porte monnaie Colorie le contenu du porte monnaie de la maman 10 5 2 1 Combien la maman a-t-elle d’argent ?........ Relie le billet ou la pièce au bon ensemble 1 10 5 1 1 2

Déterminer le prix des gâteaux Un gâteau coûte 7€ : Reporte le prix des trois gâteaux : 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Peut être fait par coloriage ou découpage et report de bandes

Déterminer l’argent restant Compare le prix des gâteaux à l’argent du porte-monnaie 1. Reporte le prix des trois gâteaux : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 2. Reporte l’argent du porte-monnaie : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3. Combien reste-t-il d’argent dans le porte-monnaie de la maman ?

Quand la démarche personnelle est acquise certains élèves peuvent avoir des difficultés à passer à la démarche experte.

Comment aider l’élève à passer d'une solution personnelle à l'opération attendue ? Un exemple d’activité L’enseignant dispose d’une boîte dans laquelle il demande à un élève de mettre 37 cubes. Devant les élèves, il prend sur le bureau une nouvelle poignée de cubes (sans dire combien aux élèves) qu’il met également dans la boîte. Après avoir dénombré les cubes contenus dans la boîte et annoncé le résultat (52 cubes), il demande aux élèves de trouver combien de cubes il a lui-même mis dans la boîte. La plupart d’entre eux ont recours à des solutions personnelles consistant à rechercher le complément de 37 à 52, soit en dessinant les cubes, soit en recourant à un calcul qui leur permet de trouver ce qu’il faut ajouter à 37 pour obtenir 52. Une écriture, utilisée par certains, peut être associée à cette résolution : 37 + … = 52. L’interrogation porte ensuite sur la validation des réponses trouvées : comment faire pour n’avoir dans la boîte qu’une quantité de cubes correspondant à celle qui a été ajoutée par l’enseignant. L’idée sera certainement émise qu’il suffit de retirer de la boîte 37 cubes. Incités à chercher le nombre de cubes que contient alors la boîte (avant de le vérifier effectivement), il est probable que certains élèves calculeront 52 – 37. Ainsi, deux écritures peuvent être associées à la recherche de la réponse au problème initial, l’une de type « recherche de complément » qui correspond au problème posé au départ, l’autre de type «soustraction» qui correspond au problème posé au moment de la validation. Le commentaire formulé par l’enseignant prend alors tout son sens : pour chercher le nombre de cubes qui ont été ajoutés dans la boîte, on peut soit penser aux cubes qu’on a ajoutés et chercher le nombre qui, ajouté à 37, permet d’obtenir 52, soit imaginer qu’on enlève 37 cubes de la boîte et chercher le résultat de 52 – 37. (Extrait du doc. D’accompagnement/CNDP, février 2005 p 18)

BIBLIOGRAPHIE ET SITOGAPHIE EN RESUME GS Donner du sens aux nombres (problèmes) Consolider des compétences "techniques", surtout orales CP/CE1 Travailler rapidement sur un domaine étendu Poursuivre le travail sur le sens (problèmes) Structurer et étendre les compétences techniques Structurer les désignations écrites, puis orales BIBLIOGRAPHIE ET SITOGAPHIE Comment les enfants apprennent à calculer de Rémi Brissiaud Editions RETZ , Paris 2003 Site Lakanal : http://cp.lakanal.free.fr/ressources.htm rubrique Outils www.enseignement.be (outils d'aide à la résolution)